常微分方程(1,2 章)

1、,常微分方程,重庆人文科技学院 陈永济,第一章 绪 论,1.1 微分方程 过程的数学模型 1.2 微分方程的基本概念,1.1 微分方程 变化过程的数学模型,函数是反映事物变化过程中的量与量之间的关系， 但是现实中稍微复杂一点的关系，一般都是很难直接找到的，而却比较容易找到这些量和这些量与量之间的导数（变化率）的关系式 . 这种联系着自变量、未知函数和它的导数（微分）的关系式称为微分方程 . 微分方程是反映事物变化过程的最常用也是最重要的数学模型之一 .,例1 物体冷却过程的数学模型 将某物体置于空气中，在时刻 t = 0 时，它的温度u0 = 150C，10分钟后测得温度为u1 = 100C，

2、求决定此物体的温度 u 和 t 的关系，并计算20分钟后物体的温度 . 假定空气的温度保持为ua = 24C,由牛顿冷却定律：,解：,设时刻 t 时物体的温度为u，则此时温差为 u ua , 所以,将t = 0 时u = u0 代入得,将 u0 = 150， ua = 24， t = 10 时, u = 100代入得,热量总从高温物体向低温物体传导，温度冷却的速度与二物体温差成正比.,例2 R L 电路,右图的电路中R为电阻，L为电感，E为电源，设 t = 0 时，电路中没有电流. 要求建立：当开关K 合上后，电流 I 应该满足的微分方程. 设 R、L、E 都是常数.,由基尔霍夫定律：在闭合回

3、路中，所有支路上的电压的代数和等于零. 有,求出的 I = I ( t )应该满足 I ( 0 ) = 0,若合上K后某时刻 t = t0 时，I = I0，电源E突然短路（即E = 0），此后一直保持为零，这时电流I满足的方程应为,求出的 I = I ( t ) 应该满足 I ( t 0 ) = I 0,解：,例3 R L C 电路 如右下图设电感 L、电容 C 和电阻 R 都是常数，电源e ( t )是时间的 t 的函数，试建立：当K合上时电流 I 满足的微分方程 .,解：由基尔霍夫定律有,其中 Q 为电量 . 注意,将上式对 t 求导得,即,若e ( t )是常数，则,若又加上 R =

4、0 ，则,例4 数学摆 数学摆是系在一根长度为 l ，质量可忽略不计的细线上，质量为m 的质点M，在重力作用下，在垂直于地面的平面上沿圆周运动，试确定摆的运动方程,解：取反时针方向为计算摆 与铅垂线所成的角的正方向. 质点M沿圆周的切向速度为v.,质点所受重力的切向分力为,注意，若摆 只作微小振动时,重力的纵向分力与所受细线的拉力抵消，所以由牛顿第二定律得,要确定摆的某一特定运动时，还应该给出摆的初始状态，即当 t = 0 时，,它们分别代表摆的初始位置和初始角速度.,如果单摆是在粘性介质中运动，受到与运动速度成正比的阻力，则,阻尼振动,若单摆还受到一个始终与运动方向相同的力F ( t )，则

5、单摆的运动微分方程为,强迫微小振动,初始状态,例5 人口模型（Malthus）,人口模型的基本假设是：人口在自然增长条件下，净相对增长率（单位时间内人口的净增长数与人口总数之比）是常数，设为 r （生命系数）.,即,设 t = 0 时，N ( t ) = N0，代入(1.21)求出：,所以方程 (1.20) 的满足上述初值条件的解为,设人口数量为 N = N( t )，由基本假设有,在上述模型中，人口呈指数增长 . 如以一年或十年把它离散化，则人口是以 e r 为公比的几何级数增长 . 荷兰生物学家 Verhulst 对它进行了改进，得到著名的logistic 模型.,logistic 模型,

6、人类的生存空间是有限的，自然资源、环境条件只能提供一定数量人口的生活，因此 Verhulst 引入了环境最大容纳量Nm 这个常数，并认为人口的净增长率为,（r 为生命系数，即自然增长率）,所以人口关于时间的微分方程为,例5 传染病模型 设传染病传播期间其地区总人数不变，为常数 n，开始时染病人数为x0，在时刻 t 时健康人数为 y ( t )，染病人数为x ( t ) .,上述模型称为SI模型，即易感染者(Susceptible)和已感染者(Infective) 模型,如传染病为无免疫性疾病，则病人治愈后还可能感染. 设单位时间治愈率为（1/ 也称为平均传染期），则(1.24)式应修正为,基本

