2015-2016学年湖南师大附中高一(下)期末数学试卷(解析版)

1、2015-2016学年湖南师大附中高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共11小题，每小题5分，共55分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知ab0，cd0，则（）ABCD2如果cos（+A）=，那么sin（+A）的值是（）ABCD3已知，若，则=（）A（1，）BCD4已知数列，则0.98是它的（）A第7项B第8项C第9项D第10项5ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c若cosA，则ABC为（）A钝角三角形B直角三角形C锐角三角形D等边三角形6若将函数y=cos 2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为（）Ax=（kZ）Bx=+（kZ）Cx=（kZ）

2、Dx=+（kZ）7如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点从M点测得A点的俯角NMA=30，C点的仰角CAB=45以及MAC=75；从C点测得MCA=60；已知山高BC=200m，则山高MN=（）A300 mB200 mC200 mD300 m8不等式组表示的平面区域的面积为（）A2B4C6D89已知锐角ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin A=，cos C=，a=1，则b=（）ABCD10已知函数f（x）=（ax1）（x+b），如果不等式f（x）0的解集是（1，3），则不等式f（x）0的解集是（）A（，1）（3，+）B（3，1）C（，3）（1，+）D（1，

3、3）11正项数列an满足：a1=2，a2=1，且=（n2），则此数列的第2 016项为（）ABCD二、填空题：本大题共2小题，每小题5分，共10分，把答案填在对应题号的横线上12若定义在（0，+）上的函数f（x）=2x+在x=3时取得最小值，则a=13已知a0，x，y满足约束条件若z=2x+y的最小值为1，则a=三、解答题：本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤14已知向量=（sin A，cos A），=（1，），且A为锐角（1）求角A的大小；（2）求函数f（x）=（cos2xsin2x）+4cos Asin xcos x（x0，）的值域15已知ABC的内角A，B，C

4、的对边分别为a，b，c，且有a2+b2c2=4SABC（1）求角C的大小；（2）若c=，求ab的取值范围16已知等比数列an满足a2+a3=，a1a4=，公比q1（1）求数列an的通项公式与前n项和；（2）设bn=，数列bnbn+2的前n项和为Tn，若对于任意的正整数，都有Tnm2m+成立，求实数m的取值范围（选考部分：50分）一、选择题：本大题共1小题，每小题5分，共5分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的17若数列an是等差数列，首项a10，a2015+a20160，a2015a20160，则使前n项和Sn取得最大值的自然数n是（）A1 007B1 008C2 015D

5、2 016二、填空题：本大题共2小题，每小题5分，共10分，把答案填在对应题号的横线上18已知则sin（+）的值为19设O（0，0），A（1，0），B（0，1），点P是线段AB上的一点，若，则实数的取值范围是三、解答题：本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤20已知函数f（x）=Asin（x+）（A0，0，|）的部分图象如图所示（1）求函数的解析式；（2）设x，且方程f（x）=m有两个不同的实数根，求实数m的取值范围和这两个根的和21某生产旅游纪念品的工厂，拟在2010年度将进行系列促销活动经市场调查和测算，该纪念品的年销售量x万件与年促销费用t万元之间满足3x与t+

6、1成反比例若不搞促销活动，纪念品的年销售量只有1万件已知工厂2010年生产纪念品的固定投资为3万元，每生产1万件纪念品另外需要投资32万元当工厂把每件纪念品的售价定为：“年平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占促销费一半”之和时，则当年的产量和销量相等（利润=收入生产成本促销费用）（1）求出x与t所满足的关系式；（2）请把该工厂2010年的年利润y万元表示成促销费t万元的函数；（3）试问：当2010年的促销费投入多少万元时，该工厂的年利润最大？22设Tn是数列an的前n项之积，满足Tn=1an（nN*）（1）求证：数列是等差数列并求an的通项公式；（2）设Sn=T2+T22+Tn2，求

7、证：an+1Snan+12015-2016学年湖南师大附中高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共11小题，每小题5分，共55分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知ab0，cd0，则（）ABCD【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算【分析】利用不等式的基本性质即可判断出结论【解答】解：cd0，又ab0，因此故选：C2如果cos（+A）=，那么sin（+A）的值是（）ABCD【考点】运用诱导公式化简求值【分析】根据题意结合诱导公式先对条件进行化简，然后对所求化简，进而可以得到答案【解答】解：由题意可得：，根据诱导公式可得cosA=，所以=cosA=，

8、故选B3已知，若，则=（）A（1，）BCD【考点】平面向量的坐标运算【分析】由题意可得：，进而列方程组可得答案【解答】解：由题意可得：，所以13+3x=0，并且4+3y=0，所以x=，y=故选D4已知数列，则0.98是它的（）A第7项B第8项C第9项D第10项【考点】数列的函数特性【分析】由题意=0.98，求出n，可得结论【解答】解：由题意=0.98，解得n=7，所以0.98是数列的第7项故选：A5ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c若cosA，则ABC为（）A钝角三角形B直角三角形C锐角三角形D等边三角形【考点】三角形的形状判断【分析】由已知结合正弦定理可得sinCsinBcosA

