高二数学抛物线 理人教实验版（A）知识精讲（通用）

1、高二数学抛物线 理人教实验版（A）【本讲教育信息】一. 教学内容： 抛物线二. 重点、难点：1. 定义：平面内到定点F与到定直线距离相等的点的轨迹为抛物线。2. 标准方程：，3. 性质：（1）对称性：关于x轴对称，关于y轴对称（2）顶点：（0，0）（3）离心率：4. 参数方程：（为参数）【典型例题】例1 求焦点在直线上的抛物线标准方程。解：与坐标轴交点为（4，0）（0，） 所求抛物线方程 例2 焦点在轴的抛物线与圆相交，它们在轴上方交点为A、B，线段AB的中点在直线上，求抛物线的方程。解： 方程的根为负数与矛盾 方程的根为正数与矛盾 A B（） AB中点（，）若中点在上 例3 P为平面上一点，

2、过P作与抛物线只有一个交点的直线可以作几条？解： 只有一条 在曲线上只有两条 只有三条例4 顶点在原点，焦点在轴上的抛物线被直线截得的弦长为，求抛物线方程。 解： 或 或例5 过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A、B，求证：。证明： 斜率不存在， 斜率存在 例6 O为原点，A、B为抛物线，上两点，并且OAOB， 求最小值； 弦AB中点M到直线距离最小值。解： ： ： （） A（） B（） M（）（M，） 例7 求证：抛物线的两弦平行的充要条件是两弦中点的连线斜率为0。证明：设A（，）B（，）C（，）D（，）在抛物线上AB中点M（，）N（，） 若轴显然成立 AB、CD均不垂直于轴 同理： 例8 抛

3、物线（）的焦点F，过F的弦AB长为，O为原点，求。解： AB斜率不存在 AB斜率存在，设为 综上所述例9 抛物线上，存在 P、Q两点，并且P、Q关于直线对称，求的取值范围。 解：方法一：设P（，）Q（，） 方法二： 在形内 例10 已知抛物线x24y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且（0）。过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M。（1）证明为定值；（2）设ABM的面积为S，写出Sf（）的表达式，并求S的最小值。解：（1）由已知条件，得F（0，1），0设A（x1，y1），B（x2，y2） 由即得（x1，1y）（x2，y21） 将式两边平方并把y1x12，y2x22代入得y12y2 解

4、、式得y1，y2，且有x1x2x224y24所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是yx1（xx1）y1，yx2（xx2）y2即yx1xx12，yx2xx22解出两条切线的交点M的坐标为（，）（，1）所以（，2）（x2x1，y2y1）（x22x12）2（x22x12）0所以为定值，其值为0 （2）由（1）知在ABM中，FMAB，因而S|AB|FM|FM|因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y1的距离，所以|AB|AF|BF|y1y222（）2于是S|AB|FM|（）3由2知S4，且当1时，S取得最小值4【模拟试题】1. 抛物线的焦点F，准线交轴于R，过抛物线上一点P（4，4）作PQ

5、于Q，则（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 182. 抛物线与椭圆的公共弦长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3. 已知A、B是抛物线上两点，O为原点，若且的垂心恰为抛物线的焦点，则AB的直线方程为（ ）A. B. C. D. 4. 抛物线与直线交于两点，它们横坐标为，直线与轴交点为（）则，关系为（ ）A. B. C. D. 5. 已知动点P（，）满足，则P点轨迹为（ ） A. 抛物线 B. 直线 C. 双曲线 D. 椭圆6. 两定点A（，），B（2，）动点P在抛物线上移动，则垂心G的轨迹方程为（ ）A. B. C. D. 7. P为抛物线上一点，A（，0），最小值为，求。8. 已知抛物线C：及A（2，1），P、Q为抛物线上动点 的最小