7、假设: 单位时间内一个病人能传染的人数与当时的健康人数成正比，比例常数为 k，称为传染系数 .由此假设可得以下微分方程,此模型称为SIS模型， 称为称为每个病人的有效接触人数 .,如一些有很强免疫性的传染病，病人治愈后不会再被感染 . 设在时刻 t 时的愈后免疫人数为 r ( t ) (称为移出人数）, 而治愈率 l 为常数， 即,则,（1. 31 ）,消掉 r ( t )可得,上式称为SIR模型 .,例6 两种生物种群生态模型,其中a 为常数. 叫做自然净增长率 . 但由于捕食鱼的存在，使其增长率降低 .,设单位时间内捕食鱼与被食鱼相遇次数为 bxy ( b 0, 为某个常数)，并设相遇被食

8、鱼即被吃掉 . 则,类似地，捕食鱼因缺少被食鱼的自然减少率与它们本身的存在 y 成正比,即为 c y (c 0，为某个常数) . 自然增长率与它们本身的数目和被食鱼的数目成正比，即为 exy （e 0，为某个常数，称为被食鱼对捕食鱼的供养能力），于是得到 Volterra 被捕食 捕食模型:,(1 . 32）,Volterra 被捕食 捕食模型: 意大利数学家Volterra 把鱼分成被食鱼和捕食鱼，设时刻 t 时被食鱼的总数为x ( t ) , 而捕食鱼的总数为 y ( t ) . 由于被食鱼的食物很丰富，因此种类斗争并不激烈，所以在不存在捕食鱼的情况下被食鱼的增长应成指数增长，即,两种种群

9、竞争模型 设竞争同一资源的两种生物种群甲、乙的数目分别为x、 y，则两种生物的生长情况为,当a、 b、 c、 e 均为正数时，称为竞争模型，当b、 e 为负数时称共生模型.,一般 Volterra 模型,其中a, b, c, d, e, f为常数，可正、可负或为 0，视两种生物的关系而定，一般可分成竞争、共生、捕食 被捕食等情况。 当x = 0, 或 y = 0 种群内存在密度制约关系时，上式就成为一维的Logistic 模型.,例7 Lorenz 混沌模型 由美国气象学家Lorenz 建立,其中 a = 10, b = 8/3, c = 28 . Lorenz 发现，此方程的解对初值非常敏感

10、. 是关于所谓混沌现象的第一例微分方程.,1. 常微分方程与偏微分方程 (1) 只有一个自变量的微分方程叫做常微分方程； (2) 自变量的个数有两个或两个以上的微分方程叫做偏微分方程.,微分方程中未知函数最高导数的阶数称为微分方程的阶.,2. 微分方程的阶,例 下列方程是常微分还是偏微分方程，并指出它们的阶：,2 阶常微分方程,2 阶偏 微分方程,一阶常微分方程,一阶偏微分方程,2 阶偏微分方程,一阶常微分方程,一 微分方程的分类,1.2 基本概念,3. 线性微分方程和非线性微分方程,一般 n 阶常微分方程的形式为,若上式左端为,的一次有理整式，则称方程为 n 阶线性微分方程，即n 阶线性微分

11、方程具有形式,为x 的已知函数 .,不是线性方程的微分方程称为非线性微分方程. 例如,分别为一阶线性微分方程和二阶非线性微分方程.,二 微分方程的解,设有微分方程,若函数 y = f (x) 代入能使它成恒等式，则称 y = f (x) 为上面的微分方程的一个解. 如果关系式 (x, y) = 0 所确定的隐函数 y = f (x) 是(1. 21)的解, 则称它为方程 (1. 21）的隐式解.,例：微分方程,有解,关系式,是它的隐式解 .,微分方程的显式解和隐式解都称为微分方程的解.,1. 微分方程的解 解和隐式解,通常把特解必需满足的条件称为定解条件 . 常见的定解条件为初始条件，即当 x

