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文档简介

5.4实对称矩阵的对角化,一、对称矩阵的性质(4个Th),二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法,定理1实对称矩阵的特征值为实数.,证明,一、对称矩阵性质,于是有,两式相减，得,定理1的意义：,说明：本节所提到的对称矩阵， 除非特别说明，均指实对称矩阵,证明,于是,一、对称矩阵性质,定理1:实对称矩阵的特征值为实数.,定理1的意义：,证明,它们的重数依次为,由定理1（对称矩阵的特征值为实数）和定理3得：,设 的互不相等的特征值为,由定理2知对应于不同特征值的特征向量正交，,这样的特征向量共可得 个.,故这 个单位特征向量两两正交.,以它们为列向量构成正交矩阵 ，则,根据上述结论，利用正交矩阵P将对称矩阵A化 为对角矩阵，其步骤为：,二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法,2.,1.,具体详细过程如上：,解,例 1实对称阵A，求正交矩阵 ，使 为对角阵.,(1)第一步 求 的特征值,解之得基础解系,解之得基础解系,解之得基础解系,第三步 将特征向量正交单位化,解,由,例2,设,例3,解,1.对称矩阵的性质：,三、小结,(1)特征值为实数； (2)属于不同特征值的特征向量正交； (3)特征值的重数和与之对应的线性无关的 特征向量的个数相等； (4)必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵， 且对角矩阵对角元素即为特征值,2.利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤：,(1)求特征值；(2)找特征

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