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文档简介
1、第三课时 椭圆的简单几何性质教学目标1、能利用椭圆中的基本量a、b、c、e熟练地求椭圆的标准方程2、掌握椭圆的参数方程,会用参数方程解一些简单的问题3、培养理解能力,知识应用能力教学过程1、复习回顾说出椭圆x2/4y21的范围、长轴长、短轴长、离心率、顶点和焦点坐标、准线方程。求中心在原点,过点,一条准线方程是的椭圆方程。我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道,是以地心(地球的中心)F2为一个焦点的椭圆,已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面439km,远地点B(离地面最远的点)距地面2384km,并且A、B、F2在同一直线上,地球半径约为6371km,求卫星的运行轨道方程(精确到1km)。
2、分析:几个概念的理解,坐标系的建立,由ac,ac求a、b、c。x2/77832+y2/77222=12、探索研究椭圆参数方程的推导以原点为圆心,分别以a、b(ab0)为半径作两个圆,点B是大圆半径OA与小圆的交点,过点A作ANOx,垂足为N,过B作BMAN,垂足为M,求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹方程。解:设点M的坐标为(x,y),是以Ox为始边,OA为终边的正角。取为参数,则,即这就是点M的轨迹的参数方程,消去参数后得到方程x2/a2y2/b21,由此可知点M的轨迹是椭圆。点评:这道题给出了椭圆的一种画法。大家想一想:画椭圆的方法有几种?3、反思应用例1 将椭圆方程x2/16y2/91化
3、为参数方程。例2在椭圆x28y28上到直线l:xy40距离最短的点的坐标是_,最短距离是_。解一(化归法):设平行于l的椭圆的切线方程为:xya0,由 消去x得9y22aya2804a249(a28)0,解得a3或a3,此时或,与直线l距离较小的切线方程为xy30,这条切线与直线l的距离为,此时点P(8/3,1/3) 解二:(参数法)设点,则点P到直线l的距离,其中,当sin()1时,d取得最小值,此时,点P(8/3,1/3)解三:(换元法)设,则u2v28,直线l:,由解得或(舍),点P(8/3,1/3)点P到直线l的最短距离为例3已知椭圆x2/25y2/161,点P(x,y)是椭圆上一点,
4、求x2y2的最大值与最小值;求3x5y的范围;若四边形ABCD内接于椭圆,点A的横坐标为5,点C的纵坐标为4,求四边形ABCD的最大面积。分析一(消元法):由x2/25y2/161得y216(1 x2/25),x2y2x216(1 x2/25)169x2/25x2y2的最大值是25,最小值是16二(参数法):设x=5cos,y=4sin,x2y2=(5cos)2+(4sin)2=16+9sin2, x2y2的最大值是25,最小值是16方法一:设x=5cos,y=4sin,则3x5y15 cos20 sin25 sin(+),3x5y的范围是25,25方法二:设t3x5y,则直线3x5yt0与椭
5、圆x2/25y2/161有交点由消去y得:25x26txt24000,36t2100(t2400)0,解之得: t25,25,即3x5y的范围是25,25由椭圆方程知A(5,0),C(0,4),直线AC的方程是4x5y200,设B(5cos,4sin)(0/2),D(5cos,4sin)(2),则点B到直线AC的距离是四边形ABCD的最大面积是S|AC|(dB+dD)/2例4已知椭圆x22y298及点P(0,5),求点P到椭圆距离的最大值与最小值。分析:以点P(0,5)为圆心,内切于椭圆的圆的半径为r1,即为点P到椭圆的最小值;以点P(0,5)为圆心,外切于椭圆的圆的半径为r1,即为点P到椭圆
6、的最大值。解:025298,点P在椭圆的内部,设以点P(0,5)为圆心,与椭圆相切的圆的方程为:x2(y5)2r2,将椭圆方程x22y298代入得r2982y2(y5)2(y5)2144(7y7)当y5时,rmax2148,即rmax ;当y7时,rmin24,即rmin2。注意:本题的解法称为辅助圆法例5求定点A(a,0)到椭圆x22y22上的点之间的最短距离。分析:设点B(x,y)为椭圆上的任一点,由|AB|2(xa)2y2(xa)21x2/2(x2a)21a2注意:本题的解法称为函数法随堂练习曲线的参数方程,则此曲线是()A、椭圆B、直线C、椭圆的一部分D、线段把参数方程,写成普通方程,并求出离心率,准线方程。x2/9y2/161,离心率,准线方程已知椭圆的参数方程,则此椭
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