12、 = x0 时，,2. 通解和特解,n 阶微分方程的含有 n 个独立的任意常数的解称为它的通解. 不含任何任意常数的解称为微分方程的一个特解.,定解条件,例如 可以验证微分方程,的通解为,设初始条件为,将它们代入通解得,所以微分方程满足上述初始条件的特解为,关于通解的注：,1. 从命名来看，人们希望通解包含方程的全部解. 但从定义上看，通解并不需要包含方程的全部解. 例如 y = ecex 和 y = cex 都是微分方程 y = y 的通解，但前者只包含它的部分解，后者才是它的全部解. 2. 仅管通解并不要求是方程的全部解，但是我们在求通解时还是让它尽可能多地包含方程的解. 3. 通解确实包

13、含了方程在一定范围内的全部解. 4. 当通解中的所有任意常数都成了确定的值时，就是方程的一个特解.,设 y =(x) 是微分方程 ( 1.23 )的解 ，它是 xy 平面上的一条曲线，我们称它为微分方程的积分曲线. 因而微分方程 (1. 23) 的通解 y =( x , c ) 对应于xy 平面上的一族曲线，称为积分曲线族. 显然，y =(x) 是微分方程 ( 1.23 )的解的充要条件是曲线上每一点( x, y )处的斜率则好等于 f (x , y) .,3. 解的几何意义 设有一阶微分方程,(1) 积分曲线与积分曲线族,(2) 微分方程的方向场（线素场）,显然，过区域 D上每一点 ( x,

14、 y ) 斜率为 f (x , y) 的一小段直线段 ( 线素 ) ，代表过该点的积分曲线在该点的切线方向，并且过该点的积分曲线在该点附近可以用这条小线段近似地表示. 区域D上的全体线素称为微分方程( 1.23 )的方向场（或线素场）. 利用方向场右以画出积分曲线的大致形状.,右下图是微分方程,的向量场,第二章,2.1 变量分离方程与变量变换 2.1.1 变量分离方程 2.1.2 可化为分离变量的方程 2.1.3 应用举例 2.2 线性微分方程与常数变异法 2.3 恰当微分方程与积分因子 2.3.1 恰当微分方程 2.3.2 积分因子 2.4 一阶隐式微分方程与参数表示 2.4.1 可以解出

15、y （或 x ）的方程 2.4.2 不显含 y （或 x ）的方程,2. 1 变量分离方程和变量变换,2.1.1 变量分离方程,形如,的微分方程称为变量分离方程. 这里 f (x), g (y)分别是 x, y 的连续函数 .,变量分离方程的解法,如果 g (y) 0，则 ( 2. 1) 式可写为,这样变量就分离出来了，两边分别积分得方程 (2.1) 的通解：,上面的积分式看成某个确定的函数，以后也这样理解.,一般还应该检验 g ( y ) = 0 是否原方程的解.,解变量分离方程的例,例1 求解方程,解：,分离变量,两边分别积分得方程的通解,也可写成显式解：,或写成,例2 解方程,解：,分离

16、变量,两边分别积分,方程的通解为：,注意 y = 0 也是方程的解，但它并未包含在通解内.,例3 解方程,解：,分离变量,即,所以方程的通解为,若,则,所以方程的解为,(2)(1) 得,积分得,例4 求解 Logistic 方程,解：,分离变量,两边分别积分为,左边化成部分分式,所以方程的通解为,将初始条件代入得,所以方程的解为：,即,例5 求方程,解：,分离变量得,积分得,显然 y = 0 也是方程的解，所以上述的c 也可以等于0, 即方程的全部解为,其中 c 为任意常数.,课外作业,2.12 可化成变量分离方程的类型,( 1 ) 齐次微分方程,形如,的微分方程叫做齐次微分方程，这里g (

