概率论与数理统计电子教案：c2_3连续型随机变量

1、第三节 连续型随机变量,一. 概率密度函数,回想例子,射击试验,仪器寿命问题,定义：设随机变量X 的分布函数为F( x ), 若存在非负函数 f ( x ), 对于任意实数 x , 均有,则称随机变量X 是连续型随机变量, 称函数 f ( x ) 为X的概率密度函数, 简称概率密度。,注：,(1) 连续型随机变量X 的分布函数是连续函数。,即F(x )在x 处左连续，故F(x )在x 处连续。,证明：由分布函数的性质可知，F(x )在x 处右连续。,（2）X 是连续型随机变量，则对任意实数x0 R，有 P X = x0 = 0。,对于Dx 0,从而有0 P X = x0 P x0 - Dx X

2、 x0 = F( x )- F( x - Dx ),证明: 由第一章和上述性质(2)的知识可得该结果.,0 P X = x0 = F( x )- F( x - Dx ) 0,故 P X = x0 = 0,（3）P( f ) = 0, 但是其逆不真.,令Dx 0，由F(x )的连续性可知有,概率密度函数的性质：,若有函数f ( x )满足上述(1)和(2), 则它必是某个随机变量的概率密度。,（1）f ( x ) 0.,再由 x1 X x2 = x1 X x2 X = x1 及P X = x1 = 0即得上述结果.,（3）P x1 X x2 = P x1 X x2 ,= P x1 X x2 ,=

3、 P x1 X x2 ,（4）若f ( x )在点x 处连续,则有,性质的应用实例,概率密度判定,函数参数确定,概率的计算,二. 均匀分布和指数分布,( 1 ) 均匀分布,设随机变量X 的概率密度函数为,则称随机变量X 在区间 (a, b ) 上服从均匀分布。记为X U( a, b )。,特点：随机变量X 落在 (a, b ) 的子区间的概率与位置无关，仅与测度（即长度）成正比。,应用: (1) 大量试验服从均匀分布; (2) 其它随机变量的计算机摸拟的基础。,解 方 程,( 2 ) 指数分布,设随机变量X 的概率密度函数为,则称随机变量X 服从参数为 l 的指数分布.,( l 0),特点：指

4、数分布具有无后效性。即,P X t + s | X t = P X s ,四 舍 五 入,灯 管 寿 命,永远年轻 分布,三、正态分布(GAUSS 分布),设随机变量X 的概率密度函数为,其中m , s ( s 0)是常数，,则称随机变量X 服从参数为m，,s2 的正态分布(或高斯分布)，记为X N(m , s2 ).,特别地, 当m = 0, s = 1时, 其概率密度函数为,则称随机变量X 服从标准正态分布, 即X N( 0, 1 ),1) 正态分布概率密度曲线的特征,即概率曲线下总面积为1.,(2) 曲线关于直线x = m 对称, 即对任意实数x 有 j(m - x; m, s2 ) =

5、 j(m + x; m, s2 ),曲线下直线两侧的面积各为1/2，并且 P m x X m = P m X m + x ),2) 正态分布概率的计算,若随机变量X N( m, s2 )，其分布函数为,若随机变量X 标准正态分布，其分布函数为,由于F( x )不能解析求出，为方便计算，人们编制了标准正态分布表.由F( x )的对称性，有 F( - x ) = 1- F( x )，故仅给出x0的值.,（1）若随机变量X N( 0，1 )，则,P a X b = F( b ) - F( a ),（2）若随机变量X N( m，s2 )，则,证明：,所以有 P x1 X x2 = F( x2; m,

6、s2 ) - F( x1; m, s2 ),正态分布事件概率,有时, 我们需要求随机变量以给定概率落在某个区间上的分界点，称之为分位数。如设 X N( 0, 1), 若存在某个实数ua 使P X ua = a , 则称ua为标准正态分布对应于a 的上侧分位数。,车 门 设 计,分位数,电池可靠性估计,参见例子,u,(u),(u) =1- ,并不是随机变量中只有离散型和连续型两类.,反 例,例1 一个靶子是半径为2米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘的概率与该圆盘的面积成正比，射击均能中靶，用X 表示弹着点与圆心的距离。试求X 的分布函数。,解：由第一节可知，X 的分布函数为,X,f (x)的变上限

