周-力学量与算符关系

1、（一）力学量的可能值,（二）力学量的平均值,（1） 力学量算符本征函数组成完备系 （2） 力学量的可能值和相应几率 （3） 力学量有确定值的条件,算符与力学量的关系,（三）例题,测得每个本征值n的几率是多少？也就是说，哪些本征 值能够测到，对应几率是多少，哪些测不到，几率为零。,（一）力学量的可能值,量子力学假定: 在任意态(r)中测量任一力学量 F，所得的结果只能是由算符 F 的本征方程,解得的本征值n之一。,?,2. 是否会出现各次测量都得到同一个本征值，即有确定值。,假设本征值是离散的,要解决上述问题，我们还得从讨论本征函数的另一重要性质入手。,(1) 力学量算符本征函数组成完备系,1.

2、 函数的完备性,例如：动量本征函数 组成完备系,2. 力学量算符的本征函数组成完备系,(I) 满足一定条件的厄密算符其本征函数组成完备系 即若：,则任意函数(x) 可 按n(x) 展开：,(II) 除上面提到的动量本征函数外,人们已经证明了一些力学量算符的本征函数也构成完备系，如下表所示：,量子力学：一切力学量算符的本征函数都组成完备系。,（2） 力学量的可能值和相应几率,在一般状态 (x) 中测量力学量F，将会得到哪些值，即测量的可能值及其每一可能值对应的几率。,根据量子力学基本假定III，测力学量 F 得到的可能值必是力学量算符 F的本征值 n n = 1,2,.之一,该本征值由本征方程确

3、定：,每一本征值n各以一定几率出现。 那末这些几率究竟是多少呢？,?,展开系数 cn 与x无关。,讨论：,与波函数(x) 按动量本征函数 展开式比较二者完全相同,(x) 是坐标空间的波函数； c (p) 是动量空间的波函数； 则 cn 则是 F 空间的波函数，,由于n(x)组成完备系，所以体系 任一状态(x)可按其展开：,证明：当(x)已归一时，c(p) 也是归一的，同样 cn 也归一。,证：,所以|cn|2 具有几率的意义，cn 称为几率振幅。我们知道|(x)|2 表示在x点找到粒子的几率密度，|c(p)|2 表示粒子具有动量 p 的几率，那末同样，|cn|2 则表示 F 取 n 的几率。,

4、综上所述，量子力学作如下假定：,任何力学量算符 F 的本征函数n(x)组成正交归一完备系，在任意已归一态(x)中测量力学量 F 得到本征值n 的几率等于(x)按n(x)展开式中对应本征函数n(x)前的系数 cn 的绝对值平方。,（3） 力学量有确定值的条件,推论：当体系处于(x) 态时，测量力学量F具有确定值的充要条件是(x) 必须是算符 F的一个本征态。,证：,1. 必要性。若F具有确定值 则(x) 必为 F 的本征态。,确定值的意思就是 每次测量都为 。,根据基本假定III，测量值必为本征值之一， 令 =m 是 F 的一个本征值，满足本征方程,又n(x) 组成完备系，,相应几率是： |c1

5、|2,|c2|2,.,|cm|2,.。,现在只测得m，所以|cm|2=1, |c1|2=|c2|2=.=0（除|cm|2外）。 于是得 (x)= m(x)，即 (x)是算符 F 的一个本征态。,2. 充分性 若(x)是F的一个本征态,即(x)= m(x)，则 F 具有确定值。,根据基本假定IV，力学量算符 F的本征函数组成完备系。,测得n 的几率是 |cn|2。,因为,表明，测量 F 得m 的几率为 1， 因而有确定值。,力学量平均值就是指多次测量的平均结果，如测量长度 x，测了 10 次，其中 4 次得 x1，6 次得 x2，则 10 次测量的平均值为：,在任一态(x)中测量 某力学量 F