17、u ) 是 u 的连续函数.,解法：作变换,则 y = ux , 微分得,分离变量为,两端积分就得到方程(2.3)的通解公式：,例6 求解方程,解：,这是齐次微分方程，作变换,则 y = ux , dy = udx + xdu,方程 （2.4 ) 还有解 tan u = 0，即 sin u = 0 . 因此上式中允许 c = 0 . 所以方程的通解为：,也可以直接代通解公式求得.,用公式求解例6,解：,这是齐次微分方程，作变换,所以方程的通解为,余下与前同,例 7 求解方程,解：,这是齐次微分方程，作变换,两端同除以 x 得,则,所以原方程的通解为：,注意u = 0 也是方程的解，但这个解不包

18、含在通解中.,将 u = y / x 代回，则原方程的通解为,同时 y = 0 也是方程的解.,( 2 ) 形如,的微分方程,分以下三种情况讨论,其中k为常数,上述讨论中的解法也可以解决形如,的微分方程,问题：讨论下列微分方程的解法,其中M( x, y ) , N( x, y ) 分别是 x , y 的齐次（次数可以不同）函数,例8 求解微分方程,解：,求方程组,得 x = 1 , y = 2,作变换,代入原方程为,令,则,可以验证,也是方程（2.4 ) 的解，所以原方程的全部解为,（c为任意常数）,2.1.3 应用举例,例9 电容器的充电和放电 如右图所示，电路断开时电容器C 两端电压 uC

19、 = 0 .将开关S 合上“1”后，电池E对电容充电，电容器两端电压 uC 逐渐升高，充电完毕后，再把开关S 合上“2”，电容器 C 开始放电，求充、放电过程中电压 uC 随时间 t 的变化规律.,只研究充电过程 由基尔霍夫定律有,代入 (1) ，得充电时 uC 的微分方程,分离变量得,将 t = 0时， uC = 0 代入得,故（2）的通解为,解：,所以充电时uC 随时间 t 的变化规律为,所以充电结果为uC = E,例10 探照灯反向镜面的形状,要求从点光源射出的光线从镜面反射要沿同一方向平行地反射出去. 求反射镜面的形状,解：由对称性知镜面一定是一个旋转面.设点光源在原点，设这个旋转面由

20、曲线,绕 x 轴旋转而成，问题变成求 y = f ( x )，如右上图,过曲线 y = f ( x )上任一点M ( x, y )作曲线的切线 MT，交 x 轴于 N，,这是一个齐次微分方程. 也可以写成,由题意，由O点射向点 M 的光线应沿平行于 x 轴的方向反射.,由反射定律，应有ON = OM，并注意到,令,则微分方程为,即,分离变量得,积分得,将,代回，并整理得,所以所求反射镜面为旋转抛物面,是可分离变量的微分方程，前面已知其解为：,称为一阶线性微分方程. 当Q (x) = 0 时，称为一阶齐次线性微分方程，否则称为一阶非齐次线性微分方程,2. 2 一阶线性微分方程和常数变易法,一阶线

21、性微分方程,微分方程,一阶齐次线性微分方程,非齐次一阶线性微分方程的解法 常数变易法,设一阶非齐次线性微分方程的解为,代入原方程得,所以非齐次一阶微分方程的通解为,例1 求微分方程,的通解.,解：,先求对应的齐次方程,的解.,方程变形为,这是一阶线性微分方程,分离变量得,所以齐次方程的通解为,用常数变易法，设,代入方程 (1) 得,所以原方程的通解为,例2 求微分方程,的通解 .,解：,方程变形为,即,对应的齐次方程为,分离变量为,(2) 的通解为,设(1) 的通解为,代入( 1 )得,所以原方程的通解为,贝努利微分方程 形如,的微分方程叫贝努利微分方程 . 它可以化成线性微分方程 .,解：作

22、变量代换 z = y 1 n ，则由复合函数求导法则,这是线性微分方程 .,注意：当 n 0 时，y = 0也是原方程的解 .,即,例3 求方程 的通解,解：,这是 n = 2 的贝努利微分方程，令,则,这是线性微分方程，求得它的通解为,所以原方程的通解为,y = 0 也是方程的解 .,2 . 3 恰当微分方程 积分因子,恰当微分方程的充要条件,由数学分析知，(1)是恰当微分方程的充要条件是在区域 D 内,恰当微分方程的求解,由数学分析知,积分路径为点( x0, y0 ) 到点（x, y）的任意按段光滑曲线 .,例1 求微分方程,的通解,解：,所以上述方程为恰当微分方程 .,所以微分方程的通解

