高中数学 3．1.1 方程的根与函数的零点教案精讲 新人教A版必修

1、31.1方程的根与函数的零点读教材填要点1函数的零点对于函数yf(x)，把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)的零点2方程、函数、函数图象之间的关系方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点3函数零点的存在性定理如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，那么，函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c(a，b)，使得f(c)0，这个c也是方程f(x)0的根小问题大思维1函数的“零点”是一个点吗？提示：不是，函数的“零点”是一个数，实际上是函数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标2若函数f(x)ax2的零点是1，则

2、a为何值？提示：f(1)a20，a2.3若函数yf(x)在(a，b)内有零点，则f(a)f(b)0.如图所示求函数的零点例1求函数f(x)x37x6的零点自主解答令f(x)0，即x37x60，即(x3x)(6x6)0，x(x1)(x1)6(x1)(x1)(x2x6)(x1)(x2)(x3)0解得x11，x22，x33，函数f(x)x37x6的零点是1,2，3.求函数yf(x)的零点通常有两种办法：其一是令f(x)0，根据解方程f(x)0的根求得函数的零点；其二是画出函数yf(x)的图象，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.本题由于画函数图象比较困难，因此，只用了第一种方法.1求下列函数的零

3、点(1)yx22x；(2)ylnx2.解：(1)令yx22x0，则x0或x2，yx22x的零点为0,2.(2)令ylnx20，则lnx2lne2.xe2.函数ylnx2的零点为e2.判断函数的零点、方程的根所在的区间例2函数f(x)exx2的零点所在的一个区间是()A(2，1)B(1,0)C(0,1) D(1,2)自主解答因为函数f(x)的图象是连续不断的一条曲线，又f(2)e240，f(1)e130，f(0)10，所以f(0)f(1)0.令f(x)lgxx，显然f(x)在定义域内为增函数，又f(0.1)0.90，故f(x)在区间(0.1,1)内有零点答案：B判断函数零点个数例3求函数f(x)

4、2xlg(x1)2的零点个数自主解答法一：f(0)10210，f(x)在(0,2)上必定存在零点，又显然f(x)2xlg(x1)2在(0，)上为增函数(图略)，故f(x)有且只有一个零点法二：在同一坐标系下作出h(x)22x和g(x)lg(x1)的草图由图象知g(x)lg(x1)的图象和h(x)22x的图象有且只有一个交点，即f(x)2xlg(x1)2有且只有一个零点(1)若函数f(x)在a，b上单调，且f(a)f(b)0，f(2)f(3)0或k0即a.答案：(，)5若函数f(x)，则g(x)f(4x)x的零点是_解析：f(x)，f(4x).则g(x)x，令g(x)0.有x0，解得x.答案：6

5、试判断方程x32x在区间1,2内是否有实数根？解：因为函数f(x)x32x的图象在区间1,2上是连续曲线，并且f(1)1210，所以f(1)f(2)0，所以函数f(x)x32x在区间1,2内至少有一个零点，即方程x32x在区间1,2内至少有一个实数根一、选择题1若yf(x)在区间a，b上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是()A若f(a)f(b)0，不存在实数c(a，b)，使得f(c)0B若f(a)f(b)0，存在且只存在一个实数c(a，b)，使得f(c)0C若f(a)f(b)0，不存在实数c(a，b)，使得f(c)0D若f(a)f(b)0，有可能存在实数c(a，b)，使得f(c)0

6、解析：由零点存在性定理可知选项A不正确；对于选项B，可通过反例“f(x)x(x1)(x1)在区间2,2上满足f(2)f(2)0，但其存在三个零点：1,0,1”推翻；选项C可通过反例“f(x)(x1)(x1)在区间2,2上满足f(2)f(2)0，但其存在两个零点：1,1”推翻答案：D2(2012北京高考)函数f(x)xx的零点个数为()A0B1C2D3解析：因为yx在x0，)上单调递增，y()x在xR上单调递减，所以f(x)x()x在x0，)上单调递增，又f(0)10，所以f(x)x()x在定义域内有唯一零点答案：B3已知f(x)是定义域为R的奇函数，且在(0，)内的零点有1 003个，则f(x

7、)的零点的个数为()A1 003 B1 004C2 006 D2 007解析：f(x)为奇函数，且在(0，)内有1 003个零点，在(，0)上也有1 003个零点，又f(0)0，共有2 00612 007个答案：D4方程x3x10在1,1.5内实数解有()A3个 B2个C至少一个 D0个解析：令f(x)x3x1，则f(1)10.答案：C二、填空题5根据表格中的数据，可以判定方程exx20的一个根所在的区间为_.x10123ex0.3712.727.3920.09x212345解析：令f(x)exx2，由图表知f(1)0.3710.630，f(0)1210，f(1)2.7230.280，f(2)

8、7.3943.390，f(3)20.09515.090，由于f(1)f(2)0，所以一个根所在的区间为(1,2)答案：(1,2)6对于方程x3x22x10，有下列判断：在(2，1)内有实数根；在(1,0)内有实数根；在(1,2)内有实数根；在(，)内没有实数根其中正确的有_(填序号)解析：设f(x)x3x22x1，则f(2)10，f(0)10，f(1)10，则f(x)在(2，1)，(1,0)(1,2)内均有零点，即正确答案：7函数f(x)lnxx2的零点个数是_解析：取g(x)lnxh(x)x2则f(x)的零点也就是g(x)与h(x)的交点如下图：答案：28若函数f(x)axxa(a0，且a1)有两个零点，则实数a的取值范围是_解析：函数f(x)的零点的个数就是函数yax与函数yxa交点的个数，由函数的图象可知a1时两函数图象有两个交点，0a1时两函数图象有唯一交点，故a1.答案：(1，)三、解答题9讨论函数f(x)(ax1)(x2)(aR)的零点解：当a0时，函数为yx2，则其零点为x2.当a时，则由(x1)(x2)0，解得x1,22，则其零点为x2.当a0且a时，则由(ax1)(x2)0，解得x或x2，综上所述其零点为x或x2.10已知函数f(x)loga(1x)loga(x3)(0a1)(1)求函