武大电气模电课件一

1、武汉大学电气工程学院,乐健,2011.08,电子技术基础数字部分,第二章 逻辑代数与硬件描述语言基础,第 2 页,2 . 逻辑代数与硬件描述 语言基础,2.1 逻辑代数,2.2 逻辑函数的卡诺图化简法,2.3 硬件描述语言Verilog HDL基础,第 3 页,教学基本要求,1、熟悉逻辑代数常用基本定律、恒等式 和规则。,3、熟悉硬件描述语言Verilog HDL,2、掌握逻辑代数的变换和卡诺图化简法；,第 4 页,2.1 逻辑代数,2.1.1 逻辑代数的基本定律和恒等式,2.1.2 逻辑代数的基本规则,2.1.3 逻辑函数的变换及代数化简法,第 5 页,逻辑代数又称布尔代数。它是分析和设计现

2、代数字逻辑电路不可缺少的数学工具。逻辑代数有一系列的定律、定理和规则，用于对数学表达式进行处理，以完成对逻辑电路的化简、变换、分析和设计。,逻辑关系指的是事件产生的条件和结果之间的因果关系。在数字电路中往往是将事情的条件作为输入信号，而结果用输出信号表示。条件和结果的两种对立状态分别用逻辑“1” 和“0”表示。,第 6 页,1、基本定律,2.1.1 逻辑代数的基本定律和恒等式,第 7 页,吸收律,其它常用恒等式,注意：不能简单套用初等代数的运算规则，不能移项，不能同时消去某一变量；可用更基本的定理、定律进行推导证明或两端同时列写真值表证明。,第 8 页,2、基本公式的证明,(真值表证明法),第

3、 9 页,1、代入规则： 在包含变量A逻辑等式中，如果用另一个函数式代入式中所有A的位置，则等式仍然成立。这一规则称为代入规则。,例：B (A + C) = BA+BC，,用A + D代替A，得,B (A +D) +C = B(A +D) + BC = BA + BD + BC,代入规则可以扩展所有基本公式或定律的应用范围,2.1.2 逻辑代数的基本规则,第 10 页,对于任意一个逻辑表达式L，若将其中所有的与（ ）换成或（+），或（+）换成与（）；原变量换为反变量，反变量换为原变量；将1换成0，0换成1；则得到的结果就是原函数的反函数。,2、反演规则：,解：按照反演规则，得：,第 11 页,

4、对于任何逻辑函数式，若将其中的与（ ）换成或（+），或（+）换成与（）；并将1换成0，0换成1；那么，所得的新的函数式就是L的对偶式，记作 。,例: 逻辑函数 的对偶式为,3、 对偶规则：,当某个逻辑恒等式成立时，则该恒等式两侧的对偶式也相等。这就是对偶规则。利用对偶规则，可从已知公式中得到更多的运算公式，例如，吸收律。,第 12 页,2.1.3 逻辑函数的代数化简法,逻辑函数化简，没有严格的原则，它一般是依以下 几个方面：,逻辑电路所用的门最少；各个门的输入端要少；逻辑电路所用的级数要少；逻辑电路要能可靠的工作。,这几条常常是互相矛盾的，要根据实际情况来进行,第 13 页,逻辑函数的表达式可

5、分为五种：,这几种表达式之间可以互相转换，应根据要求把逻辑函数化简或变换成我们所需要的形式。,1.与或表达式,2.或与表达式,3.与非表达式,4.或非表达式,5.与或非表达式,A1A2An B1B2Bn+,(A1+A2+An) (B1+B2+Bn) ,第 14 页,“或与”表达式,“与非与非”表达式,“与-或-非”表达式,“或非或非” 表达式,“与或” 表达式,1、逻辑函数的最简与-或表达式,在若干个逻辑关系相同的与-或表达式中，将其中包含的与项数最少，且每个与项中变量数最少的表达式称为最简与-或表达式。,第 15 页,最简的与或表达式的特点：,(1) 乘积项(与项)的数目最少用的门电 路的个

6、数最少,(2) 每项的变量个数最少每个门的输 入端最少,逻辑函数化简的目的就是要得到最简的与或表达式，即消去多余乘积项和每乘积项中多余的变量。,特点：,与非表达式易于从真值表中直接写出，且只需运用一次摩根定律就可从最简与或表达式变换为与非与非表达式，从而可以用与非电路来实现。,第 16 页,PLD的内部核心单元,第 17 页,2、逻辑函数的化简方法,化简的主要方法： 公式法（代数法） 图解法（卡诺图法）,代数化简法： 运用逻辑代数的基本定律和恒等式进行化简的方法。,并项法:,第 18 页,吸收法：,A + AB = A,消去法：,配项法：,第 19 页,例2.1.7：已知逻辑函数表达式为,要求

