（河北专版）2019年中考数学一轮复习 第八章 专题拓展 8.7 实践与探究（试卷部分）课件.ppt

1、8.7实践与探究,中考数学 (河北专用),一、拓展与探究,好题精练,1.(2018河南,22,10分) (1)问题发现 如图1,在OAB和OCD中,OA=OB,OC=OD,AOB=COD=40,连接AC,BD交于点M.填空: 的值为; AMB的度数为. (2)类比探究 如图2,在OAB和OCD中,AOB=COD=90,OAB=OCD=30,连接AC交BD的延长线于点M.请判断的值及AMB的度数,并说明理由.,(3)拓展延伸 在(2)的条件下,将OCD绕点O在平面内旋转,AC,BD所在直线交于点M.若OD=1,OB=,请直 接写出当点C与点M重合时AC的长.,解析(1)1.(1分) 40.(注:

2、若填为40,不扣分)(2分) (2)=,AMB=90.(注:若无判断,但后续证明正确,不扣分)(4分) 理由如下: AOB=COD=90,OAB=OCD=30,=, 又COD+AOD=AOB+AOD,即AOC=BOD. AOCBOD.(6分) =,CAO=DBO. AOB=90,DBO+ABD+BAO=90. CAO+ABD+BAO=90.AMB=90.(8分) (3)AC的长为2或3.(10分) 【提示】在OCD旋转过程中,(2)中的结论仍成立,即=,AMB=90. 如图所示,当点C与点M重合时,AC1,AC2的长即为所求.,思路分析(1)证明AOCBOD,得AC=BD,OAC=OBD, A

3、MB=AOB=40;(2)证明AOCBOD,得=,OAC=OBD,AMB=AOB=90;(3)作图确定OCD旋 转后点C的两个位置,分别求出BD的长度,根据=得出AC的长.,方法规律本题为类比探究拓展问题,首先根据题(1)中的特例感知解决问题的方法,类比探究,可以类比(1)中解法,解(2)中的问题,得出结论,总结解答前两个问题所用的方法和所得结论,依据结论对(3)中的问题分析,通过作图,计算得出结果.问题(3)直接求AC的两个值难度较大,可以先求出BD的两个值,根据=,再求出AC的两个值.,2.(2017河南,22,10分)如图1,在RtABC中,A=90,AB=AC,点D,E分别在边AB,A

4、C上,AD=AE,连接DC,点M,P,N分别为DE,DC,BC的中点. (1)观察猜想 图1中,线段PM与PN的数量关系是,位置关系是; (2)探究证明 把ADE绕点A按逆时针方向旋转到图2的位置,连接MN,BD,CE,判断PMN的形状,并说明理由; (3)拓展延伸 把ADE绕点A在平面内自由旋转,若AD=4,AB=10,请直接写出PMN面积的最大值.,解析(1)PM=PN;PMPN.(2分) (2)等腰直角三角形.(3分) 理由如下: 由旋转可得BAD=CAE.又AB=AC,AD=AE, BADCAE.BD=CE,ABD=ACE.(5分) 点P,M分别是DC,DE的中点,PM是DCE的中位线

5、. PM=CE且PMCE. 同理可证PN=BD且PNBD. PM=PN,MPD=ECD,PNC=DBC.(6分) MPD=ECD=ACD+ACE=ACD+ABD,DPN=PNC+PCN=DBC+PCN. MPN=MPD+DPN=ACD+ABD+DBC+PCN=ABC+ACB=90,即PMN为等腰直角三角形.(8分) (3).(10分) 详解:同(2)可证PMN是等腰直角三角形,PM=PN,PMPN.,又知PM=EC,所以SPMN=PM2=EC2, 所以当EC最大时,SPMN最大. 如图,EC的最大值为AE+AC=AD+AB=4+10=14, SPMN的最大值为.,3.(2015湖北随州,24,