6、的平均值 （在理论上）,此式等价于 以前的平均 值公式：,（二）力学量的平均值,波函数是 已 归一化,如 果 波 函 数 未 归 一 化,则,波函数和算符必须同一变量的函数,例1：已知空间转子处于如下状态,试问： （1）是否是 L2 的本征态？ （2）是否是 Lz 的本征态？ （3）求 L2 的平均值； （4）在 态中分别测量 L2 和 Lz 时得到的可能值及其相应的 几率。,解：,没有确定的L2 的本征值，故 不是 L2 的本征态。,是 Lz 的本征态，本征值为 。,（3）求 L2 的平均值,方法 I,验证归一化：,归一化波函数,方法 II,（4）,例2 设t=0 时，粒子的状态为(x) =

7、 A sin2kx+(1/2)coskx 求粒子的平均动量和平均动能。,解：,可写成单色平面波的叠加,比较二式，因单色平面波动量有确定值：,或：,从而得：,归一化后。|c(pi)|2 表示粒子具有动量为 pi 的几率，于是就可以计算动量和动能的平均值了。,（1）动量平均值,（2）动能平均值,定理I：体系任何状态下，其厄密算符的平 均值必为实数,证：,（一）厄密算符的平均值,逆定理：在任何状态下，平均值均为实数 的算符必为厄密算符,（1）涨落,于是有:,证明：,（二）厄密算符的本征方程,厄密算符平方的平均值一定大于等于零,（2）力学量的本征方程,若体系处于一种特殊状态， 在此状态下测量F所得结果

8、 是唯一确定的，即：,则称这种状态为力学量 F 的本征态。,可把常数记为Fn，把状态 记为n，于是得：,其中Fn, n 分别称为算符 F的本征值和相应的本征态，上式即是算符F的本征方程。求解时， 作为力学量的本征态或本征函数还要满足物理上对波函数的要求即波函数的标准条件。,定理II：厄密算符的本征值必为实数,当体系处于 F 的本征态n 时，则每次测量结果都是Fn 。 由 本征方程可以看出，在n（设已归一）态下,证,根据定理 I,（1）正交性,定理III： 厄密算符属于不同本征值的本征函数彼此正交,证：,设,取复共轭，并注意到 Fm 为实。,两边右乘 n 后积分,（三）厄密算符的本征函数的正交性

9、,二式相减 得：,若FmFn，则必有：,非简并情况,（2）分立谱、连续谱正交归一表示式,分立谱正 交归一条 件为：,连续谱正 交归一条 件表示为：,正交归一系,满足上式的函数系 n 或 称为正交归一（函数）系。,（4）简并情况,上面证明厄密算符本征函数的正交性时，曾假设 这些本征函数属于不同本征值，即非简并情况。,如果 F 的本征值Fn是f度简并的，则对应Fn有f个本征函数：n1 ,n2 , ., nf,满足本征方程：,一般说来，这些函数 并不一定正交。,证明分如下两步进行,1. nj 是本征值 Fn 的本征函数。,2. 满足正交归一条件的 f 个新函数n j可以组成。,1. nj是本征值Fn

10、的本征函数。,2. 满足正交归一条件的f个新函数nj可以组成。,方程的归一化条件有 f 个，正交条 件有f(f-1)/2 个，所以共有独立方 程数为二者之和等于 f(f+1)/2 。,为此只需证明线性 叠加系数 Aji 的个 数 f 2 大于或等于 正交归一条件方程 个数即可。,算符 F 本征值 Fn简并的本质是： 当 Fn 确定后还不能唯一的确定状态，要想唯一的确定状态还得寻找另外一个或几个力学量算符，F 算符与这些算符两两对易，其本征值与 Fn 一起共同确定状态。,综合上述讨论可得如下结论： 既然厄密算符本征函数总可以取为正交归一化 的，所以以后凡是提到厄密算符的本征函数时， 都是正交归一

