高中数学 第1章 导数及其应用 1.2.1 常见函数的导数学案 苏教版选修

1、1.2.1常见函数的导数1能利用导数定义，求几个常见函数的导数，领悟求导数算法的基本思想(难点)2牢记常见函数的导数公式，并能应用公式求基本初等函数的导数(重点)3掌握函数yax(a0，a1)与ylogax(a0，a1)的求导公式(易混点)基础初探教材整理常见函数的导数阅读教材P18P20“练习”以上部分，完成下列问题基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)C(C为常数)f(x)0f(x)x(为常数)f(x)x1f(x)axf(x)axln_a(a0，且a1)f(x)exf(x)exf(x)logaxf(x)(a0，且a1)f(x)ln xf(x)f(x)sin xf(x)cos_xf(x)

2、cos xf(x)sin_x1判断正误：(1)指数函数的导数还是同底数的指数函数()(2)cos .()(3)若f(x)x5，则f(x)5x4.()(4)若f(x)4x，则f(x)x4x1.()【答案】(1)(2)(3)(4)2若f(x)，则f(1)_.【解析】由yx，知f(x)x，f(1)(1).【答案】3已知f(x)ln x，则f(e)的值为_. 【导学号：】【解析】f(x)，f(e).【答案】质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_小组合作型利用导数公式求函数的导数求下列函数的导数：(1)yx12；(2)y；(

3、3)y；(4)y3x；(5)ylog5x.【精彩点拨】首先观察函数解析式是否符合求导形式，若不符合可先将函数解析式化为基本初等函数的求导形式【自主解答】(1)y(x12)12x11.(2)y(x4)4x5.(3)y()(x)x.(4)y(3x)3xln 3.(5)y(log5x).1若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解2对于不能直接利用公式的类型，一般遵循“先化简，再求导”的基本原则，避免不必要的运算失误3要特别注意“与ln x”，“ax与logax”，“sin x与cos x”的导数区别再练一题1若f(x)x3，g(x)log3x, 则f(x)g(x)_.【解析】f(x)3x2，g(x

4、)，f(x)g(x)3x2.【答案】3x2利用公式求函数在某点处的导数质点的运动方程是ssin t，(1)求质点在t时的速度；(2)求质点运动的加速度【精彩点拨】(1)先求s(t)，再求s.(2)加速度是速度v(t)对t的导数，故先求v(t)，再求导【自主解答】(1)v(t)s(t)cos t，vcos .即质点在t时的速度为.(2)v(t)cos t，加速度a(t)v(t)(cos t)sin t.1速度是路程对时间的导数，加速度是速度对时间的导数2求函数在某定点(点在函数曲线上)的导数的方法步骤是：(1)先求函数的导函数；(2)把对应点的横坐标代入导函数求相应的导数值再练一题2(1)求函数

5、f(x)在(1,1)处的导数；(2)求函数f(x)cos x在处的导数【解】(1)f(x)(x)x，f(1).(2)f(x)sin x，fsin .探究共研型导数公式的应用探究1f(x)x，f(x)x2，f(x)均可表示为yx(为常数)的形式，其导数有何规律？【提示】(x)1x11，(x2)2x21，()x1，(x)x1.探究2点P是曲线yex上的任意一点，求点P到直线yx的最小距离【提示】如图，当曲线yex在点P(x0，y0)处的切线与直线yx平行时，点P到直线yx的距离最近，则曲线yex在点P(x0，y0)处的切线斜率为1，又y(ex)ex，ex01，得x00，代入yex，得y01，即P(

6、0,1)利用点到直线的距离公式得，最小距离为.(2016长沙高二检测)求过曲线f(x)cos x上一点P且与曲线在这点的切线垂直的直线方程【精彩点拨】求导数f(x0)计算f所求直线斜率k利用点斜式写出直线方程【自主解答】因为f(x)cos x，所以f(x)sin x，则曲线f(x)cos x在点P的切线斜率为fsin ，所以所求直线的斜率为，所求直线方程为y，即yx.求曲线方程或切线方程时，应注意：(1)切点是曲线与切线的公共点，切点坐标既满足曲线方程也满足切线方程；(2)曲线在切点处的导数就是切线的斜率；(3)必须明确已知点是不是切点，如果不是，应先设出切点再练一题3若将上例中点P的坐标改为

7、(，1)，求相应的直线方程【解】f(x)cos x，f(x)sin x，则曲线f(x)cos x在点P(，1)处的切线斜率为f()sin 0，即直线的斜率不存在，所以所求直线方程为x.构建体系1已知函数f(x)，则f(2)_.【解析】f(x)(x2)2x3f(2).【答案】2下列结论中不正确的是_若y3，则y0；cos ；若yx，则y1.【解析】正确；sin ，而0，不正确；对于，(x)x，正确；正确【答案】3(2015全国卷)已知函数f(x)ax3x1的图象在点(1，f(1)处的切线过点(2,7)，则a_. 【导学号：】【解析】f(x)3ax21，f(1)3a1.又f(1)a2，切线方程为y(a2)(3a1)(x1)切线过点(2,7)，7(a2)3a1，解得a1.【答案】14(2016烟台高二检测)已知函数ykx是曲线yln x的一条切线，则k_.【解析】设切点为(x0，y0)，y，k，yx，又点(x0，y0)在曲线yln x上，y0ln x0，ln x0，x0e，k.【答案】5求曲线y2x21的斜率为4的切线的方程【解】