九年级数学上册第二章一元二次方程2.5一元二次方程的根与系数的关系课件（新版）北师大版.pptx

1、2.5 一元二次方程的根与系数的关系,第二章,1.一元二次方程的解法 2.求根公式,复习提问,一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0) 的求根公式：,x =,(b2-4ac 0),1.观察并猜想.,问题：你发现有什么规律？ （1）用语言叙述你发现的规律； （2） x2+px+q=0的两根x1, x2用式子表示其中的规律.,如果关于x的方程,的两根是 , ,则:,问题反思,如果方程二次项系数不为1呢?,问题：上面发现的结论在这里成立吗？ （1）用语言叙述发现的规律； （2）ax2+bx+c=0的两根x1, x2用式子表示 其中的规律.,2.填表，观察并猜想.,一元二次方程的根与系数的关系：,如

2、果方程ax2+bx+c=0(a0)的两个根是x1 , x2 ,那么x1 + x2 = x1 x2=,-,注：能用根与系数的关系的前提条件为b2-4ac0,归纳总结,（韦达定理）,韦达（15401603）,韦达是法国十六世纪最有影响的数学家之一.年轻时当过律师，后来致力于数学研究，第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数理论研究的重大进步.他讨论了方程根的多种有理变换，发现了方程根与分数的关系（所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为韦达定理）. 韦达在欧洲被尊称为“代数学之父”.,走近韦达,一元二次方程根与系数的关系,x1 + x2 =,+,=,=,-,x

3、1 x2 =,=,=,=,(1) x2 - 2x - 1=0,(2) 2x2 - 3x + =0,(3) 2x2 - 6x =0,(4)3x2 = 4,x1+x2=2,x1x2=-1,x1+x2=,x1+x2=3,x1+x2=0,x1x2=,x1x2=0,x1x2= -,你会做吗,例1：利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积：,解：,（1）由题意可知a=1，b=7，c=6. =b2-4ac=72-416=49-24=250. 方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是x1，x2，那么 x1+x2= - 7，x1 x2=6.,典例精讲,(1)x2+7x+6=0；（2）2x2-3x-2=

4、0.,例1：利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积：,典例精讲,(1)x2+7x+6=0；（2）2x2-3x-2=0.,解：,（2）由题意可知a=2，b=-3，c=-2. =b2-4ac=（-3）2-42（-2）=9+16=250. 方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是x1，x2，那么 x1+x2= ，x1 x2=-1.,变式运用,不解方程，求方程两根的和与两根的积：,例2: 已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 , 求它的另一个根及k的值.,解：,解法一：设方程的另一个根为x1.,把x=2代入方程，得 4-2(k+1)+3k=0,解这方程，得 k= - 2,由根与

5、系数关系，得2x13k,即 2 x1 -6, x1 -3,答：方程的另一个根是-3 , k的值是-2.,典例精讲,解法二：,设方程的另一个根为x1.,由根与系数的关系，得,x1 2= k+1,2x1= 3k,解这方程组，得,x1 =-3,k =-2,答：方程的另一个根是-3 , k的值是-2.,例2: 已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 , 求它的另一个根及k的值.,典例精讲,1.下列方程两根的和与两根的积各是多少？,学以致用,2.已知方程3x219x+m=0的一个根是1，求 它的另一个根及m的值.,3.设x1,x2是方程2x24x3=0的两个根，求(x1+1)(x2+1)的值.

6、,解：设方程的另一个根为x1,则x1+1= , x1= ,又x11= , m= 3x1 = 16.,解：,由根与系数的关系，得,x1+x2= -2 , x1 x2=, (x1+1)(x2+1) = x1 x2 + (x1+x2)+1 =-2+( )+1=,4.设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根，且x12+x22=4，求k的值.,解：由方程有两个实数根，得,即-8k+40,由根与系数的关系得x1+x2= 2(k-1) , x1x2=k2, x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4,由x12+x22 =4，得2k2-8k+44,解得k1=0 , k2=4,经检验， k2=4不合题意，舍去., k=0.,通过本节课的学习你学到了那些知识？,课堂小结,一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） 两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数项与二