统计学课件第5章正态分布配套讲义

1、Chap 6-1,Business Statistics: A First Course, 5e 2009 Prentice-Hall, Inc.,Chap 6-1,正态分布,计算正态分布的概率 使用正态分布图判定一组数据是否近似正态分布,连续概率分布,连续随机变量是可以取连续的任意值的变量 (可以假设有不可数的观察值数) 某物的厚度 完成任务所需要的时间 溶液的温度 以英寸计的高度 其潜在的值仅取决于度量工具的精确跟准确度,Business Statistics: A First Course, 5e 2009 Prentice-Hall, Inc.,Chap 6-3,正态分布,钟形 对称

2、平均数, 中位数 和众数相等 位置由均数, 决定 散布由标准差, 决定 随机变量理论上有无限的全距 : + 到 ,平均数 = 中位数 = 众数,X,f(X),Business Statistics: A First Course, 5e 2009 Prentice-Hall, Inc.,Chap 6-4,正态分布的概率密度函数,正态分布的概率密度函数公式为,Wheree = 数学常数，大约为2.71828 = 数学常数，大约为3.14159 = 总体平均数 = 总体标准差 X = 连续变量的任何观测值,Business Statistics: A First Course, 5e 2009 P

3、rentice-Hall, Inc.,Chap 6-5,通过变动参数 和, 我们得到不同的正态分布,各种正态分布,Business Statistics: A First Course, 5e 2009 Prentice-Hall, Inc.,Chap 6-6,正态分布形态,X,f(X),改变 左或右移分布.,改变 增加或减少散布,Business Statistics: A First Course, 5e 2009 Prentice-Hall, Inc.,Chap 6-7,标准正态分布,任何正态分布(任何平均数和标准差的组合)都能够转换为标准正态分布(Z) 需要将X转换为Z 标准正态分布(

4、Z)的平均数为0且标准差为1,Business Statistics: A First Course, 5e 2009 Prentice-Hall, Inc.,Chap 6-8,转换成标准正态分布,通过将X减去平均数之后处于其标准差转换成标准正态分布 (“Z” 分布) :,Z 分布的平均数 = 0 且标准差 = 1,Business Statistics: A First Course, 5e 2009 Prentice-Hall, Inc.,Chap 6-9,标准正态分布分布函数,标准正态分布分布函数公式为,Wheree = 数学常数，大约为2.71828 = 数学常数，大约为3.14159

5、 Z = 标准正态分布的任何观测值,Business Statistics: A First Course, 5e 2009 Prentice-Hall, Inc.,Chap 6-10,标准 正态分布,也称为“Z” 分布 平均数 is 0 标准差 is 1,Z,f(Z),0,1,平均数之上的观测值有正的Z-值, 平均数之下的观测值有负的Z-值,Business Statistics: A First Course, 5e 2009 Prentice-Hall, Inc.,Chap 6-11,例子,如果X服从正态分布，平均数为100且标准差为50, 对于 X = 200 的Z值为 这说明X =

6、200在平均数100之上两个标准差 (2个50).,Business Statistics: A First Course, 5e 2009 Prentice-Hall, Inc.,Chap 6-12,比较X和Z单位,Z,100,2.0,0,200,X,注意分布形态是一样的，仅是坐标改变。我们可以将问题用原始单位(X)或标准单位(Z)表示。,( = 100, = 50),( = 0, = 1),Business Statistics: A First Course, 5e 2009 Prentice-Hall, Inc.,Chap 6-13,计算正态分布概率,a,b,X,f(X),P,a,X,

7、b,(,),概率用曲线下面积来度量,P,a,X,b,(,),=,(注意任何单个观测值的概率为0),Business Statistics: A First Course, 5e 2009 Prentice-Hall, Inc.,Chap 6-14,f(X),X,概率为曲线下面积,0.5,0.5,曲线下总面积为 1.0, 且曲线是对称的, 因此一般大于平均数, 一半小于,Business Statistics: A First Course, 5e 2009 Prentice-Hall, Inc.,Chap 6-15,标准正态分布表,教科书 (附录表 E.2)上累计标准正态分布表给出了低于一个需

