椭圆及其标准方程.ppt

1、2.1.1椭圆及其标准方程,天体的运行,如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的物件呢？,生活中的椭圆,一.课题引入：,椭圆的画法,椭圆及其标准方程,F1,F2,一、椭圆的定义：,平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆，,这两个定点叫做椭圆的焦点，,两焦点的距离叫做椭圆的焦距.,问题1：当常数等于|F1F2|时，点M的轨迹 是什么？ 问题2：当常数小于|F1F2|时，点M的轨迹 是什么？,线段F1F2,轨迹不存在,1、椭圆的定义：,平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。,这两个定点叫做椭圆的焦点

2、，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。,几点说明：,1、F1、F2是两个不同的定点；,2、M是椭圆上任意一点，且|MF1| + |MF2| = 常数；,3、通常这个常数记为2a，焦距记为2c，且2a2c（？）；,4、如果2a = 2c，则M点的轨迹是线段F1F2.,5、如果2a 2c，则M点的轨迹不存在.（由三角形的性质知）,下面我们来求椭圆的标准方程.,（2）动点P到两个定点F1（- 4，0）、F2（4，0） 的距离之和为不小于8，则P点的轨迹为 （ ） A、椭圆 B、线段F1F2 C、直线F1F2 D、不能确定,课堂练习1,（1）动点P到两个定点F1（- 4，0）、F2（4，0）的距离 之和为8

3、，则P点的轨迹为 （ ） A、椭圆B、线段F1F2 C、直线F1F2 D、不能确定,B, 探讨建立平面直角坐标系的方案,方案一,2.求椭圆的方程：,原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单； (一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的直线作为坐标轴.),(对称、“简洁”),O,X,Y,F1,F2,M,如图所示： F1、F2为两定点，且|F1F2|=2c，求平面内到两定点F1、F2距离之和为定值2a（2a2c)的动点M的轨迹方程。,解：以F1F2所在直线为X轴， F1F2 的中点为原点建立平面直角坐标系，则焦点F1、F2的坐标分别为(-c,0)、 (c,0)。,(-c,0),(c,0),(x,y

4、),设M（x,y)为所求轨迹上的任意一点，,则:|MF1|+ |MF2|=2a,O,X,Y,F1,F2,M,(-c,0),(c,0),(x,y),两边平方得：a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2,即：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2),因为2a2c，即ac，所以a2-c20，令a2-c2=b2，其中b0，代入上式可得：,b2x2+a2y2=a2b2,两边同时除以a2b2得：,(ab0),这个方程叫做椭圆的标准方程， 它所表示的椭圆的焦点在x 轴上。,a,A1,y,O,F1,F2,x,B2,B1,A2,c,b,三、椭圆方程的几何意义：,如果椭圆的焦点

5、在y轴上， 焦点是F1(o,-c)、F2(0,c)方程是怎样呢？,椭圆的第二种形式：,图 形,方 程,焦 点,F(c，0)在轴上,F(0，c)在轴上,a,b,c之间的关系,c2=a2-b2,P=M|MF1|+|MF2|=2a (2a2c0),定 义,四、两类标准方程的对照表：,注:,哪个分母大，焦点就在相应的哪条坐标轴上！,Y,椭圆的标准方程的再认识：,（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1,（3）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。,（4）由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。,（2）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，则焦点在哪 一

6、个轴上。,例 写出适合下列条件的椭圆的标准方程,(1) a =4，b=1，焦点在 x 轴上； (2) a =4，b=1，焦点在坐标轴上；,或,五、数学应用：,例2、求满足下列条件的椭圆的标准方程：,(1)两焦点的坐标分别是（-4，0）、（4，0）， 椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10。,(2)两焦点的坐标分别是（-2，0）、（2，0）， 且椭圆经过点P 。,(1)两焦点的坐标分别是（-4，0）、（4，0），椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10。,解：因为椭圆的焦点在X轴上，所以可设它的方程 为：,2a=10，2c=8,即 a=5，c=4,故 b2=a2-c2=52-42=9,所以椭圆的标准方

7、程为：,(2)两焦点的坐标分别是（-2，0）、（2，0），且 椭圆经过点P 。,解：因为椭圆的焦点在X轴上，所以可设它的方程为：,由椭圆的定义可知：,又因 c=2，,所以椭圆的标准方程为：,故 b2=a2-c2=10-22=6,课堂练习2：,1.口答：下列方程哪些表示椭圆？,若是,则判定其焦点在何轴？ 并指明 ，写出焦点坐标.,?,1、方程 ，分别求方程满足下列条件 的m的取值范围： 表示一个圆；,探究与互动：,析：方程表示圆需要满足的条件：,1、方程 ，分别求方程满足下列条件 的m的取值范围： 表示一个圆； 表示一个椭圆；,探究与互动：,析：方程表示一个椭圆需要满足的条件：,1、方程 ，分别

8、求方程满足下列条件 的m的取值范围： 表示一个圆； 表示一个椭圆；,探究与互动：,析：方程表示一个椭圆需要满足的条件：,1、方程 ，分别求方程满足下列条件 的m的取值范围： 表示一个圆； 表示一个椭圆； 表示焦点在x轴上的椭圆。,探究与互动：,析：表示焦点在x轴上的椭圆需要满足的条件：,解题感悟： 方程表示椭圆时要看清楚限制条件，焦点在哪个轴上。,练习3：若方程4x2+ky2=1表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆，求k的取值范围。,方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆,解之得：0k4,k的取值范围为0k4。,例3、过椭圆 的一个焦点 的直线与椭圆交于A、B两点，求 的周长。,|AB|+|BC|+|C

9、A|=20且|BC|=8, |AB|+|AC|=12|BC|, 点A的轨迹是以BC为焦点的椭圆(除去与x轴的交点). 且2a=12,2c=8,及a2=b2+c2得a2=36,b2=20. 故点A的轨迹方程是 (y0).,例4:已知ABC的一边BC长为8,周长为20,求顶点A的轨迹方程.,解:以BC边所在直线为x轴,BC中点为原点,建立如右图所示的直角坐标系,则BC两点的坐标分别为(-4,0)(4,0).,定义法,练习：已知A(1,0),B(1,0)，线段CA、AB、CB的长成等差数列，则点C的轨迹方程是_.,x2/4+y2/3=1,椭圆及其标准方程(2),分母哪个大，焦点就在哪个轴上,平面内到

10、两个定点F1，F2的距离的和等 于常数（大于F1F2）的点的轨迹,复习旧知,例1求焦点在坐标轴上，且经过两点 的椭圆的标准方程。,x2/15+y2/5=1,分析一：当焦点在x轴上时， 设方程x2/a2+y2/b2=1,当焦点在x轴上时， 设方程x2/b2+y2/a2=1,分析二：设方程mx2+ny2=1(m0,n0),(2)求与椭圆x2/5y2/41有公共焦点，且过点(3,0)的椭圆的标准方程。 x2/9y2/81 (3)已知椭圆x22y2a2(a0)的左焦点到直线l：xy20的距离为 ，求椭圆方程。 x2/8y2/41,例2、在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD,D为垂足。当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？,相关点法(转移法):即利用中间变量求曲线方程.,P,A,