9、利用三角形的内角和及诱导公式可得，sin（A+B）sinBcosA整理可得sinAcosB+sinBcosA0从而有sinAcosB0结合三角形的性质可求【解答】解：cosA，由正弦定理可得，sinCsinBcosAsin（A+B）sinBcosAsinAcosB+sinBcosAsinBcosAsinAcosB0 又sinA0cosB0 即B为钝角故选：A6若将函数y=cos 2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为（）Ax=（kZ）Bx=+（kZ）Cx=（kZ）Dx=+（kZ）【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】利用函数y=Asin（x+）的图象变换规律，正弦函数

10、、余弦函数的图象的对称性，得出结论【解答】解：由题意，将函数y=cos 2x的图象向左平移个单位得y=cos 2（x+）=cos（2x+）的图象，令2x+=k，求得x=，故平移后函数的对称轴为 x=，kZ，故选：C7如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点从M点测得A点的俯角NMA=30，C点的仰角CAB=45以及MAC=75；从C点测得MCA=60；已知山高BC=200m，则山高MN=（）A300 mB200 mC200 mD300 m【考点】解三角形的实际应用【分析】由题意，通过解ABC可先求出AC的值，解AMC，由正弦定理可求AM的值，在RtAMN中，MN=AMsinM

11、AN，从而可求得MN的值【解答】解：在ABC中，BAC=45，ABC=90，BC=200 m，AC=200 m，在AMC中，MAC=75，MCA=60，AMC=45，由正弦定理可得=，即=，解得AM=200 m，在RtAMN中，MN=AMsinMAN=200sin 60=300（m）故选：A8不等式组表示的平面区域的面积为（）A2B4C6D8【考点】简单线性规划【分析】画出约束条件的可行域，求出顶点坐标，然后求解可行域的面积【解答】解：画出不等式组表示的平面区域如下：，可得A（0，2），由，解得B（2，0），由可得C（8，2）直线x+2y4=0过（2，0）可行域的面积为： =4故选：B9已知锐

12、角ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin A=，cos C=，a=1，则b=（）ABCD【考点】正弦定理【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosA，sinC的值，利用三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式可求sinB，进而利用正弦定理即可解得b的值【解答】解：因为ABC为锐角三角形，sinA=，cosC=，所以cosA=，sinC=，于是sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=+=又由=，a=1，可得b=故选：B10已知函数f（x）=（ax1）（x+b），如果不等式f（x）0的解集是（1，3），则不等式f（x）0的解集是（）A（，1）（3，+）

13、B（3，1）C（，3）（1，+）D（1，3）【考点】一元二次不等式的解法【分析】根据不等式f（x）0的解集得出x的取值范围，再由f（x）0得出x的取值范围，从而求出不等式f（x）0的解集【解答】解；由题意，不等式f（x）0的解集是（1，3），所以f（x）0的解是：x3或x1，于是由f（x）0得：x3或x1，解得x3或x1；所以不等式f（x）0的解集是（，3）（1，+）故选：C11正项数列an满足：a1=2，a2=1，且=（n2），则此数列的第2 016项为（）ABCD【考点】等比数列的性质【分析】由=（n2），可知：=，再利用等差数列的通项公式即可得出【解答】解：由=（n2），可知：=，故数列

14、为等差数列，于是=+（n1）=，所以an=，于是a2016=，故选：D二、填空题：本大题共2小题，每小题5分，共10分，把答案填在对应题号的横线上12若定义在（0，+）上的函数f（x）=2x+在x=3时取得最小值，则a=18【考点】基本不等式【分析】直接利用基本不等式，根据基本不等式的使用条件，可得结论【解答】解：由题意易知a0，所以f（x）=2x+2，当x=时取最小值，所以=3，所以a=18故答案为：1813已知a0，x，y满足约束条件若z=2x+y的最小值为1，则a=【考点】简单线性规划【分析】先根据约束条件画出可行域，设z=2x+y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=2x+y过可

15、行域内的点B时，从而得到a值即可【解答】解：先根据约束条件画出可行域，设z=2x+y，将最大值转化为y轴上的截距，当直线z=2x+y经过点B时，z最小，由得：，代入直线y=a（x3）得，a=；故答案为：三、解答题：本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤14已知向量=（sin A，cos A），=（1，），且A为锐角（1）求角A的大小；（2）求函数f（x）=（cos2xsin2x）+4cos Asin xcos x（x0，）的值域【考点】平面向量数量积的运算【分析】（1）由可得=0，即sin Acos A=0，化简求得tan A的值，可得A的值（2）利用两角和的正弦公式

16、化简 f（x）的解析式，根据0x，利用正弦函数的定义域和值域求得f（x）的值域【解答】解：（1）由可得， =0，即sin Acos A=0，从而有tan A=，又因为A为锐角，所以A=60（2）f（x）=cos 2x+2sin xcos x=2sin（2x+），因为0x，所以2x+，于是sin（2x+）1，从而f（x）2，故函数f（x）的值域为，215已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且有a2+b2c2=4SABC（1）求角C的大小；（2）若c=，求ab的取值范围【考点】余弦定理的应用【分析】（1）运用三角形的面积公式和余弦定理，可得cosC=sinC，由同角的商数关系和特殊角