6、10分)问题:如图(1),点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上,EAF=45,试判断BE、EF、FD之间的数量关系. 【发现证明】 小聪把ABE绕点A逆时针旋转90至ADG,从而发现EF=BE+FD,请你利用图(1)证明上述结论. 【类比引申】 如图(2),四边形ABCD中,BAD90,AB=AD,B+D=180,点E、F分别在边BC、CD上,则当EAF与BAD满足关系时,仍有EF=BE+FD. 【探究应用】 如图(3),在某公园的同一水平面上,四条通道围成四边形ABCD.已知AB=AD=80米,B=60,ADC=120,BAD=150,道路BC、CD上分别有景点E、F,且AEAD,D

7、F=40(-1)米,现要在 E、F之间修一条笔直道路,求这条道路EF的长(结果取整数,参考数据:=1.41,=1.73),解析【发现证明】证明:ADGABE, AG=AE,DAG=BAE,DG=BE, 又EAF=45,即DAF+BEA=EAF=45, GAF=FAE, 在GAF和FAE中, AFGAFE(SAS).GF=EF. 又DG=BE,GF=BE+DF,BE+DF=EF. 【类比引申】BAD=2EAF. 理由如下:如图,延长CB至M,使BM=DF,连接AM,ABC+D=180,ABC+ABM=180, D=ABM, 在ABM和ADF中, ABMADF(SAS), AF=AM,DAF=BA

8、M, BAD=2EAF,DAF+BAE=EAF, EAB+BAM=EAM=EAF, 在FAE和MAE中, FAEMAE(SAS), EF=EM=BE+BM=BE+DF. 即EF=BE+DF. 【探究应用】如图,连接AF,延长BA,CD交于点O.,易知AOD=90,在RtAOD中,ODA=60,OAD=30,AD=80米, AO=40 米,OD=40米,OF=OD+DF=40+40(-1)=40 米, 在RtOAF中,AO=OF,OAF=45, DAF=45-30=15,EAF=90-15=75,EAF=BAD. 由【类比引申】的结论可得EF=BE+DF=40(+1)109米.,二、思考与探究

9、(2017江苏南京,27,11分)折纸的思考. 【操作体验】 用一张矩形纸片折等边三角形. 第一步,对折矩形纸片ABCD(ABBC)(图),使AB与DC重合,得到折痕EF,把纸片展平(图). 第二步,如图,再一次折叠纸片,使点C落在EF上的P处,并使折痕经过点B,得到折痕BG,折出PB、PC,得到PBC.,(1)说明PBC是等边三角形. 【数学思考】 (2)如图,小明画出了图的矩形ABCD和等边三角形PBC.他发现,在矩形ABCD中把PBC经过图形变化,可以得到图中的更大的等边三角形.请描述图形变化的过程. (3)已知矩形一边长为3 cm,其邻边长为a cm.对于每一个确定的a的值,在矩形中都

10、能画出最大的等边三角形.请画出不同情形的示意图,并写出对应的a的取值范围.,【问题解决】 (4)用一张正方形铁片剪一个直角边长分别为4 cm和1 cm的直角三角形铁片,所需正方形铁片的边长的最小值为cm.,解析(1)证明:由折叠可知PB=PC,BP=BC, 因此PBC是等边三角形. (2)本题答案不唯一,下列解法供参考. 如图,以点B为中心,在矩形ABCD中把PBC按逆时针方向旋转适当的角度,得到P1BC1;再以点B为位似中心,将P1BC1放大,使点C1的对应点C2落在CD上,得到P2BC2. (3)本题答案不唯一,下列解法供参考.,思路分析(1)由折叠的性质和垂直平分线的性质得出PB=PC,

11、PB=CB,得出PBC是等边三角形;(2)依据旋转的性质和位似的性质即可得出答案;(3)利用等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理进行计算,即可画出图形;(4)证明AEFDCE,得出=,设AE=x cm,则AD=CD=4x cm,DE=AD-AE=3x cm,在RtCDE 中,由勾股定理得出方程,进而得出边长的最小值.,三、实践与探究 (2016山西,22,12分)综合与实践 问题情境 在综合与实践课上,老师让同学们以“菱形纸片的剪拼”为主题开展数学活动.如图1,将一张菱形纸片ABCD(BAD90)沿对角线AC剪开,得到ABC和ACD. 操作发现 (1)将图1中的ACD以A为旋转中心,按

