(12)第十三章-2

1、Page1,能量守恒,从零开始，缓慢加载,忽略动能与热能的损失,克拉比隆定理：, 成立的前提是对于线弹性体、小变形情况；,功能原理, 上节内容回顾,Page2, 弹性杆应变能(变形能)的一般表达式：,1、利用能量守恒：通过计算外力功来计算应变能,当外力为常值，且其相应位移可直接求出时，宜用此方法：,Page3,杆件的应变能的计算通过计算微段的内力功：,Page4, 三向应力状态下的应变能：, 对于非主平面微体：,杆件的应变能的计算通过计算微体的应变能：,Page5,本 讲 内 容,13-3 余能与卡氏第二定理,13-2 互等定理,Page6,13-2 互等定理,线弹性体上作用有多个广义力时，弹

2、性体的应变能或外力功与外力的加载次序无关。,Page7,若改变加载次序：,功的互等定理, i 代表位置，j 代表载荷,若F1=F2,位移互等定理,Page8, 有关位移互等定理的讨论：, 在梁变形实验中的应用：, 其它情况：,只要克拉比隆定理成立,Page9, 关于功的互等定理的说明：, 成立的前提是对于线弹性体、小变形情况；, 两组外力之间，功的互等定理也成立；,Page10, 功的互等定理的应用：,Page11,Page12,思考题：,图示任意形状的线弹性体，求当其受一对共线力P作用时，该弹性体的体积改变量。H及材料弹性常数均已知。,Page13, 忽略剪力的影响,刚架的应变能：,例：求如

3、下刚架A端的垂直位移,F,h,a,根据功能原理：,外力F做功：,水平位移不能求出,多个广义力做功时， 也不能求出,只有单个外力作用时，求其相应位移,A,Page14,13-3 余能与卡氏第二定理, 余功与余能,外力功,余功,Page15, 余能,弹性体的余能,弹性体余能也可通过微段或微体进行计算：, 线性弹性体：应变能=余能(数值),余能密度,Page16, 克罗第恩格塞定理与卡氏第二定理,弹性梁受多个广义力Fk的作用，求各广义力的相应位移k。,弹性体总余能：,外力总余功：,Page17,给Fk增加一微量Fk,弹性体总余能：,外力总余功的增量：,弹性体总余能增量：,Crotti-Engesse

4、r定理,Page18, 对于线弹性体：,（余能=应变能）,卡氏第二定理,卡氏第一定理：, 公式中k为广义力Fk的相应广义位移, 公式中的广义力Fk为相互独立的变量,Page19, 卡氏第二定理的直接证明：,Fi的作用下：,先加上Fk ，再加上Fi,若给Fk一个增量 Fk,（略去高阶小量）,Page20, 卡氏第二定理证明思路：,1、梁的总外力功,2、给Fk一微增量Fk后的外力功增量,3、改变加载次序(先加Fk，后) 加Fi)的总应变能,4、根据总外力功与加载次序无关,Page21, 讨论两个定理的适用范围：,克罗第恩格塞定理：,卡氏第二定理：,弹性结构,线弹性结构, 对于非线性的弹性结构(物理

5、非线性，几何非线性)， 需用克罗第恩格塞定理。,Page22, 卡氏第二定理的应用：,Page23,例2：求A端的转角, 已知EI、l、P。,附加力法：先假设一附加力，对被积函数求导后，令附加力等于零,M=0,Page24, 应用卡氏第二定理时的具体计算公式：, 方法一：, 方法二：, k为正，则说明k的方向与Fk的方向一致 k为负，则说明k的方向与Fk的方向相反,Page25,例3：EI为常数，求fA，A,解：为避免混淆，设Pa=M,Page26,例4：图示刚架，EI为常数，1、求A点的水平与垂直位移； 2、分析 的意义。,1、求位移,2、,Page27, 讨论,的意义,代表AB两点的相对位移,的意义,Page28,例5：各杆EA相同，求A、B两点的相对水平位移和AB杆的转动角,Page29,