高中数学第二章平面向量2.2平面向量的线性运算2.2.1向量加法运算及其几何意义知识巧解学案新人教A版必修

1、2.2.1 向量加法运算及其几何意义疱工巧解牛知识巧学一、向量的加法 求任意两个向量和的运算，叫做向量的加法，两个向量的和仍是向量.由于向量是自由平移的对两个向量进行求和的过程，可按以下两个法则进行.1.三角形法则 已知非零向量a、b，在平面内任取一点A，作=a，=b，则向量叫做向量a、b的和，记作a+b，即a+b=+=.(1)利用向量加法的三角形法则求两个向量的和如图2-2-1(1)、(2)、(3)中，=a，=b，则+=.图2-2-1图2-2-1的(1)、(2)、(3)中各有两个向量，只要把其中一个向量的起点平移，使之与第二个向量的终点重合，则从第一个向量的起点指向第二个向量终点的向量，就是

2、两个向量的和向量.(2)向量加法的三角形法则适用的范围及应用三角形法则对于两个向量共线时也适用.对于零向量，课本规定a+0=0+a=a(a0)，我们可利用三角形法则，通过几何作图法作出a+0,0+a,a，观察结果，去认识规定的合理性.图2-2-2任何一个向量均可以写成两个任意向量之和，只要注意到这个向量的起点、终点即可，如：=+，如图2-2-2所示，这里的O点具有任意性.学法一得 对于首尾相连的两个向量的和，等于以第一个向量的起点为起点，以第二个向量的终点为终点的向量，这就是向量加法的三角形法则的几何意义.记忆要诀 不管平面内的点O选在何处，对于首尾相连的两个向量的和向量，它的方向总是由第一个

3、向量的起点指向第二个向量的终点.二、平行四边形法则1.以同一点A为起点的两个已知向量a、b为邻边作平行四边形ABCD，则以A为起点的对角线就是a与b的和.这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.图2-2-32.用向量加法的平行四边形法则求两个向量的和时要注意以下几点：(1)当两个向量共线时，不能用平行四边形法则求和，因为不可能以两平行向量为邻边作平行四边形，所以，平行四边形法则对于两个向量共线时是不适用的.(2)用向量加法的平行四边形法则求两个向量的和时，可在空间任取一点O，使两个向量的起点同时移到点O上去，也可把其中一个向量的起点移到另一个向量的起点上去，再作和.学法一得 以从同

4、一点O出发的两个向量为邻边作平行四边形，则从公共点O出发的对角线表示的向量就是两个向量的和，这就是向量加法的平行四边形法则的几何意义.三、向量加法的交换律和结合律1.向量加法的交换律先看看求两个向量和时,两个向量相加的次序能否交换.图2-2-4 让我们回到加法的定义.已知向量a、b,如图2-2-4所示，作=a，=b，如果A、B、C不共线，则=a+b. 再看看b+a等于什么? 作=b，连结，如果我们能证明=a，那么也就证明了加法交换律成立. 由作图可知，=b，所以四边形ABCD是平行四边形(为什么?)，这就证明了=a，即加法交换律成立.2.向量加法的结合律图2-2-5如图2-2-5，作=a，=b

5、,=c，由向量加法的定义，知=+=a+b,=+=b+c,所以=+=(a+b)+c,=+=a+(b+c),从而(a+b)+c=a+(b+c)，即向量的加法满足结合律.学法一得 与实数的运算相类比，向量也满足交换律和结合律，利用向量的运算律，可有效地简化向量的运算.四、向量加法的多边形法则 由两个向量加法的定义可知，两个向量的和仍是一个向量，这样我们就能把三个、四个或任意多个(有限)向量相加.现以四个向量为例说明，如图2-2-6.图2-2-6 已知向量a、b、c、d，在平面上任选一点O，作=a，=b，=c，=d，则=+=a+b+c+d. 已知n个向量，依次把这n个向量首尾相连，以第一个向量的起点为

6、起点，第n个向量的终点为终点的向量叫做这n个向量的和向量.这个法则叫做向量求和的多边形法则.当首尾顺次相接的向量构成封闭的向量链时，其中各向量的和就是0.记忆要诀 n个向量首尾顺次相连，首起为起，终终为终点的向量叫做n个向量的和向量.典题热题知识点一 向量加法的三角形法则例1 某人先位移向量a：“向东走3 km”，接着再位移向量b：“向北走3 km”，求a+b.解：如图2-2-7所示，适当选取比例尺，作图2-2-7=a=“向东3 km”， =b=“向北3 km”，=+=a+b.因为ABC为直角三角形，所以|=(km).又AOB=45，所以a+b表示向东北走 km.例2 用向量方法证明：对角线互

