高中数学 直接证明与间接证明学案 苏教版

1、11直接证明与间接证明（1） 课时：2课时【考点及要求】了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程及特点；了解间接证明的一种基本方法反证法，了解反证法的思考过程及特点；【高考要求】 分析法、综合法：A级 反证法： A级【基础知识】1. 直接证明：直接从 ,这种证明方法叫直接证明；直接证明的两种基本方法 和 2. 间接证明：间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法， 法是一种常用的间接证明方法，即从 开始，经过 ，导致 ，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做 法（归谬法）.【基本训练】1.命题“对于任意角“的证明：“”过程应用了 .2. 一定是 三角形.3.用反证

2、法证明“如果，那么”反设的内容是 .4.【典型例题】例1. 设为互不相等的正数，且，分别用分析法、综合法证明：练习：求证：例2.设是两相异的正数，求证：关于的一元二次方程没有实数根.【课堂作业】1.（2008年华师附中）用反证法证明命题：“三角形内角和至少有一个不大于”时，应假设（ ）A. 三个内角都不大于 B. 三个内角都大于 C. 三个内角至多有一个大于 D. 三个内角至多有两个大于2.若三角形能剖分为两个与自己相似的三角形，那么这个三角形一定是（ ）A.锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定3.证明不等式 4.已知 5、. (07年惠州第一问)已知数列满足, ，求

3、证：是等比数列； 12直接证明与间接证明（2） 课时：2课时考点1 综合法 题型：用综合法证明数学命题 例1 对于定义域为的函数，如果同时满足以下三条：对任意的，总有；若，都有成立，则称函数为理想函数(东莞20072008学年度第一学期高三调研测试)(1) 若函数为理想函数，求的值；(2)判断函数（）是否为理想函数，并予以证明；【名师指引】紧扣定义，逐个验证【新题导练】1.(2008年佛山)证明:若,则2.在锐角三角形中,求证:考点2 分析法题型：用分析法证明数学命题例2 已知,求证【名师指引】注意分析法的“格式”是“要证-只需证-”，而不是“因为-所以-”【新题导练】3. 若且，求证：4.

4、已知，求证：考点3 反证法 题型：用反证法证明数学命题或判断命题的真假例3 已知，证明方程没有负数根【解题思路】“正难则反”，选择反证法，因涉及方程的根，可从范围方面寻找矛盾【名师指引】否定性命题从正面突破往往比较困难，故用反证法比较多【新题导练】5.已知a、b、c成等差数列且公差，求证：、不可能成等差数列6. （广东省深圳市宝安中学、翠园中学2009届高三第一学期期中联合考试）下列表中的对数值有且仅有一个是错误的：358915 请将错误的一个改正为 = 考点1 综合法 题型：用综合法证明数学命题 例1 (东莞20072008学年度第一学期高三调研测试) 对于定义域为的函数，如果同时满足以下三

5、条：对任意的，总有；若，都有成立，则称函数为理想函数(1) 若函数为理想函数，求的值；(2)判断函数（）是否为理想函数，并予以证明；【解题思路】证明函数（）满足三个条件解析（1）取可得 又由条件，故 （2）显然在0，1满足条件； 也满足条件若，则 ，即满足条件， 故理想函数 【名师指引】紧扣定义，逐个验证【新题导练】1.(2008年佛山)证明:若,则解析当时，两边取对数，得，又当时2.在锐角三角形中,求证:解析为锐角三角形，在上是增函数，同理可得，3. .已知数列中各项为：个个12、1122、 ,证明这个数列中的每一项都是两个相邻整数的积.解析 个记：A = , 则A=为整数 = A (A+1

6、) ， 得证 考点2 分析法题型：用分析法证明数学命题例2 已知,求证 解析要证，只需证 即，只需证，即证显然成立，因此成立【名师指引】注意分析法的“格式”是“要证-只需证-”，而不是“因为-所以-”【新题导练】4. 若且，求证：解析要证，只需证即，因，只需证即，设，则成立，从而成立5. 已知，求证：解析 ，显然成立，故成立考点2 反证法 题型：用反证法证明数学命题或判断命题的真假例3 已知，证明方程没有负数根【解题思路】“正难则反”，选择反证法，因涉及方程的根，可从范围方面寻找矛盾 解析假设是的负数根，则且且，解得，这与矛盾，故方程没有负数根【名师指引】否定性命题从正面突破往往比较困难，故用

7、反证法比较多【新题导练】6. （08江西5校联考）某个命题与正整数有关，若时该命题成立，那么可推得时该命题也成立，现在已知当时该命题不成立，那么可推得 A.当时，该命题不成立 B.当时，该命题成立C.当时，该命题不成立 D.当时，该命题成立解析用反证法，可证当时，该命题不成立7.设a、b、c都是正数，则、三个数A.都大于2 B.都小于2 C. 至少有一个大于2 D. 至少有一个不小于2解析 ，举反例可排除A、B、C，故选D8.已知a、b、c成等差数列且公差，求证：、不可能成等差数列解析 a、b、c成等差数列，假设、成等差数列，则，从而与矛盾，、不可能成等差数列9. （广东省深圳市宝安中学、翠园

8、中学2009届高三第一学期期中联合考试）下列表中的对数值有且仅有一个是错误的：358915 请将错误的一个改正为 = 解析，所以3和9的对数值正确，若正确，则从而，即，矛盾。故15的对数值错误，应改正为抢分频道基础巩固训练1.（2008年华师附中）用反证法证明命题：“三角形内角和至少有一个不大于”时，应假设（ ）A. 三个内角都不大于 B. 三个内角都大于 C. 三个内角至多有一个大于 D. 三个内角至多有两个大于解析 B2.已知，关于的取值范围的说法正确的是（ ）A. 不大于 B.不大于2 C.不小于2 D.不小于解析 B3.若三角形能剖分为两个与自己相似的三角形，那么这个三角形一定是（ ）

9、A.锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定解析 B4.要证明不等式成立，只需证明： 解析 5.已知 与的大小关系是 解析 （注意：不能取等号）用平均值不等式6. (07年惠州第一问)已知数列满足, ，求证：是等比数列； 解析由an1an6an1，an12an3(an2an1) (n2)a15，a25a22a115故数列an12an是以15为首项，3为公比的等比数列 综合提高训练7. （金山中学2009届高三期中考）已知表中的对数值有且只有两个是错误的： x1.53568912lgx3a-b+c2a-ba+c1+a-b-c3(1-a-c）2(2a-b)1-a+2b请你指出

10、这两个错误 （答案写成如lg20abc的形式）解析若错误，则也错误，反之亦然，此时其他对数值都正确，但，、且，若错误，则也错误， 正确若错误，也能导出错误，正确，正确，综上，8. 设函数为奇函数.（）求实数的值；（）用定义法判断在其定义域上为增函数解析（）依题意，函数的定义域为R是奇函数 （）由（）知， 设且，则在R上是增函数9. 已知证明： 解析即证： 设.当x（-1，0）时，k(x)0，k(x)为单调递增函数；当x（0，）时，k(x)0，k(x)为单调递减函数；x=0为k(x)的极大值点，k(x)k(0)=0.即10. 已知函数， 的最小值恰好是方程的三个根，其中求证：；解析三个函数的最小值依次为， 由，得 ，故方程的两根是，故， ，即 参考例题：1. 设为非零向量，且不平行，求证，不平行解析假设，则，不平行，因方程组无解，故假设不成立，即原命题成立2. 已知为锐角，且，函数，数列an的首项. 求函数的表达式； 求证：； 求证： 解析 又为锐角 都大于0 , , 又 【课堂检