8、要的Z值概率 (也就是,从负无穷到Z),Z,0,2.00,0.9772,例子: P(Z 2.00) = 0.9772,Business Statistics: A First Course, 5e 2009 Prentice-Hall, Inc.,Chap 6-16,标准正态分布表,表中的值给出从Z = 直到所需要的Z值的概率,.9772,2.0,P(Z 2.00) = 0.9772,行显示到第一位小数的Z值,列给出到第二位小数的Z值,2.0,. . .,(续),Z 0.00 0.01 0.02 0.0 0.1,Business Statistics: A First Course, 5e 2

9、009 Prentice-Hall, Inc.,Chap 6-17,计算正态分布概率的一般步骤,画出问题所对应于X的正态分布曲线 将X值转换成Z值 使用标准正态分布表,计算P(a X b) ，当X服从正态分布:,Business Statistics: A First Course, 5e 2009 Prentice-Hall, Inc.,Chap 6-18,计算正态分布概率,令X表示从互联网上下载一张图片所需要的时间 假设X服从正态分布，平均数 8.0 且标准差 5.0。 计算P(X 8.6),X,8.6,8.0,Business Statistics: A First Course, 5e

10、 2009 Prentice-Hall, Inc.,Chap 6-19,令X表示从互联网上下载一张图片所需要的时间 假设X服从正态分布，平均数 8.0 且标准差 5.0。 计算P(X 8.6),Z,0.12,0,X,8.6,8, = 8 = 10, = 0 = 1,(续),计算正态分布概率,P(X 8.6),P(Z 0.12),Business Statistics: A First Course, 5e 2009 Prentice-Hall, Inc.,Chap 6-20,Z,0.12,Z,.00,.01,0.0,.5000,.5040,.5080,.5398,.5438,0.2,.5793

11、,.5832,.5871,0.3,.6179,.6217,.6255,结论: 计算 P(Z 0.12),.5478,.02,0.1,.5478,标准正态分布表 (部分),0.00,= P(Z 0.12),P(X 8.6),Business Statistics: A First Course, 5e 2009 Prentice-Hall, Inc.,Chap 6-21,计算正态分布右侧概率,假设X服从正态分布，平均数 8.0 且标准差 5.0。 现在计算P(X 8.6),X,8.6,8.0,Business Statistics: A First Course, 5e 2009 Prentic

12、e-Hall, Inc.,Chap 6-22,现在计算 P(X 8.6),(续),Z,0.12,0,Z,0.12,0.5478,0,1.000,1.0 - 0.5478 = 0.4522,P(X 8.6) = P(Z 0.12) = 1.0 - P(Z 0.12) = 1.0 - 0.5478 = 0.4522,计算正态分布右侧概率,Business Statistics: A First Course, 5e 2009 Prentice-Hall, Inc.,Chap 6-23,计算两个值之间的正态分布概率,假设X服从正态分布，平均数 8.0 且标准差 5.0。 计算 P(8 X 8.6),

13、P(8 X 8.6) = P(0 Z 0.12),Z,0.12,0,X,8.6,8,计算Z值:,Business Statistics: A First Course, 5e 2009 Prentice-Hall, Inc.,Chap 6-24,Z,0.12,结论: 计算 P(0 Z 0.12),0.0478,0.00,= P(0 Z 0.12),P(8 X 8.6),= P(Z 0.12) P(Z 0),= 0.5478 - .5000 = 0.0478,0.5000,Z,.00,.01,0.0,.5000,.5040,.5080,.5398,.5438,0.2,.5793,.5832,.5

14、871,0.3,.6179,.6217,.6255,.02,0.1,.5478,标准正态分布表 (部分),Business Statistics: A First Course, 5e 2009 Prentice-Hall, Inc.,Chap 6-25,假设X服从正态分布，平均数 8.0 且标准差 5.0。 现在计算 P(7.4 X 8),X,7.4,8.0,左半部分概率,Business Statistics: A First Course, 5e 2009 Prentice-Hall, Inc.,Chap 6-26,左半部分概率,现在计算 P(7.4 X 8),X,7.4,8.0,P(7