17、的函数值，可得角C；（2）运用正弦定理和两角差的正弦公式，结合正弦函数的单调性，即可得到所求范围【解答】解：（1）由a2+b2c2=4SABC得：a2+b2c2=4absinC=2absinC，即=sinC，即cosC=sinC，即为tanC=1，又角C为ABC的内角，所以C=45；（2）由正弦定理得： =2，可得a=2sinA，b=2sinB，所以ab=2sinAsinB=2sin Asin（A）=2sinA（cosA+sinA）=sinAcosA=sin（A），又因为0A，所以A，可得sin（A）1，所以1sin（A），故ab的取值范围是（1，）16已知等比数列an满足a2+a3=，a1a

18、4=，公比q1（1）求数列an的通项公式与前n项和；（2）设bn=，数列bnbn+2的前n项和为Tn，若对于任意的正整数，都有Tnm2m+成立，求实数m的取值范围【考点】数列的求和【分析】（1）由等比数列的性质，a2a3=a1a4=，a2+a3=，根据公比q1，数列an单调递减，分别求得a1和q，求得等比数列的通项公式；（2）由（1）可知求得数列bnbn+2的通项公式，利用“裂项法“即可求得数列bnbn+2的前n项和为Tn的最大值，将Tnm2m+转化成m2m+，即可求得m的取值范围【解答】解：（1）由题设知，a2a3=a1a4=，a2+a3=，q1，解得：a2=1，a3=，q=，a1=3，故a

19、n=3（）n1=32n，数列an前n项和Sn=（2）bn=，bnbn+2=（），Tn=b1b3+b2b4+b3b5+bnbn+2，= （1）+（）+（）+（）+（），=（1+）故要使Tnm2m+恒成立，只需m2m+，解得m0或m1（选考部分：50分）一、选择题：本大题共1小题，每小题5分，共5分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的17若数列an是等差数列，首项a10，a2015+a20160，a2015a20160，则使前n项和Sn取得最大值的自然数n是（）A1 007B1 008C2 015D2 016【考点】等差数列的性质【分析】等差数列an中，a10，a2015+a2

20、0160，a2015a20160，可得等差数列an是单调递减数列，d0，因此a20150，a20160，即可得出【解答】解：等差数列an中，a10，a2015+a20160，a2015a20160，等差数列an是单调递减数列，d0，因此a20150，a20160，使前n项和Sn取得最大值的自然数n是2015故选：C二、填空题：本大题共2小题，每小题5分，共10分，把答案填在对应题号的横线上18已知则sin（+）的值为【考点】两角和与差的正弦函数【分析】先求出sin（）和cos（）的值，利用sin（+）=sin（+）=sin（）（），求出sin（+）的值【解答】解：，0，sin（）=，cos（）

21、=，sin（）（）=sin（） cos（）cos（） sin（）=（）（）（）（）=sin（+）=sin（+），sin（+）=，故答案为19设O（0，0），A（1，0），B（0，1），点P是线段AB上的一点，若，则实数的取值范围是11【考点】平面向量数量积的运算【分析】根据向量的坐标运算法则，算出P的坐标为（1，），进而得到各向量的坐标，得=21、=222，结合已知条件建立关于的不等式，解之即可得到实数的取值范围【解答】解：A（1，0），B（0，1），向量=（1，1）P是线段AB上的一点，满足设P（x，y），得=（x1，y）=（1，1）可得，解得P的坐标为（1，）=（1）（1）+1=21=（，

22、）（1，1）=（1）+（）（1）=222，21222，解之得11+点P是线段AB上的点，得0，1的取值范围是11故答案为：11三、解答题：本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤20已知函数f（x）=Asin（x+）（A0，0，|）的部分图象如图所示（1）求函数的解析式；（2）设x，且方程f（x）=m有两个不同的实数根，求实数m的取值范围和这两个根的和【考点】由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得函数的解析式（2）在同一坐标系中画出y=2sin（2x+）和直线y=m（

23、mR）的图象，结合正弦函数的图象的特征，数形结合求得实数m的取值范围和这两个根的和【解答】解：（1）由函数f（x）=Asin（x+）（A0，0，|）的部分图象，可得A=2，根据=，求得=2再根据五点法作图可得2+=，=，f（x）=2sin（2x+）（2）如图所示，在同一坐标系中画出y=2sin（2x+）和直线y=m（mR）的图象，由图可知，当2m0或m2时，直线y=m与曲线有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根m的取值范围为：2m0或m2；当2m0时，两根和为； 当m2时，两根和为21某生产旅游纪念品的工厂，拟在2010年度将进行系列促销活动经市场调查和测算，该纪念品的年销售量x万件与年促销费用t万元之间满足3x与t+1成反比例若不搞促销活动，纪念品的年销售量只有1万件已知工厂2010年生产纪念品的固定投资为3万元，每生产1万件纪念品另外需要投资32万元当工厂把每件纪念品的售价定为：“年平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占促销费一半”之和时，