12、逆时针方向旋转角,使=BAC,得到如图2所示的,ACD,分别延长BC和DC交于点E,则四边形ACEC的形状是; (2)创新小组将图1中的ACD以A为旋转中心,按逆时针方向旋转角,使=2BAC,得到如图3所示的ACD,连接DB,CC,得到四边形BCCD,发现它是矩形.请你证明这个结论; 实践探究 (3)缜密小组在创新小组发现结论的基础上,量得图3中BC=13 cm,AC=10 cm,然后提出一个问题:将ACD沿着射线DB方向平移a cm,得到ACD,连接BD,CC,使四边形BCCD恰好为正方形,求a的值.请你解答此问题; (4)请你参照以上操作,将图1中的ACD在同一平面内进行一次平移,得到AC

13、D,在图4中画出平移后构造出的新图形,标明字母,说明平移及构图方法,写出你发现的结论,不必证明. 图4,解析(1)菱形. (2)证明:如图,作AECC于点E. 由旋转得AC=AC,CAE=CAE=BAC. 由题意知BA=BC,BCA=BAC. CAE=BCA,AEBC. 同理,AEDC,BCDC. 又BC=DC,四边形BCCD是平行四边形. 又AEBC,CEA=90, BCC=180-CEA=90, 四边形BCCD是矩形. (3)过点B作BFAC,垂足为F.,一、拓展与探究,教师专用题组,1.(2017江西,23,12分)我们定义:如图1,在ABC中,把AB绕点A顺时针旋转(0180)得到AB

14、,把AC绕点A逆时针旋转得到AC,连接BC.当+=180时,我们称ABC是ABC的“旋补三角形”,ABC边BC上的中线AD叫做ABC的“旋补中线”,点A叫做“旋补中心”. 特例感知 (1)在图2,图3中,ABC是ABC的“旋补三角形”,AD是ABC的“旋补中线”. 如图2,当ABC为等边三角形时,AD与BC的数量关系为AD=BC; 如图3,当BAC=90,BC=8时,则AD长为. 猜想论证 (2)在图1中,当ABC为任意三角形时,猜想AD与BC的数量关系,并给予证明.,拓展应用 (3)如图4,在四边形ABCD中,C=90,D=150,BC=12,CD=2,DA=6.在四边形内部是否存 在点P,

15、使PDC是PAB的“旋补三角形”?若存在,给予证明,并求PAB的“旋补中线”长;若不存在,说明理由. 图4,解析(1).(1分) 4.(3分) (2)猜想:AD=BC.(4分) 证明:证法一:如图,延长AD至E,使DE=AD,连接BE,CE. AD是ABC的“旋补中线”, BD=CD, 四边形ABEC是平行四边形, ECBA,EC=BA, ACE+BAC=180. 由定义可知BAC+BAC=180,BA=BA,AC=AC,ACE=BAC,EC=BA. ACECAB. AE=CB.(6分) AD=AE,AD=BC.(7分) 证法二:如图,延长BA至F,使AF=BA,连接CF. BAC+CAF=1

16、80. 由定义可知BAC+BAC=180,BA=BA,AC=AC, CAB=CAF,AB=AF, ABCAFC, BC=FC.(6分),BD=CD,BA=AF, AD是BFC的中位线, AD=FC, AD=BC.(7分) 证法三:如图,将ABC绕点A顺时针旋转CAC的度数,得到AEC,此时AC与AC重合,设D的对应点为D,连接AD. 由定义可知BAC+BAC=180, 由旋转得BAC=EAC, BAC+EAC=180, E,A,B三点在同一直线上.(6分),AB=AB=AE,ED=DC, AD是EBC的中位线, AD=BC, AD=BC.(7分) (注:其他证法参照给分) (3)存在.(8分)