15、.4 X 8) = P(-0.12 Z 0) = P(Z 0) P(Z -0.12) = 0.5000 - 0.4522 = 0.0478,(续),0.0478,0.4522,Z,-0.12,0,正态分布是对称的, 所有此概率 与P(0 Z 0.12)相同,Business Statistics: A First Course, 5e 2009 Prentice-Hall, Inc.,Chap 6-27,经验法则, 1 包括了大约68.26% 的X值,f(X),X,+1,-1,对于任何正态分布，观测值在平均数周围的如何分布?,68.26%,Business Statistics: A Firs

16、t Course, 5e 2009 Prentice-Hall, Inc.,Chap 6-28,经验法则, 2 包括了大约95% of X值 3 包括了大约99.7% of X值,x,2,2,x,3,3,95.44%,99.73%,(续),Business Statistics: A First Course, 5e 2009 Prentice-Hall, Inc.,Chap 6-29,对于已知概率计算 X值的步骤: 1. 计算已知概率的Z值 2. 使用公式转换为X单位:,给定正态分布概率计算X值,Business Statistics: A First Course, 5e 2009 Pre

17、ntice-Hall, Inc.,Chap 6-30,给定正态分布概率计算X值,例子: 令X表示从互联网上下载一张图片所需要的时间（以秒计） 假设X服从正态分布，平均数 8.0 且标准差 5.0。 20%的下载时间小于X，计算 X 。,X,?,8.0,0.2000,Z,?,0,(续),Business Statistics: A First Course, 5e 2009 Prentice-Hall, Inc.,Chap 6-31,计算左侧20%的Z值,左侧20%面积有着固定的Z值 -0.84,Z,.03,-0.9,.1762,.1736,.2033,-0.7,.2327,.2296,.04,

18、-0.8,.2005,标准正态分布表 (部分),.05,.1711,.1977,.2266,X,?,8.0,0.2000,Z,-0.84,0,1. 计算已知概率的Z值,Business Statistics: A First Course, 5e 2009 Prentice-Hall, Inc.,Chap 6-32,2.使用公式转换为X单位:,计算X值,因此对于平均数 8.0 且标准差 5.0的分布， 20%的观测值小于3.80。,Business Statistics: A First Course, 5e 2009 Prentice-Hall, Inc.,Chap 6-33,判断正态分布,

19、不是所有的连续分布都是正态分布 评价数据集多大程度上近似于正态分布是重要的 正态分布数据应该满足正态分布条件: 正态分布是钟形 (对称) ，其平均数等于中位数 经验法则应用于正态分布 正态分布的四分位间距是1.33 标准差,Business Statistics: A First Course, 5e 2009 Prentice-Hall, Inc.,Chap 6-34,判断正态分布,比较数据特征是否符合正态分布特性 构建图表 对于较少或规模较小的数据集，构建茎叶图或盒须图来检查对称性 对于较大数据集，直方图或多边形图是否是钟形? 计算描述性度量 平均数, 中位数 和众数是否有着类似的值? 四

20、分位间距是否大约 是1.33 ? 全距是否大约是6 ?,(续),Business Statistics: A First Course, 5e 2009 Prentice-Hall, Inc.,Chap 6-35,判断正态分布,比较数据特征是否符合正态分布特性 观察数据集的分布 是否近似2/3的观测值位于平均数 1 标准差? 是否近似80%的观测值位于平均数 1.28 标准差? 是否近似95%的观测值位于平均数 2 标准差? 判断正态分布图 正态分布图是否近似与线性 (也就是一条直线) 且斜率为正?,(续),Business Statistics: A First Course, 5e 2009 Prentice-Hall, Inc.,Chap 6-36,构建正态分布图,正态分布图 将数据组织成有序数组 计算相应标准正态分布数值 (Z) 将观测值 (X)放在垂直轴上，标准正态分布数值 (Z)放在水平轴上 ，画出图形 判断图形是否是线性的,Business Statistics: A First Course, 5e 2009 Prentice-Hall, Inc.,Cha