2.3.1双曲线的标准方程

1、双曲线的标准方程,建昌高中 李景民,问题1：椭圆的定义是什么？,平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2| ）的点的轨迹叫做椭圆。,问题3：如果把椭圆定义中“距离的和”改为“距离的差”那么动点的轨迹会发生怎样的变化？这个常数小于|F1F2|,复习引入,请认真观察,视频,如图(A)，,|MF1|-|MF2|=2a,如图(B)，,|MF2|-|MF1|=2a,由可得：,| |MF1|-|MF2| | = 2a （差的绝对值）,上面 两条曲线合起来叫做 双曲线,每一条叫做双曲线 的一支。,看图分析动点M满足的条件：,平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于|F1

2、F2|，且不等于0）的点的轨迹叫做双曲线。,这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距。,通常情况下，我们把|F1F2|记为2c（c0)； 常数记为2a(a0).,问题5: 定义中为什么强调常数要小于|F1F2|且不等于0（即02a2c）？如果不对常数加以限制 ，动点的轨迹会是什么？,问题4:定义中为什么强调距离差的绝对值为常数？,一、双曲线的定义,若2a=2c,则轨迹是什么？,若2a2c,则轨迹是什么？,若2a=0,则轨迹是什么？,此时轨迹为以F1或F2为端点的两条射线,此时轨迹不存在,此时轨迹为线段F1F2的垂直平分线,F1,F2,F1,F2,分3种情况来看：,1. 建系.

3、,以F1,F2所在的直线为x轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系,2.设点,设M（x , y）,则F1(-c,0),F2(c,0),3.列式,|MF1| - |MF2|=2a,4.化简,二、双曲线标准方程的推导,此即为焦点在x轴上的双曲线的标准方程,思 考,类比椭圆方程写出焦点在y轴上的双曲线方程,三.双曲线的标准方程, 方程用“”号连接。, 分母是 但 大小不定。, 。,如果 的系数是正的，则焦点在 轴上；如果 的系数是正的，则焦点在 轴上。,例1: 已知F1(-5，0)，F2（5，0），动点P到 F1、F2的距离之差的绝对值为6，求点P的轨迹.,两条射线,轨迹不存在,1、若|PF1|

4、-|PF2|=6呢？,3、若|PF1|-|PF2|=12呢？,2、若|PF1|-|PF2|=10呢？,注意,没有“绝对值”这个条件时,仅表示双曲线的一支,例2 已知A,B两地相距2000m,在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚4s,且声速为330m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.,解: 由声速及在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚4s,可知A地与爆炸点 的距离比B地与爆炸点的距离远1320m.因为|AB|=2000m, 13202000 所以爆炸点的轨迹是以A、B为焦点的双曲线在靠近B处的一支上.,练习1.求适合下列条件的双曲线的标准方程 (1)a=4,b=3，焦点在x轴上； (2)焦点为(0,6),(0,6)，经过点(2,5),随堂练习,(3)过点 P ( 3 , )、Q ( , 5 ) 且焦点在坐标 轴上； (4) c = ，经过点 (5 , 2 )，焦点在 x 轴上； (5)与双曲线 有相同焦点，且经过 点 ( 3 , 2 ),练习2:已知双曲线 上一点,到,双曲线的一个焦点的距离为9，则它到另,一个焦点的距离为 .,3或15,练习3.已知方程 表示焦点在y轴的 双曲线，则实数m的取值范围是_,变式: 上述方程表示双曲线，则m的取值范围是 _,m2或m1,m2,小结：,双曲线的定义； 双曲