17、 如图,以AD为边在四边形ABCD的内部作等边PAD,连接PB,PC,延长BP交AD于点F, 则有ADP=APD=60,PA=PD=AD=6.,CDA=150,CDP=90. 过点P作PEBC于点E,易知四边形PDCE为矩形, CE=PD=6, tan1=, 1=30,2=60.(9分) PEBC,且易知BE=EC, PC=PB,3=2=60, APD+BPC=60+120=180. 又PA=PD,PB=PC, PDC是PAB的“旋补三角形”.(10分) 3=60,DPE=90,DPF=30. ADP=60,BFAD, AF=AD=3,PF=AD=3. 在RtPBE中,PB=4. BF=PB+

18、PF=7. 在RtABF中,AB=2.(11分) PDC是PAB的“旋补三角形”, 由(2)知,PAB的“旋补中线”长为AB=.(12分) 求解“旋补中线”补充解法如下: 如图,分别延长AD,BC相交于点G, ADC=150,BCD=90, GDC=30,GCD=90.,在RtGDC中,GD=2=4. GC=GD=2, GA=6+4=10,GB=2+12=14. 过A作AHGB交GB于点H,在RtGAH中, AH=GAsin 60=10=5,GH=AG=5. HB=GB-GH=14-5=9, 在RtABH中,AB=2.(10分) PDC是PAB的“旋补三角形”, 由(2)知,PAB的“旋补中线

19、”长为AB=.(12分) (注:其他解法参照给分),2.(2015山东德州,23,10分) (1)问题:如图1,在四边形ABCD中,点P为AB上一点,DPC=A=B=90. 求证:ADBC=APBP. (2)探究:如图2,在四边形ABCD中,点P为AB上一点,当DPC=A=B=时,上述结论是否依然成立?说明理由. (3)应用:请利用(1)(2)获得的经验解决问题: 如图3,在ABD中,AB=6,AD=BD=5,点P以每秒1个单位长度的速度由点A出发,沿边AB向点B运动,且满足DPC=A,设点P的运动时间为t(秒),当以D为圆心,DC为半径的圆与AB相切时,求t的值.,解析(1)证明:DPC=A

20、=B=90, ADP+APD=90,BPC+APD=90, ADP=BPC, ADPBPC.(1分) =. ADBC=APBP.(2分) (2)结论ADBC=APBP仍成立.(3分) 理由:BPD=DPC+BPC, 又BPD=A+ADP, DPC+BPC=A+ADP. DPC=A=,BPC=ADP. 又A=B=,ADPBPC.(4分) =.ADBC=APBP.(5分) (3)如图,过点D作DEAB于点E.,AD=BD=5,AB=6, AE=BE=3,在RtBED中,由勾股定理得DE=4.(5分) 以D为圆心,DC为半径的圆与AB相切, DC=DE=4,BC=5-4=1. 又AD=BD,A=B.

21、 DPC=A,DPC=B. 由(1)、(2)的经验可知ADBC=APBP.(7分) AP=t,BP=6-t, t(6-t)=51.(8分),解得t1=1,t2=5.t的值为1或5.(10分),ADBC. =.(依据1) BE=AB,=1.EM=DM. 即AM是ADE的DE边上的中线, 又AD=AE,AMDE.(依据2) AM垂直平分DE. 反思交流: (1)上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么? 试判断图1中的点A是否在线段GF的垂直平分线上,请直接回答,不必证明; (2)创新小组受到勤奋小组的启发,继续进行探究,如图2,连接CE,以CE为一边在CE的左下方作正方形CEFG,发现点

