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文档简介

1、二、分布函数及其基本性质,1,为了对离散型的和连续型的随机变量以及更广泛类型的随机变量给出一种统一的描述方法，引进了分布函数的概念.,2,定义：,3,说明 X是随机变量, x是参变量。 F(x) 是随机变量X取值不大于 x 的概率。 由定义，对任意实数 x1x2，随机点落 在区间（ x1 , x2 的概率为： P x1X x2 = P X x2 - P X x1 = F(x2)-F(x1),4,离散型随机变量分布函数的计算,设离散型随机变量分布律为 PX=xk=pk,k=1,2, 由概率的可列可加性得X的分布函数为 F(x)= PXx=PXxk=pk 这里和式是对于所有满足xkx的k求和.,5

2、,当 x0 时， X x = ， 故 F(x) =0,当 0 x 1 时， F(x) = P(X x) = P(X=0) =,6,当 1 x 2 时， F(x) = P(X=0) + P(X=1) = + =,当 x 2 时， F(x) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 1,7,不难看出，F(x) 的图形是阶梯状的图形，在 x=0，1，2 处有跳跃，其跃度分别等于 P(X=0) , P(X=1) , P(X=2).,8,例,已知 X 的分布律为,求X的分布函数， 并画出它的图形。,9,-1,1,2,3,0.25,0.5,1,x,F(x),F(x)的示意图,10,引进分布

3、函数F(x)后，事件的概率都可以用F(x)的函数值来表示。,P（Xb）=F(b),P（aXb）=F(b)-F(a),P（Xb）=1-P（Xb）=1 - F(b),P（aXb）=P(X b)-P(Xa)= F(b)- F(a),11,例:设随机变量X的分布律为,求X的分布函数,并求PX1/2,P3/2X 5/2,P2 X 3.,解:由概率的有限可加性得,即,PX1/2=F(1/2)=1/4,P3/2X 5/2 =F(5/2)-F(3/2) =3/4 -1/4=1/2,P2 X 3 = F(3)-F(2)+PX=2 =1-1/4+1/2=3/4,12,解,(1),13,(2),14,分布函数的性质

4、,15,试说明F(x)能否是某个随机变量的分布函数.,例 设有函数 F(x),解： 注意到函数 F(x)在 上下降， 不满足性质(1)，故F(x)不能是分布函数.,不满足性质(2)， 可见F(x)也不能是随机变量的 分布函数.,或者,16,例 在区间 0，a 上任意投掷一个质点，以 X 表示这个质点的坐标. 设这个质点落在 0, a中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比，试求 X 的分布函数.,解：设 F(x) 为 X 的分布函数，,当 x 0 时，F(x) = P(X x) = 0,当 x a 时，F(x) =1,17,当 0 x a 时， P(0 X x) = kx (k为常数 ),F(x) = P(X x) = P(X0) + P(0 X x)

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