高二数学下学期直线和平面垂直

1、高二数学下学期直线和平面垂直课 题：94直线和平面垂直（第一课时）教 材：人教版全日制普通高级中学（必修）第二册（下B）P2022教学目标：一、知识能力目标1、掌握直线和平面垂直的概念。2、掌握直线和平面垂直的判定定理并能简单进行应用。3、提高学生的逻辑思维能力和空间想象能力。二、过程性目标：1、引导学生在观察、实验、猜想、证明等过程中体验到数学活动充满探索与创新，感受数学的严谨性与科学性。2、培养学生利用等价转化的数学思想证明立体几何问题的能力及独立思考、合作交流、主动参与的情感态度。3、训练学生将图形、文字语言、符号语言互相转化，从而提高分析问题和解决问题的能力。教学重点：直线和平面垂直的

2、判定定理。教学难点：直线和平面垂直的判定定理的证明。教学方法：诱导启迪法、师生讨论法。教具准备：多媒体课件。教学过程教 师 活 动学生活动设计意图设置情境 生活感知复习“两条直线互相垂直的定义”，并让学生观察、思考：教室内直立的墙角线和地面的位置关系是什么？直立于地面的旗杆和地面的位置关系又是什么？在一些文学作品中，也常常会有描写我们数学中的一些几何量之间的关系的优美句子，如：古诗“大漠孤烟直，长河落日圆” 中的“大漠孤烟直” 描写的正是直线和平面垂直的形象。从而使学生在头脑中产生直线和平面垂直的初步形象，并以此引出课题。 观察思考联想从学生已有认识出发，自然地引出课题。理解数学与生活的关系；

3、体验数学的人文价值。概念探求与剖析直线和平面垂直的定义用多媒体课件演示旗杆在地面上的影子随着时间的变化而移动的过程。同时，展开以下问题：（1）阳光下，旗杆与它在地面上的影子所成的角度是多少？（2）随着时间的变化，影子的位置会移动，而旗杆与影子所成的角度是否会发生改变呢？（3）旗杆 与地面上任意一条不过点 的直线的位置关系又是什么？所成的角为多少？再让学生看一个演示实例：将书打开直立在桌面上，观察书脊和桌面上任何直线的位置关系。根据两个实例的结论，让学生归纳、概括出线面垂直的定义。如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线和平面互相垂直，记作，直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂

4、面。若与 互相垂直，则与一定相交，交点叫做垂足，任意,都有 。让学生找出定义中的关键词。学生通过讨论，不难找出定义中的关键词是“任意”。再让学生讨论如何理解“任意”二字。观察思考讨论理解交流归纳设计实验，以引出线面垂直的数学化定义使学生从感性认识逐步上升到理性认识在定义剖析中让学生明确关键词，培养严谨的数学思维。定理探求与证明直线和平面垂直的判定让学生观察长方体模型，从中发现侧棱与平面垂直。接着问：为什么长方体的侧棱都和底面垂直呢？引导学生发现侧棱和底面矩形两条邻边都垂直；再问：一条直线和一个平面内两条直线垂直，那么这条直线和这个平面垂直吗？让学生思考一分钟，接着教师用一根细棒斜插入长方体中，

5、让细棒和长方体底面矩形两条平行边保持垂直，转动细棒，让学生再观察细棒是否与长方体底面垂直；再问：一条直线和一个平面内无数条直线垂直，这条直线和这个平面垂直吗？继续用上面模型演示，让学生观察、感知、验证，从而获得正确的结论：如果一条直线和一个平面内的一条或两条平行直线垂直，那么此直线不一定和平面垂直。紧接着，提问：如果一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，那么此直线是否和平面垂直？而后，引出直线和平面垂直的判定定理 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。已知： ， ， ， ， 。求证： 。教师可从以下三个方面引导学生进行分析：（1）要证 ，根据定义，转化为证