22、G在线段BC的垂直平分线上,请你给出证明; 探索发现: (3)如图3,连接CE,以CE为一边在CE的右上方作正方形CEFG,可以发现点C,点B都在线段AE的垂直平分线上,除此之外,请观察矩形ABCD和正方形CEFG的顶点与边,你还能发现哪个顶点,在哪条边的垂直平分线上,请写出一个你发现的结论,并加以证明. 图2 图3,解析(1)依据1:两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例(或平行线分线段成比例).(1分) 依据2:等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线及底边上的高互相重合(或等腰三角形的“三线合一”).(2分) 点A在线段GF的垂直平分线上.(3分) (2)证明:过点G作GHBC于点H

23、.(4分) 四边形ABCD是矩形,点E在AB的延长线上, CBE=ABC=GHC=90. 1+2=90. 四边形CEFG为正方形,CG=CE,GCE=90. 1+3=90,2=3. GHCCBE.(6分) HC=BE.四边形ABCD是矩形,AD=BC. AD=2AB,BE=AB,BC=2BE=2HC,HC=BH. GH垂直平分BC. 点G在BC的垂直平分线上.(7分) (3)点F在BC边的垂直平分线上(或点F在AD边的垂直平分线上).(8分) 证法一:过点F作FMBC于点M,过点E作ENFM于点N.(9分),BMN=ENM=ENF=90. 四边形ABCD是矩形,点E在AB的延长线上, CBE=

24、ABC=90. 四边形BENM为矩形.(10分) BM=EN,BEN=90. 1+2=90. 四边形CEFG为正方形, EF=EC,CEF=90.2+3=90. 1=3. CBE=ENF=90, ENFEBC.(11分) NE=BE.BM=BE. 四边形ABCD是矩形,AD=BC. AD=2AB,AB=BE,BC=2BM.,BM=MC. FM垂直平分BC,点F在BC边的垂直平分线上.(12分) 证法二:过F作FNBE交BE的延长线于点N,连接FB,FC.(9分) 四边形ABCD是矩形,点E在AB的延长线上, CBE=ABC=N=90. 1+3=90. 四边形CEFG为正方形,EC=EF,CEF

25、=90. 1+2=90,2=3. ENFCBE.(10分),NF=BE,NE=BC. 四边形ABCD是矩形,AD=BC. AD=2AB,BE=AB,设BE=a,则BC=EN=2a,NF=a. BF=a, CE=a, CF=CE=a.(11分) BF=CF. 点F在BC边的垂直平分线上.(12分),2.(2017山东临沂,25,11分)数学课上,张老师出示了问题:如图1,AC、BD是四边形ABCD的对角线,若ACB=ACD=ABD=ADB=60,则线段BC,CD,AC三者之间有何等量关系? 经过思考,小明展示了一种正确的思路:如图2,延长CB到E,使BE=CD,连接AE,证得ABEADC,从而容

26、易证明ACE是等边三角形,故AC=CE,所以AC=BC+CD. 小亮展示了另一种正确的思路:如图3,将ABC绕着点A逆时针旋转60,使AB与AD重合,从而容易证明ACF是等边三角形,故AC=CF,所以AC=BC+CD. 在此基础上,同学们作了进一步的研究: (1)小颖提出:如图4,如果把“ACB=ACD=ABD=ADB=60”改为“ACB=ACD=,ABD=ADB=45”,其他条件不变,那么线段BC,CD,AC三者之间有何等量关系?针对小颖提出的问题,请你写出结论,并给出证明; (2)小华提出:如图5,如果把“ACB=ACD=ABD=ADB=60”改为“ACB=ACD=ABD=ADB=”,其他

27、条件不变,那么线段BC,CD,AC三者之间有何等量关系?针对小华提出的问题,请你写出结论,不用证明.,解析(1)BC+CD=AC. 证明:如图,延长CB到E,使BE=CD,连接AE. ACB=ACD=ABD=ADB=45, BAD=90,BCD=90,AD=AB. ABC+ADC=180,又ABE+ABC=180, ADC=ABE.ADCABE. AC=AE,CAD=EAB.EAC=BAD=90. CE=AC,BC+CD=AC. (2)BC+CD=2ACcos . (证明:如图,延长CB到E,使BE=CD,连接AE.,ACB=ACD=ABD=ADB=, BAD=180-2,BCD=2,AD=A

