高中数学《指数函数与对数函数的关系》学案1 新人教B版必修

1、指数函数和对数函数知识目标1.了解n次根式，常见的幂函数，恒等式alogN，logaabb及其指数的积、商、幂运算.2.理解分数指数幂，有理数指数幂和指数函数、对数函数的定义.3.掌握指数函数、对数函数的图像和性质，会使用计算器求lgN，lnN.能力目标1.会求n次根式、分数指数幂和有理数指数幂，灵活使用恒等式alogN，logaabb和指数的积、商、幂运算.2.利用计算器求lgN，lnN，logac.3.能通过图像了解幂函数、指数函数、对数函数的性质.4.学会使用幂函数、指数函数、对数函数来解决简单的实际问题.4.1指数4.1.1指数幂对于任何复杂的问题我们总是从一些简单的问题开始入手，指数

2、函数也不例外，在讨论指数函数之前我们有必要了解一些基础的知识，以利于今后对指数函数的学习，指数幂的提出就是基于这样的目的.一、整数指数幂正整数指数幂anaa (nN*)即an表示n个a的连乘积，称为a的n次幂，当m，nN*时，正整数指数幂有如下的运算性质：(1)amanamn(2)(am)namn(3)(ab)nanbn(4)amn(a0，且mn)当a0，mn时，1，则规定a01.当a0，mn时，规定anm.特别地，当mn1时，可推出a1.对于指数幂的运算可以由正整数扩展到整数指数幂的范畴.对于整数指数幂有下面的运算性质：(1)amanamn(m，nZ)(2)(am)namn(m，nZ)(3)

3、(ab)nanbn(nZ)二、根式如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根.一般地，如果一个数的n次方等于a(n1，且nN*)，那么这个数叫做a的n次方根.当n为奇数，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数；这时，a的n次方根用符号表示；当n为偶数时，正数的n次方根是一对相反数，这时正数a的正的n次方根用符号表示；负数没有偶次方根；0的任何次方根都为0，记作0.正的n次方根和负的n次方根可以合并写成(a0).我们把形如的式子称为n次根式，其中n是大于1的正整数，称n是根指数，a称为被开方数.根据n次方根的意义，可得：()na

4、例1求下列各式的值.(1)(2)(3) (4)(5)解(1)15 (2)5(3)a1 (4)|mn|(5)|15b|总结：当n为奇数时，()na；当n为偶数时，|a|.三、分数指数幂同学们可能会发现，以前我们讨论的指数都是整数范围内的数，那么指数能不能扩展到有理数呢，如果能扩展，那么怎样扩展？这就是这一部分要讨论的内容.对于7，你可能会很迷惑，它究竟是什么东西？让我们来利用指数幂的性质来看看它到底是什么.如果把整数指数幂的运算法则推广到分数指数幂，那么应当有：(7)2727根据算术平方根的定义有：()27从以上两式可以得到以下的关系：7想一想对于a你又能得出什么样的类似结论呢？如果把整数指数幂

5、的性质进行推广，我们就很容易得到如下规定：a类似地，当m，n都是正整数且n1时，我们规定：a当a0，m，n都是正整数且n1时，我们规定：a通过以上的分数指数幂的定义，整数指数幂就被扩展到有理数指数幂.可以证明：对于有理数指数幂仍有整数指数幂的运算性质，只要其中出现的每个有理数指数幂都有意义，即：(1)amanamn(m，nQ)(2)(am)namn(m，nQ)(3)(ab)nanbn(a0，b0，nQ)例2计算下列分数指数幂的值.(1)27 (2)100(3)2 (4)解(1)2733329(2)10010(3)2(32)23481(4)(24)8例3用分数指数幂的形式表示下列各式.(1)a3

6、(2)a4(3)解(1)a3a3aa(2)a4a4aa6(3)a例4计算.解3(32)(34)33例5计算(2ab)(6ab)(3ab).解(2ab)(6ab)(3ab)2(6)(3)ab4ab04a四、计算器在指数运算中的应用对于一些简单的问题我们可以采用手算的方法，但是对于一些复杂的计算过程，手算几乎是无法完成的，这时候就需要我们借助计算器和计算机来求得近似的结果.下面就如何通过计算器(以KENKO KK88TL型号为例)进行指数运算做一个简单介绍.例6求下列各数的近似值.(1)(2)(3)(4)解(1)依次按下列各键：屏幕显示结果因此，3.(2)依次按下列各键：屏幕显示结果因此，2.(3

7、)依次按下列各键：屏幕显示结果因此，9.(4)依次按下列各键： eq x() x(6) o(sup7(SHIFT),sdo5() o(sup7(r(x),sdo5(),x(xy) x(1) x(5) x(x2) ) 屏幕显示结果因此，2.总结：例6中都出现这个键，它的作用是使紧跟在它后面的那个键按照该键上方标明的内容进行计算.习题A1.写出下列实数的平方根.(1)16(2)0.25(3)(4)64(5) (6) (7)9 (8)2252.计算下列分数指数幂的值.(1)8 (2)16 (3)243 (4)32(5)4 (6)0.0001 (7)20 (8)233.用根式的形式表示下列各式.(1)a (2)a (3)a (4)a(5)a (6)a (7)a (8)a4.计算.5.求下列各式的值.(1) (2)()5 (3)()7 (4)()2(5)()2 (6)()5 (7)()3 (8)()66.利用计算器求下列各数的近似值.(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)习题B1.求下列各式的值.(1) (2) (3) (4)25(5) (6) (7) (8)2.计算