高中数学 第一章 三角函数 1.3.2 三角函数的图象与性质(三)学案 苏教版必修

1、1.3.2三角函数的图象与性质(三)学习目标1.了解正切函数图象的画法，理解掌握正切函数的性质.2.能利用正切函数的图象及性质解决有关问题知识链接1正切函数的定义域是什么？用区间如何表示？答，x(kZ)2如何作正切函数的图象？答类似于正弦、余弦函数的“五点法”作图，正切曲线的简图可用“三点两线法”，这里的三点分别为(k，0)，其中kZ，两线分别为直线xk(kZ)，xk(kZ)3根据相关诱导公式，你能判断正切函数是周期函数吗？其最小正周期为多少？答由诱导公式tan(x)tan x，可知正切函数是周期函数，最小正周期是.4根据相关诱导公式，你能判断正切函数具有奇偶性吗？答从正切函数的图象来看，正切

2、曲线关于原点对称；从诱导公式来看，tan(x)tan x故正切函数是奇函数预习导引函数ytan x的图象与性质见下表：ytan x图象定义域x|xR，且xk，kZ值域R周期最小正周期为奇偶性奇函数单调性在每个开区间(kZ)内递增对称性对称中心(kZ)，无对称轴要点一求正切函数的定义域例1求函数y的定义域解根据题意，得解得(kZ)，所以函数的定义域为(kZ)规律方法求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时要充分利用三角函数的图象或三角函数线跟踪演练1求函数ylg(1tan x)的定义域解由题意得即1tan x1.在内，满足上述不等式的x的取值范围是.又ytan x的周期为，所以函

3、数定义域是(kZ)要点二正切函数的单调性及应用例2(1)求函数ytan的单调区间；(2)比较tan 1、tan 2、tan 3的大小解(1)ytantan，由kxk，kZ，得2kx2k，kZ，函数ytan的单调递减区间是，kZ.(2)tan 2tan(2)，tan 3tan(3)，又2，20.3，30，显然231，且ytan x在内是增函数，tan (2)tan (3)tan 1，即tan 2tan 3 tan 1.规律方法正切型函数单调性求法与正弦、余弦型函数求法一样，采用整体代入法，但要注意区间为开区间且只有单调增区间或单调减区间利用单调性比较大小要把角转化到同一单调区间内跟踪演练2(1)

4、求函数y3tan的单调递减区间；(2)比较tan 与tan的大小解(1)y3tan3tan，令k2xk，则x，kZ，从而函数y3tan的单调递增区间为，kZ，故函数y3tan的单调递减区间为，kZ.(2)tantantan，tantantantantan，ytan x在上单调递增，tantan.要点三正切函数图象与性质的综合应用例3设函数f(x)tan.(1)求函数f(x)的定义域、周期、单调区间及对称中心；(2)求不等式1f(x)的解集；(3)作出函数yf(x)在一个周期内的简图解(1)由k(kZ)得x2k，f(x)的定义域是.，周期T2.由kk(kZ)，得2kx2k(kZ)函数f(x)的单

5、调递增区间是(2k，2k)(kZ)由(kZ)得xk，故函数f(x)的对称中心是(kZ)(2)由1tan，得kk(kZ)解得2kx2k(kZ)不等式1f(x)的解集是.(3)令0，则x.令，则x.令，则x.函数ytan的图象与x轴的一个交点坐标是，在这个交点左、右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x，x，从而得函数yf(x)在一个周期内的简图(如图)规律方法对于形如ytan(x)(、为非零常数)的函数性质和图象的研究，应以正切函数的性质与图象为基础，运用整体思想和换元法求解如果tan 800；tan 1tan 2；tan tan ；tan 0)的图象的相邻两支截直线y所得线段长为，则f的值是_答案0

6、解析由题意得，T，4.f(x)tan 4x，ftan 0.7求函数ytan2x4tan x1，x的值域解x，1tan x1.令tan xt，则t1,1yt24t1(t2)25.当t1，即x时，ymin4，当t1，即x时，ymax4.故所求函数的值域为4,4二、能力提升8已知函数ytan x在内是减函数，则的取值范围是_答案10解析ytan x在内是减函数，0且T.|1，即10.9函数ytan xsin x|tan xsin x|在区间内的图象是_答案解析当x时，tan xsin x，y2tan x0；当x时，y0；当xsin x，y2sin x.10函数y3tan(x)的最小正周期是，则_.答

7、案2解析T，2.11已知函数f(x)x22xtan 1，x1，(，)(1)当时，求函数f(x)的最大值和最小值(2)求的取值范围，使yf(x)在区间1，上是单调函数解(1)当时，f(x)x2x1(x)2(x1，)，当x时，f(x)min；当x1时，f(x)max.(2)函数f(x)(xtan )21tan2的图象的对称轴为直线xtan .yf(x)在区间1，上是单调函数，tan 1或tan .tan 1或tan .解得的取值范围是，)(，12设函数f(x)tan(x)(0,0)，已知函数yf(x)的图象与x轴相邻两交点的距离为，且图象关于点M(，0)对称，求f(x)的解析式解由题意可知，函数f(x)的最小正周期T，即，2.从而f(x)tan(2x)函数yf(x)的图象关于点M(，0)对称，2()k或k，kZ，即k或k(kZ)0xsin x，所以当x时，ysin x与ytan x没有公共点，因此函数ysin x与ytan x在区间0,2内的图象如图所示：观察图象可知，函