7、相平分的四边形是平行四边形.图2-2-8如图2-2-8，已知四边形ABCD，对角线AC与BD交于点O，且AO=OC，DO=OB.求证：四边形ABCD是平行四边形.思路分析：要证明四边形是平行四边形，只要证明某一组对边平行且相等即可.由相等向量的意义可知，只需证明其一组对边对应的向量是相等向量.解：由已知得=，=.=+=+=，且A、D、B、C不在同一直线上.故四边形ABCD是平行四边形.例3 轮船从A港沿东偏北30方向行驶了40 n mile(海里)到达B处，再由B处沿正北方向行驶40 n mile到达C处.求此时轮船与A港的相对位置.思路分析：如图2-2-9，设、分别表示轮船发生的位移，轮船到

8、达C处可由确定，则=+.图2-2-9解：设、分别表示轮船的两次位移，则表示轮船的合位移，=+.在RtADB中，ADB=90，DAB=30，|=40 n mile，所以|=20 n mile，|=203 n mile.在RtADC中，ADC=90，|=60 n mile，所以|= n mile.因为|=2|，所以CAD=60.答：轮船此时位于A港东偏北60，且距A港 n mile的C处.方法归纳 向量的模可通过勾股定理求解，方向可通过锐角的三角函数的定义求解.知识点二 平行四边形法则例4 已知正方形的边长为1，=a，=b,=c，试作向量a+b+c.解：如图2-2-10,由已知得a+b=+=，又=

9、c，所以延长AC至E，使|=|，则a+b+c=，|=.图2-2-10例5 两个力F1和F2同时作用在一个物体上，其中F1=40 N，方向向东，F2=30 N，方向向北，求它们的合力.解：如图2-2-11所示，表示F1，表示F2.以、为邻边作OACB，则表示合力F.图2-2-11在RtOAC中，|=40 N，|=|=30 N.由勾股定理，得F=|= (N).设合力F与力F1的夹角为，则tan=0.75.所以37.答：合力大小为50 N，方向向东偏北37.知识点三 和向量的模例6 若|=8,|=5,则|的取值范围是( )A.3,8 B.(3,8) C.3.13 D.(3,13)思路分析：=-, 当

10、、同向时，|=8-5=3;当、反向时，|=8+5=13；当、不共线时，3|13.答案：C例7 下列命题如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么，a+b的方向必与a、b之一的方向相同；ABC中，必有+=0；若+=0，则A、B、C为一个三角形的三个顶点；若a、b均为非零向量，则|a+b|与|a|+|b|一定相等.其中真命题的个数为( )A.0 B.1 C.2 D.3思路分析：假命题.当a+b=0时，命题不成立.真命题.假命题.当A、B、C三点共线时也可以有+=0.假命题.只有当a与b同向时，相等，其他情况均为|a+b|a|+|b|.答案：B方法归纳 (1)当向量a、b共线且同向时，|a+b|=|a

11、|+|b|；(2)当向量a、b共线且反向时，若|a|b|，则|a+b|=|a|-|b|；若|a|b|，则|a+b|=|b|-|a|. 因为三角形中两边之和大于第三边，由向量加法的几何意义不难知道，当a与b不共线时，恒有|a+b|a|+|b|，即两个向量和的长度小于两个向量长度之和.在一般情况下，有|a+b|a|+|b|.问题探究方案设计探究问题 课堂上老师布置作两个向量的和，同学们选择的始点通常都是不相同的，那么选择不同的始点作出的向量都相等吗？或许你会认为，这还需要理由吗，这是“显然”成立的.到底这种“显然”是否正确，你能否设计一个方案逻辑地说明这个问题？探究思路：如图2-2-12，在平面内

12、任取一点A，以A为始点依次作向量=a，=b，连结向量，则由三角形法则知=a+b.再任取一点A,以A为始点依次作向量=a，=b，连结向量.图2-2-12 由于=a，故四边形AABB为平行四边形，则AABB且AA=BB. 由=b，则四边形BBCC为平行四边形，则BBCC且BB=CC. 所以AACC且AA=CC,即四边形AACC为平行四边形.则ACAC且AC=AC.又与方向相同，所以=.探究结论：选择不同的始点作出的向量和都相等.于是你所认为的“显然”是非常正确的，你的直觉没有欺骗你.思想方法探究问题 如果已知五个四边形ACPH，AMBE，AHBT，BMHK，CKXP都是平行四边形(所有四边形的顶点按同一方向排列)，那么四边形ABTE也是平行四边形，你能证明这个问题吗？从中你能体会什么样的数学思想方法？探究过程：解决本