11、化的，即组成正交归一系。,因为 f2 - f(f+1)/2 = f(f-1)/2 0，,所以，方程个数少于待定系数 Aji 的个数，因而，我们有多种可能来确定这 f 2 个系数使上式成立。f 个新函数nj 的确是算符 F 对应于本征值 Fn 的正交归一化的本征函数。,（2）线性谐振子能量本征函数组成正交归一系,（1）动量本征函数组成正交归一系,（3）角动量本征函数组成正交归一系,1. Lz 本征函数,2. L2本征函数,（4）氢原子波函数组成正交归一系,（四）实例,共同本征函数,（一）两力学量同时有确定值的条件 （二）两算符对易的物理含义 （三）力学量完全集合,（一）两力学量同时有确定值的条件

12、,体系处于体系任意状态 （x）时，力学量 F 一般没有确定值。,如果力学量 F 有确定值， （x）必为 F 的本征态，即,如果有另一个力学量 G 在 态中也有确定值， 则 必也是 G 的一个本征态，即,结论：,当在 态中测量力学量 F 和 G 时，如果两者同时具有确定值，那么 必是二力学量共同本征函数。,（二）两算符对易的物理含义,是特定函数，非任意函数,考察前面二式：,?,二力学量共同本征函数,对易,？,例如：,= 0 的态，Y m = Y00 Lx Lz 同时有确定值。,如果两个力学量的共同本征函数不止一个，而是一组且构成完备系，此时二力学量算符必可对易。,定理：若两个力学量算符有一组共同

13、完备的本征函数系，则二算符对易。,证：,由于 n 组成完备系，所以任意态函数 (x) 可以按其展开：,则,因为 (x) 是任意函数,逆定理：如果两个力学量算符对易，则此二算符 有组成完备系的共同的本征函数。,证：,考察：,n 也是 G 的本征函数，同理 F 的所有本征函数 n （ n = 1，2， )也都是 G 的本征函数,因此二算符具有共同完备的本征函数系.,（仅考虑非简并情况）,与 n 只差一常数 Gn,定理：一组力学量算符具有共同完备本征函数系的充要条件是这组算符两两对易。,例 1：,例 2：,例 3：,例 4：,（三）力学量完全集合,（1）定义：为完全确定状态所需要的一组两两对易的力学

14、 量算符的最小（数目）集合称为力学量完全集。,例 1：,三维空间中自由粒子，完全确定其状态需要三个两两对易的力学量：,例 2：,氢原子，完全确定其状态也需要三个两两对易的力学量：,例 3：,一维谐振子，只需要一个力学量就可完全确定其状态：,（2）力学量完全集中力学量的数目一般与体系自由度数相同。,（3）由力学量完全集所确定的本征函数系，构成该体系态空间的 一组完备的本征函数，即体系的任何状态均可用它展开。,测不准关系,（一）测不准关系的严格推导 （二）坐标和动量的测不准关系 （三）角动量的测不准关系,（一）测不准关系的严格推导,（1）引,由上节讨论表明，两力学量算符对易则同时有确定值；若不对易

15、，一般来说，不存在共同本征函数，不同时具有确定值。,问题：,两个不对易算符所对应的力学量在某一状态中究竟不确定到什么程度？即不确定度是多少？,不确定度：,测量值 Fn 与平均值 的偏差的大小。,（1）测不准关系的严格推导,证：,II 测不准关系的严格推导,设二厄密算符对易关系为：,是算符或普通数,最后有：,对任意实数 均成立,由代数二次式理论可知，该不等式成立的条件是系数必须满足下列关系：,两个不对易算符均方偏差关系式,测不准关系,均方偏差,其中：,（二）坐标和动量的测不准关系,表明：坐标与动量的均方偏差不能同时为零，其一越小，另一就越大。,（1）测不准关系,（2）线性谐振子的零点能,振子能量,被积函数是x 的奇函数,n 为实,处 n =0,于是：,二均方偏差不能同时为零，故 E 最小值也不能是零。,为求 E 的最小值，取式中等号。,则：,求极值：,解得：,因均方偏差不能小于零，故取正,零点能就是测不准关系所要求的最