7、：（1）最简的与-或逻辑函数表达式，并画出相应的逻 辑图；（2）仅用与非门画出最简表达式的逻辑图。,),),解：,第 20 页,解：,第 21 页,5种形式的转换,由真值表可得到与或表达式,两次取反，分开下面的取非线，可得与非与非表达式,将剩下的取非线下的表达式化为与或形式，可得与或非表达式,第 22 页,将每个与项取两次非，分别分开下面的非线，可得或非或非表达式,由摩根定律分开最上面的非线，可得或与表达式,展开括号进行计算化简，又可得到原始的与或表达式,第 23 页,例：将逻辑函数化简为最简与或表达式：,解：,解：,例：用代数法化简逻辑函数：,第 24 页,2.2 逻辑函数的卡诺图化简法,2

8、.2.1 最小项的定义及性质,2.2.2 逻辑函数的最小项表达式,2.2.3 用卡诺图表示逻辑函数,2.2.4 用卡诺图化简逻辑函数,第 25 页,1.逻辑代数与普通代数的公式易混淆，化简过程要求对所有公式熟练掌握； 2.代数法化简无一套完善的方法可循，它依赖于人的经验和灵活性； 3.用这种化简方法技巧强，较难掌握。特别是对代数化简后得到的逻辑表达式是否是最简式判断有一定困难。 卡诺图法可以比较简便地得到最简的逻辑表达式。,代数法化简在使用中遇到的困难：,第 26 页,n个变量X1, X2, , Xn的最小项是n个因子的乘积，每个变量都以它的原变量或非变量的形式在乘积项中出现，且仅出现一次。一

9、般n个变量的最小项应有2n个。,例如，A、B、C三个逻辑变量的最小项有（23）8个，即,1、最小项的意义,2.2.1 最小项的定义及其性质,第 27 页,对于变量的任一组取值，全体最小项之和为1。,对于任意一个最小项，只有一组变量取值使得它的值为1；,对于变量的任一组取值，任意两个最小项的乘积为0；,三个变量的所有最小项的真值表,2、最小项的性质,第 28 页,3、最小项的编号,三个变量的所有最小项的真值表,最小项的表示：通常用mi表示最小项，m 表示最小项,下标i为最小项号。,第 29 页,为“与或”逻辑表达式； 在“与或”式中的每个乘积项都是最小项。,= m7m6m3m5,逻辑函数的最小项

10、表达式：,2.2.2 逻辑函数的最小项表达式,不是最简与或,第 30 页,a.去掉非号,b.去括号,任何一个逻辑函数，都能表示为唯一的最小项表达式,第 31 页,2.2.3 用卡诺图表示逻辑函数,1、卡诺图的引出,卡诺图：将n变量的全部最小项都用小方块表示，并使具有逻辑相邻的最小项在几何位置上也相邻地排列起来，这样,所得到的图形叫n变量的卡诺图。,逻辑相邻的最小项：如果两个最小项只有一个变量互为反变量，那么，就称这两个最小项在逻辑上相邻。,第 32 页,三变量卡诺图,四变量卡诺图,两变量卡诺图,2、卡诺图的特点:各小方格对应于各变量不同的组合，而且上下 左右在几何上相邻的方格内只有一个因子有差

11、别，这个重要特 点成为卡诺图化简逻辑函数的主要依据。,第 33 页,3、已知逻辑函数画卡诺图,当逻辑函数为最小项表达式时，在卡诺图中找出和表达式中 最小项对应的小方格填上1，其余的小方格填上0（有时也可 用空格表示），就可以得到相应的卡诺图。任何逻辑函数都 等于其卡诺图中为1的方格所对应的最小项之和。,第 34 页,例2：画出下式的卡诺图,2. 填写卡诺图,第 35 页,2.2.4 用卡诺图化简逻辑函数,1、化简的依据,第 36 页,2、化简的步骤,用卡诺图化简逻辑函数的步骤如下：,(4) 将所有包围圈对应的乘积项相加。,(1) 将逻辑函数写成最小项表达式,(2) 按最小项表达式填卡诺图，凡式

12、中包含了的最小项， 其对应方格填1，其余方格填0。,(3) 合并最小项，即将相邻的1方格圈成一组(包围圈)， 每一组含2n个方格，对应每个包围圈写成一个新的乘 积项。本书中包围圈用虚线框表示。,第 37 页,画包围圈时应遵循的原则：,（1）包围圈内的方格数一定是2n个，且包围圈必须呈矩形。,（2）循环相邻特性包括上下底相邻，左右边相邻和四角相邻。,（3）同一方格可以被不同的包围圈重复包围多次，但新增 的包围圈中一定要有原有包围圈未曾包围的方格。,（4）一个包围圈的方格数要尽可能多,包围圈的数目要可能少。,第 38 页,（2）画包围圈合并最小项，得最简与-或表达式,解：（1） 由L 画出卡诺图,

