第1章-数理统计学的基本概念

1、武汉理工大学统计学系,应用数理统计,武汉理工大学统计学系,武汉理工大学统计学系,统计学从方法上讲有两大类:描述性统计方法和数理统计方法(即抽样统计方法). 描述性统计方法: 全部资料 数理统计方法: 部分资料 抽样统计方法,武汉理工大学统计学系,数理统计学是数学的一个分支，它研究怎样用有效的方法去收集、整理、分析带随机影响的数据，并在此基础上对所讨论的问题给出统计性的估计和推断。 数理统计学的内容: 概括为两大类 用有效的方法去收集数据。 抽样理论和试验设计 有效地使用数据。中心内容统计推断 它包括参数估计，假设检验，回归分析，方差分析，多元统计分析等等。,武汉理工大学统计学系,有效性的含义,

2、上述有效性有两个含义： 可以建立一个在数学上便于处理的模型来描述所得的数据， 数据中要包含尽可能多的与所研究的问题有关的信息。,武汉理工大学统计学系,关于统计推断,由于统计推断中使用的仅仅是部分数据，且带有随机性，故所得结论只能做到尽可能而非绝对的精确可靠，而结论的正确性程度显然可以用概率来度量，因此概率论是数理统计的基础。 统计方法的具体使用并不需要很高深的数学知识，但不具备较多较深的数学知识，这些方法的理论依据就说不清楚。本课主要介绍数理统计方法，也给出一些必要的数学推导，但不追求其严密性和完整性。,武汉理工大学统计学系,数理统计方法的应用,几乎在人类活动的一切领域中都能够不同程度地发现数

3、理统计方法的应用。 实验数据的处理离不开数理统计方法 在工农业生产中，最佳生产工艺的安排，最佳配方的确定，优良品种的对比试验，产品质量的控制管理，产品验收方案的制定，电子元器件寿命的计算等都要用到数理统计方法。,武汉理工大学统计学系,在医药卫生领域，流行病的研究、新药的药效试验以及某种疾病的发病率与其它因素的关系的研究都是数理统计方法的用武之地。 在生物遗传学、气象预报、地震研究、地质探矿等方面的研究中，数理统计方法是必备工具之一。 数理统计方法在社会科学方面的应用也愈来愈广泛，教育学，人口学，社会保险业，各种社会问题的抽样调查，市场预测，民意测验等都有数理统计方法涉足。 总之，只要安排试验和

4、处理数据，就可以用数理统计方法。,武汉理工大学统计学系,数理统计学发展简史,统计学的起源：统计学起源于古代，早在公元前3050年的古埃及就为建造金字塔进行过全国国力统计。到了16世纪，西欧各国政府对收集公民有关资料发生兴趣。Statistics（统计学）源于State. 数理统计的正式诞生。在数学家建立了概率论后，才奠定了数理统计发展的理论基础。一般认为，它诞生于19世纪后期。,武汉理工大学统计学系,19世纪后期到20世纪四十年代。在这时期，英国人高尔顿、皮尔逊、费歇等作了大量开创性工作。尤其，费歇于1922年的一篇论文是数理统计学建立过程的一个里程碑，该文主要观点至今仍基本有效。到了四十年代

5、，数理统计学已发展成为一个成熟的数学分支，它的重要标志是瑞典统计学家H.Cramer于1949年的著作Mathematical Methods of Statistics,武汉理工大学统计学系,二战后。这时期的一个突出特点是计算机的发明和使用。它使人们能够处理大量的数据及其运算，把数理统计的研究引入到宏观世界和微观世界，又出现了一些新的分支。 最后，特别提一下我国的许宝禄教授在极限理论、马氏过程、多元分析、正交设计、过程设计和判别函数等许多方面都有突出的贡献，他的许多研究成果都达到了世界先进水平。,武汉理工大学统计学系,第一章数理统计学的基本概念,武汉理工大学统计学系,通常用 等表示。,一、总

6、体、样本和统计模型,例1,总体：,研究对象的全体，,如例1中的这批,产品就构成总体。,(Population),武汉理工大学统计学系,个体：,总体中的每个对象，,如例1中的每个,产品。,样本的实现称为样本,的一组观察值（Observation or data）,记为,今后，为了方便若不加特别声明，用,武汉理工大学统计学系,样本所有可能的取值构成的空间,在统计中，对总体的推断，实际上是推断,总体的分布，即确定总体的分布。为此，我,个分布最适合还得通过统计推断来确定，因,们可以根据对总体了解程度，假设总体的分,布属于某个分布族,至于其中哪一,此往往将,其中,武汉理工大学统计学系,如例1中，统计模型

7、为 ，,其中,武汉理工大学统计学系,二、统计量及其分布,设统计模型为 ，我们仅知道,总体的分布属于此分布族，但哪个最合适,还需经过统计推断。,推断总体的分布，实际,上就是确定参数 ，,为此，需抽取样本。,样本来源于总体，它应当包含参数的所有,相关信息，但观察值呈现为一堆杂乱无章,数据，故需对数据进行加工或压缩，提取,武汉理工大学统计学系,有关参数的信息，而剔除无关的信息，这在,统计上就反映为构造样本的已知函数，即,统计量,（Statistic）。,例2,的函数,武汉理工大学统计学系,可能对应相同的T值，这样实际上是对样本,起到了加工或压缩的作用。,1. 统计量,定义1,武汉理工大学统计学系,知

8、的参数。,样本均值（Sample Mean）：,样本方差（Sample Variance）：,常用统计量(Statistic)：,武汉理工大学统计学系,样本标准差（Sample Standard Deviation）：,样本矩（Sample Moment）,武汉理工大学统计学系,2. 充分统计量,统计量既然是对样本的加工或压缩，在这,个过程中可能有损失有关参数的一部分信息，,现在问题是在这个过程中是否存在某些统计,量，既起到压缩作用，又不损失参数的信息，,这样的统计量称为充分统计量。,武汉理工大学统计学系,例3,续例2,武汉理工大学统计学系,定义2,充分统计量（Sufficient Stati

9、stics）,一般情况下，利用条件分布证明统计量的,充分性是比较困难的。,但存在证明充分性的,一个充分必要准则，就是下面的因子分解定,理（Factorization theorem）。,武汉理工大学统计学系,定理1,武汉理工大学统计学系,例4,武汉理工大学统计学系,3. 抽样分布,分布,标准正态分布 ，,称随机变量,所服从的分布为自由度是 的 分布，,记为,武汉理工大学统计学系,定理2,体 ，,则有,定理3,则,（1）,的特征函数为,（2）,武汉理工大学统计学系,定理4,且相互独立，,定理5(Cochran分解定理),标准正态分布 ，,又设,非负定二次型，,其中 是秩为 的,则 相互独立且,武汉理工大学统计学系,分布,所服从的分布为自由度是 的 分布，,记为,相互独立，,且 与,则称随机变量,武汉理工大学统计学系,分布,相互独立，