6、明垂直于平面内的任意一条直线 （第一次转化）。接下来应让学生清楚 之间的位置关系有哪几种（分类）。通过提问，让学生思考，并鼓励学生主动、踊跃来回答。之后，用多媒体课件展示四种情况（图2）：图1启发学生，只要证明了图（1）的情况，根据异面直线所成的角，其他三种情况也就得证了。下面对图（1）进行分析（2）构造平面图形解决问题（第二次转化）：先对直线 分类：（）当 与 （或 ）重合，命题即可得证。（）当与 都不重合时，启迪学生：如果能证明是上某条线段的中垂线，问题就解决了。根据对称性，让学生找到线段 。接下来，证明的关键是：证明上一点（B点除外）到点 、 的距离相等。需要添加什么样的辅助线？提示学生

7、：在平面 内作一条直线CD ，与直线 分别相交于C、D、E ，会怎样？由此，连结 ，通过两次三角形全等得到 ，从而证得是线段 的中重线，即得 .（3）如果 中有一条或两条不经过点 （其他三种情况），由前面的分析容易得证（第三次转化）。证明过程请同学们自己完成。以下两个真命题，可以当作“定理”直接应用。（1）过一点有且只有一条直线和一个平面垂直。（2）过一点有且只有一个平面和一条直线垂直。观察感知聆听思考归纳验证自己动手动脑书写证明过程利用等价转化的数学思想培养学生将立体几何问题逐步转化为平面几何问题训练学生将图形、文字语言、符号语言互相转化，从而提高分析问题和解决问题的能力。定义与定理的应用例

8、1 求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。分析：由线面垂直的定义，对于直线 和平面 ， 垂直于 内的任意一条直线，用这个定义，我们可以判定直线和平面垂直， 已知： ， 求证： 证明：设 是 内的任意一条直线。 。注意：例1给出了判定直线和平面垂直的一个命题，以后我们可以直接利用它来判定直线和平面垂直。例2 有一根旗杆AB高8m，它的顶端A挂有一条长10m的绳子，拉紧绳子并把它的下端放在地面上的两点（和旗杆脚不在同一条直线上）C、D. 如果这两点都和旗杆脚B的距离是6m，那么旗杆就和地面垂直，为什么？解：在ABC和ABD中， AB=8m，BC=BD=6m，AC

9、=AB=10m，图2 AB2+BC2=62+82=102=AC2，图2AB2+BD2=62+82=02=AD2. ABC=ABD=90即 ABBC，ABBD. 又知B、C、D三点不共线， AB平面BCD，即旗杆和地面垂直.积极思考探求证题思路学生阅读课本P21P22的例2及解答，通过阅读掌握利用判定定理判定直线与平面垂直的方法判定直线与平面垂直可根据线面垂直的定义或判定定理引导学生分析找到合适的证题途径例2与课题引入及定理引入中展开的旗杆问题相呼应，使学生体验数学来源于生活又服务于生活，从而体验数学的实用价值。 巩固练习1. ， ，则 与 的位置关系是（ ）A. B. C. 与 垂直相交 D.

10、 与 垂直且异面2.若直线不垂直于平面 ，那么在平面内（ ）A.不存在与垂直的直线 B.只存在一条与垂直的直线C.存在无数条直线与垂直 D.以上都不对3.在正方体 中，与 垂直的平面是（ ）A.平面 B.平面 C.平面 D.平面 4.如图3，已知 平面 ， 是O的直径，C 是O 上的任一点，求证： .图35.如图4，已知 ， 于 ， 于， 于点 ，求证： 。图46.如图5，已知异面直线 ， ， ， 是 的公垂线，求证 。图5学生动手动脑自己练习巩固所学知识由易到难的分层次练习使各层次的学生得到训练，以满足各层次学生学习的需要。回忆与总结一、这堂课我们学习了什么？学生回答：这堂课我们学习了直线与平面垂直的定义及直线与平面垂直的判定定理。1、定义中的“任意一条直线”与“所有直线”是同意词，定义是说这条直线和平面内所有直线垂直。2、和平面垂直的直线是直线和平面相交的一种特殊形式。3、两个结论：过一点有且只有一条直线和已知平面垂直；过一点有且只有一个平面和已知直线垂直。 二、我们从学习中掌握了什么？学生回答：我们掌握了判定直线和平面垂直的三种方法：1、定义法，强调任意一条直线。2、例1的结论，符合“两条平行线中的一条垂直于平面”的特征。3、判定定理，必须是“两条相交直线”。在应用的