28、B. BAD+BCD=180,ABC+ADC=180. 又ABE+ABC=180, ADC=ABE,ADCABE,AC=AE. 过点A作AFCE,则EC=2CF. 在RtACF中,CF=ACcos . EC=2ACcos ,BC+CD=2ACcos .),一题多解(1)BC+CD=AC. 证明:ACB=ACD=ABD=ADB=45, BAD=90,BCD=90. ABC+ADC=180. 将ABC绕着点A逆时针旋转90至ADF, 使AB与AD重合. DF=BC,F=ACB=45,CAF=90,ADF=ABC. ADF+ADC=180. C、D、F三点在同一条直线上. CF=AC.BC+CD=A

29、C.,三、实践与探究,1.(2018陕西,25,12分)问题提出 (1)如图,在ABC中,A=120,AB=AC=5,则ABC的外接圆半径R的值为. 问题探究 (2)如图,O的半径为13,弦AB=24,M是AB的中点,P是O上一动点,求PM的最大值. 问题解决 (3)如图所示,AB、AC、是某新区的三条规划路,其中,AB=6 km,AC=3 km,BAC=60, 所对的圆心角为60.新区管委会想在路边建物资总站点P,在AB、AC路边分别建物资分站 点E、F,也就是,分别在、线段AB和AC上选取点P、E、F.由于总站工作人员每天都要将物 资在各物资站点间按PEFP的路径进行运输,因此,要在各物资

30、站点之间规划道路PE、EF和FP.为了快捷、环保和节约成本,要使得线段PE、EF、FP之和最短,试求PE+EF+FP的最小值.(各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计),解析(1)5(2分) 详解:如图,设O是ABC的外接圆的圆心, OA=OB=OC,又AB=AC,AOBAOC, BAO=CAO, BAC=120,BAO=60, ABO是等边三角形,AB=OA=OB=5. 即ABC的外接圆半径R的值为5. (2)如图,连接MO,并延长与O相交于点P, 连接OA,OP.,M是弦AB的中点, OMAB,AM=AB=12. 在RtAOM中,OM=5.(4分) PMOM+OP=OM+OP=MP

31、=18, 当点P运动到P时,PM取得最大值,为18.(5分) (3)如图,设P为上任意一点, 分别作点P关于直线AB、AC的对称点P1、P2,连接P1P2, 分别与AB、AC相交于点E、F, 连接PE,PF,PEF的周长=P1E+EF+P2F=P1P2, 对于点P及分别在AB、AC上的任意点E、F,有PEF的周长PEF的周长=P1P2. 即PEF周长的最小值为P1P2的长.(7分) 连接AP1,AP,AP2, 则AP1=AP=AP2,P1AB=PAB,P2AC=PAC, P1AP2=2BAC=120,P1P2=AP1=AP.(8分) 要使P1P2最短,只要AP最短即可. 设O为所在圆的圆心,连

32、接OB、OC、OP、OA,且OA与相交于点P,则AP+POAO. APAP.(9分) 连接BC,易证ACB为直角三角形,且ABC=30,ACB=90, BC=ACtan 60=3 km. BOC=60,OB=OC, BO=BC=3 km,OBC=60,ABO=ABC+OBC=90. 在RtABO中,AO=3 km.(11分) AP=(AO-OP)=(3-3)=(3-9)km. P1P2的最小值为AP=(3-9)km. PE+EF+FP的最小值为(3-9)km.(12分),思路分析(1)设O是ABC的外接圆的圆心,根据全等三角形的判定与性质和圆的半径相等可证ABO是等边三角形,所以AB=OA=O