13、第 39 页,例: 用卡诺图化简,圈0,圈1,第 40 页,例：一个逻辑函数的输入是4个逻辑变量A、B、C、D，它的真值表如下所示，用卡诺图法求化简的与或表达式及与非与非表达式,解: (1)由真值表画出卡诺图,第 41 页,(2) 画包围圈，合并最小项,(3) 求与非与非表达式,第 42 页,2.2.5 含无关项的逻辑函数及其化简,1、什么叫无关项：,在真值表内对应于变量的某些取值下，函数的值可以是任意的，或者这些变量的取值根本不会出现，这些变量取值所对应的最小项称为无关项或任意项。,在含有无关项逻辑函数的卡诺图化简中，它的值可以取0或取1，具体取什么值，可以根据使函数尽量得到简化而定。,第

14、43 页,例: 要求设计一个逻辑电路，能够判断一位十进制数是奇数还是偶数，当十进制数为奇数时，电路输出为1，当十进制数为偶数时，电路输出为0。,解: (1) 列出真值表,(2) 画出卡诺图,(3) 卡诺图化简,第 44 页,非完全描述就是在实际中变量的某些取值时函数没有意义或变量之间有一定的制约关系。,我们把与函数无关的最小项称为无关项，它有时也称为禁止项，约束项，任意项。它的输出是任意的。化简有无关项的逻辑函数时，若无关项对化简有帮助则认为是“1”，否则为“0”,逻辑问题分完全描述和非完全描述两种：,完全描述就是函数得每组变量不管取什麽值，逻辑函数都有意义，逻辑函数与每个最小项都有关。,第

15、45 页,例： 化简 约束项条件为AB+AC+BC=0,解：1. 先用卡诺图把函数表示出来,约束项就是AB、AC、BC不能同时为“1”，即A,B,C三个中必须有2个0.,2. 从图中可以看到,若不考虑无关项的话,函数不能化简，考虑无关项的化简结果为F=A+C,第 46 页,利用卡诺图进行逻辑形式的转化,方法：把逻辑函数用卡诺图化简得“与或”式,然后“与或”式 两次求反即得与非式。,1. “与非”逻辑形式,2. “或与”逻辑形式,方法：从卡诺图上求其反函数(圈“0”方格) 由反函数求得原函数，即利用摩根定律得“或与“式。,例：化简,第 47 页,第 48 页,方法：先求得或与式,然后两次求反即得

16、或非式。,3. “或非”逻辑形式,方法：得与或式后,两次求反不用摩根定律处理即得.,4. 与或非逻辑形式,第 49 页,输入只有原变量的函数化简,用非门求得反变量来解决这种问题是很不经济。可以用三级电路设计法(阻塞法)来解决这样的问题.,在卡诺图可以发现一种特殊现象.当卡诺圈中含有全1方格(二变量的11即AB;三变量的111即ABC;等)时,其化简结果均为原变量。,在化简这类问题时就可以利用这个性质,若没有给全1的逻辑项,可以先把它在卡诺图中圈出来,然后再阻塞掉即可。,例：输入只有原变量，用与非门实现 F=(3，4，5，6）,第 50 页,解：1. 直接化简：,2. 将全“1”格子填“1”，用

17、卡诺图化简：,3. 阻塞掉全1方格.,第 51 页,多输出函数的化简,实际中电路常常有两个或两个以上的输出端,在化简这类问题是不能单纯地去追求各个函数最简,我们应统一考虑,充分利用公共项.,例: 化简 F1=(1,3,4,5,7)F2=(3,4,7)并用门电路实现.,由于卡诺图中都含有,应该化简得到：,第 52 页, 逻辑代数基本定律、定理和规则 逻辑表达式之间的转换方法和代数化简方法 最小项概念，最小项表达式的生成方法。 卡诺图的画法，利用卡诺图化简逻辑表达式的方法 硬件设计的软件化是未来的趋势，HDL语言是电子设计重 要的内容,本章总结,第 53 页,作业,对本次讲课的意见。 习题：2.1.3 2.1.6 2.2.1 2.2.3(2)(4)(6),谢谢！,第 54 页,例：直接写出下列函数的对偶式及反演式的函数表达式,第 55 页,例：化简下式,解：,第 56 页,例：证明下式,证明：设右边等于F，求其对偶式,再求对偶式的对偶式,第 57 页,例：写出下列函数的对偶式及反演式的最小项表达式,解：先写出原函数的最小项表达式,反演式的最小项表达式即是最小项的全集中去掉原函数的最小项的那些的组合,对偶式的最小项表达式