23、为,恰当微分方程的“分项组合”解法 下面以例1说明,求微分方程,的通解,把形如 f ( x )dx 、g ( y )dy 分别积分求和，再把剩余的形如 M1 (x, y )dx + N1(x, y )dy 部分求积分，然后求和，即,所以微分方程的通解为,例3 求解微分方程,解：( 容易验证这是恰当微分方程，用分项组合办法求解 ),所以原方程的通解为,2.3.2 积分因子,如果存在函数 ( x,y )， 使得,成为恰当微分方程，则称函数( x, y )为方程 (1 )的积分因子.,可以证明，只要微分方程有解，就一定存在积分因子 , 而且不是唯一的.,由恰当微分方程的充要条件可得( x, y )是

24、方程 M(x,y)dx + N(x,y )dy = 0 的充要条件是,这是一个关于( x, y )的偏微分方程，通过它来求方程 的积分因子，比求解方程本身更困难，因此是不足取的. 但是在特殊情况下，通过找积分因子求解微分方程仍然不失为一种方法.,特殊条件下的积分因子 设有微分方程,1. 微分方程 (1) 存在微分因子( x )的充要条件,因为,是恰当微分方程等价于,由此可知方程 (1) 有只与 x 有关的积分因子的充要条件是,并且由(3)可求出(1)的一个积分因子,前面得到方程 (1) 有只与 x 有关的积分因子的充要条件是,是积分因子,类似的方法得到方程 (1) 有只与 y 有关的积分因子的

25、充要条件是,是积分因子,例4 用积分因子法求线性微分方程,解：将方程变形为,所以原方程存在积分因子,是恰当微分方程，故积分,所以,所以方程的通解为,例5 求解微分方程,解：将方程变形,显然它有积分因子,两边同乘以它得,所以原方程的通解为：,两边同乘以 y dx,例6 求解方程,解法1 ：积分因子法 设 M = y , N = y x , 则,所以方程有积分因子：,原方程两端乘以积分因子,分项组合,所以原方程的通解为,例6 求解方程,解法2 分项组合观察法,显然左边有积分因子,因右边只是关于 y 的微分，故后者为方程的积分因子. 剩下与方法1同.,例6 求解方程,解法3 将方程变形为,这是齐次微

26、分方程,令,则,两边积分得,代回原来的变量得方程的通解为：,解法4 将方程变形为,这也是齐次微分方程,令,则方程为,代回原来的变量得方程的通解为：,例6 求解方程,两边积分得,2.4 一阶隐式微分方程与参数表示,一阶隐式微分方程,的解法探究,如果从 ( 1 )中可以解出,则原则上可以按以前讨论过的方法求解. 但是很多情况下存在如困难：,( i ) 无法从 (1) 中解出 y; ( ii ) 解出的y表达式复杂难于求解,针对上述问题，下面介绍可以采用参数方法将导数变成已解出的类型：,2.4.1 可以解出 y 或 x 的方程,1. 形如,（ f ( u, v ) 关于u, v 有连续的偏导数）的解

27、法,令,代入 ( 1 ) 得,两边对 x 求导得,这是一个关于未知函数 p 的微分方程，且 p 的导数已求出.,则 (1) 的通解为,若 (3) 的通解为：,若 (3) 的通解为：,则 (1) 的通解为,(其中p 为参数 ，c 为任意常数),则 (1) 的通解为,若 (3) 的通解为：,(其中p 为参数 ，c 为任意常数),例1 求解微分方程,解：,方程变形为,则方程为,两边对 x 求导,当 p0 时，两边同乘以 p ，得,积分得,解出 x,代入（1）得,所以方程的通解为,p = 0是方程 (1) ,的解，从而 y = 0 也是原方程的解 .,例2 求解微分方程,解：,则方程为,两边对 x 求导得,的通解为,代入 (1) 得方程的通解,代入 (1) 得原方程的又一个解,将 (3) 代入 (2) 得,即 (3 )的积分曲线与 (2) 的每一条积分曲线相切 ,称作（2）的积分曲线族的包络，