33、B=5;(2)当PMAB时,PM有最大值,根据垂径定理可得AM=AB=12,再根据勾股定理求得OM=5,进而由PMOM+OP=OM+OP=MP=18得解;(3) 分别以AB、AC所在的直线为对称轴,作出P关于AB的对称点为P1,关于AC的对称点为P2,易得PEF的周长为P1P2的长,根据P1P2=AP,可知要使P1P2最短,只要AP最短,OA与交于 点P,此时使得线段PE、EF、FP之和最短,然后先判定ABC为直角三角形,求出BC的长,在RtABO中由勾股定理求出AO的长,进而求出AP的值,最后求得PE+EF+FP的最小值.,难点分析本题难点在于第(3)问如何确定P点的位置及何时PE+EF+F

34、P取得最小值.读懂题目信息也就明确了可以利用轴对称确定最短路线问题,同时结合圆半径和线段OA的长度求出AP的最小值.,2.(2017陕西,25,12分)问题提出 (1)如图,ABC是等边三角形,AB=12,若点O是ABC的内心,则OA的长为; 问题探究 (2)如图,在矩形ABCD中,AB=12,AD=18.如果点P是AD边上一点,且AP=3,那么BC边上是否存在一点Q,使得线段PQ将矩形ABCD的面积平分?若存在,求出PQ的长;若不存在,请说明理由; 问题解决 (3)某城市街角有一草坪,草坪是由ABM草地和弦AB与其所对的劣弧围成的草地组成,如图所示.管理员王师傅在M处的水管上安装了一喷灌龙头

35、,以后,他想来给这块草 坪浇水,并且在用喷灌龙头浇水时,既要能确保草坪的每个角落都能浇上水,又能节约用水.于是,他让喷灌龙头的转角正好等于AMB(即每次喷灌时喷灌龙头由MA转到MB,然后再转回,这样往复喷灌),同时,再合理设计好喷灌龙头喷水的射程就可以了. 如图,已测出AB=24 m,MB=10 m,AMB的面积为96 m2;过弦AB的中点D作DEAB交于 点E,又测得DE=8 m. 请你根据以上提供的信息,帮助王师傅计算喷灌龙头的射程至少为多少米时,才能实现他的想,法,为什么?(结果保留根号或精确到0.01米),解析(1)4.(3分) (2)存在.如图,连接AC、BD,相交于点O,连接PO并

36、延长交BC于点Q,则线段PQ将矩形ABCD的面积平分.(5分) 点O为矩形ABCD的对称中心,CQ=AP=3. 过点P作PMBC于点M,则PM=AB=12,MQ=12. PQ=12.(6分) (3)如图,作射线ED交AM于点C. AD=DB,DEAB,为劣弧, 所在圆的圆心在射线DC上.,假设圆心为O,半径为r m,连接OA,则r2=122+(r-8)2. 解之,得r=13. OD=5.(8分) 过点M作MNAB,垂足为N. SABM=96,AB=24, MN=8,MB=10,NB=6,AN=18. 易得ADCANM,=.DC=.ODCD. 点O在AMB内部.(9分) 连接MO并延长交于点F,

37、则MF为草坪上的点到M点的最大距离. 在上任取一异于点F的点G,连接GO,GM.,有MF=OM+OF=OM+OGMG. 即MFMG.(11分) 过点O作OHMN,垂足为H,则OH=DN=6,MH=3. OM=3. MF=OM+r=3+13. 喷灌龙头的射程至少为(3+13)米(约为19.71米).(12分),思路分析(1)根据等边三角形的轴对称性和内心可知:ABC的内心与外心重合,构造直角三角形运用勾股定理求出OA的长;(2)运用矩形的中心对称性可知PQ一定经过矩形ABCD的对称中心O,通过构造直角三角形,运用勾股定理可以求出PQ的长;(3)一是根据圆的对称性找出圆心,运用垂径定理和勾股定理可求出该圆的半径,二是利用相似判断出点O与三角形AMB的位置关系,最后根据“三角形的两边之和大于第三边”确定喷灌龙头的最远射程为MF的长.,易错警示本题容易出错的