7、积分为,例2 使用了t 小时的电子管在以后的Dt 小时内损坏的概率等于lDt + o(Dt ),其中l 0 为一常数,试写出电子管的寿命T 的分布函数。,解：由第一节可得，寿命T 的分布函数为,的变上限积分。,例3 设,证明：（1） j( x ) 0 , x R 显然成立。,证明 j( x ) 是概率密度函数。,例4 设随机变量X 的概率密度函数为,解：,试确定常数k 。,例5 已知随机变量X 的概率密度函数为,解：,用Y 表示对X 进行三次独立重复观测中, 事件 X 出现的次数, 求P Y = 2 = ?,所以 Y B( 3, 1/4 ), 从而,分析:把事件 X 看作事件A, 则Y表示进行

8、3次独立实验时,事件A发生的次数,则YB(3,P(A),例6 设随机变量X U( 0, 5 ) , 求方程4 r2 + 4 X r + X + 2 = 0 有实根的概率 p 。,解：p = P ( 4 X )2 44 ( X + 2 ) 0 ,= P X2 (X + 2)0 ,= P( X -1 X 2 ),= P X -1 + PX 2 ,= P 2 X 5 ,= P ( X 2 )( X + 1 )0 ,例7 已知随机变量X N( m, s 2 )，证明,P| X - m | x = P m - x X m + x =,P m - x X m + x ,证明:,特别地，有,P| X - m

9、 | s = 2F( 1 ) - 1 = 0.6826,P| X - m | 2s = 2F( 2 ) - 1 = 0.9544,P| X - m | 3s = 2F( 3 ) - 1 = 0.9974,这说明X 以很大的概率密集在 x = m 的附近。,例8 设X N( 10, 22 )，求a 使 P| X - 10 | a = 0.9,P | X 10 | a ,解:,例9 设某种电池的寿命为X 小时,X N( 300, 352 )，求 (1) 电池寿命在335小时以上的概率p1 (2) 求允许时限x , 使电池寿命在 (300 x 300 +x)的概率不小于0.9。,(1) p1 = P

10、 X 335 = 1 - P X 335 ,解:,= 1 - 0.8413 = 0.1587,(2) 0.9 P 300 x X 300 + x ,例 公共汽车的车门是按男子与车门碰头的机会在0.01以下来设计的.设男子身高X 服从参数为=172cm =6 的正态分布.即XN(172,36).问车门的高度该如何设计.,解：设车门的高度为h cm.按设计要求,P Xh 0.01 或者 PXh 0.99,因为 XN(172,36) 所以,查表有(2.33)=0.99010.99,故(h-172)/6=2.33 即h=172+6*2.33=186cm,故设计车门高度为186cm时,可使男子与车门顶碰

11、头的机会不大于0.01,例 在数值计算中,由于四舍五入引起的误差X服从均匀分布.如果小数后面第五位按四舍五入处理,试求误差在0.00003和0.00006之间的概率.,解法1 由题设知,误差在-0.00005,0.00005 上服从均匀分布,所以X的概率密度为,故所求概率为:,P0.00003x 0.00006=,解法2 设真值为x0 ,舍入为x,由于舍入值x在 x0 -0.00005与x0 +0.00005之间的任一值都是等可能的.问题归结为向直线区域,= x| x0 - 0.00005 x x0 +0.00005,随机投一点,而事件,A=误差在0.00003与0.00006之间,=x| x0 +0.00003 x x0 +0.00005,从而PA=,例 设某类日光灯管的使用寿命服从参数为=0.0005的指数分布.1)任取一根灯管,求能正常使用1000h以上的概率.2)若这根灯管已使用了1000h,求还能使用1000h以上的概率.,解: 因为XE() ,所以,1) PX1