理论力学6—点的运动学.ppt

1、运动学,运动学是研究物体运动的几何性质的科学。也就是从几何学方面来研究物体的机械运动。运动学的内容包括：运动方程、轨迹、速度和加速度。 学习运动学的意义：首先是为学习动力学打下必要的基础。其次运动学本身也有独立的应用。 由于物体运动的描述是相对的。将观察者所在的物体称为参考体，固结于参考体上的坐标系称为参考坐标系。只有明确参考系来分析物体的运动才有意义。 时间概念要明确：瞬时和时间间隔。 运动学所研究的力学模型为：点和刚体。,6 点的运动学,本章将介绍研究点的运动的三种方法，即：矢径法、直角坐标法和自然法。 点运动时，在空间所占的位置随时间连续变化而形成的曲线，称为点的运动轨迹。点的运动可按轨

2、迹形状分为直线运动和曲线运动。当轨迹为圆时称为圆周运动。 表示点的位置随时间变化的规律的数学方程称为点的运动方程。 本章研究的内容为点的运动方程、轨迹、速度和加速度，以及它们之间的关系。,1. 运动方程,选取参考系上某确定点O为坐标原点，自点O向动点M作矢量r，称为点M相对原点O的位置矢量，简称矢径。当动点 M运动时，矢径r随时间而变化，并且是时间的单值连续函数，即,6.1 矢量法,2. 速度,动点的速度矢等于它的矢径对时间的一阶导数。,6.1 矢量法,动点的速度矢沿着矢径的矢端曲线的切线，即沿动点运动轨迹的切线，并与此点运动的方向一致。,A,M,B,O,r(t),r(t+t),M,v,v*,

3、r,3. 加速度,点的速度矢对时间的变化率称为加速度。点的加速度也是矢量，它表征了速度大小和方向的变化。点的加速度等于它的速度对时间的一阶导数，也等于它的矢径对时间的二阶导数。,6.1 矢量法,有时为了方便，在字母上方加“.”表示该量对时间的一阶导数，加“.”表示该量对时间的二阶导数。,如在空间任意取一点O，把动点M在连续不同瞬时的速度矢v0,v1,v2，等都平行地移到点O，连接各矢量的端点M1，M2，M3，就构成了矢量v端点的连续曲线，称为速度矢端曲线，如图所示。动点的加速度矢a的方向与速度矢端曲线在相应点M的切线相平行。,6.1 矢量法,加速度的方向确定,这组方程叫做用直角坐标表示的点的运

4、动方程。,如以矢径r的起点为直角坐标系的原点，则矢径r可表示为：,6.2 直角坐标法,M,r,O,k,i,j,y,y,x,x,z,z,速度在各坐标轴上的投影等于动点的各对应坐标对时间的一阶导数。,速度,6.2 直角坐标法,若已知速度的投影，则速度的大小为,其方向余弦为,加速度在各坐标轴上的投影等于动点的各对应坐标对时间的二阶导数。,加速度,6.2 直角坐标法,若已知加速度的投影，则加速度的大小为,其方向余弦为,解：取M点的直线轨迹为 x 轴，曲柄的转动中心O为坐标圆点。M点的坐标为：,例1 下图为偏心驱动油泵中的曲柄导杆机构。设曲柄 OA 长为r ，自水平位置开始以匀角速度w 转动，即j =w

5、t，滑槽K-K与导杆B-B制成一体。曲柄端点A通过滑块在滑槽K-K中滑动，因而曲柄带动导杆B-B作上下直线运动。试求导杆的运动方程，速度和加速度。,B,A,B,O,K,M,K,w,x,j,x,将j =wt带入上式，得M点的运动方程：,将上式对时间求一阶导数和二阶导数得：,例2 曲柄连杆机构是由曲柄、连杆及滑块组成的机构。当曲柄OA绕O轴转动时，由于连杆AB带动，滑块沿直线作往复运动。设曲柄OA长为r，以角速度w 绕O轴转动，即jwt，连杆AB长为l。试求滑块B的运动方程、速度和加速度。,解：取滑块B的直线轨迹为x轴，曲柄的转动中心O为坐标原点。在经过 t 秒后，此时B点的坐标为：,整理可得B的

6、运动方程：,由此可得滑块B的速度和加速度：,将右边最后一项展开：,例3 一人高 h2 ，在路灯下以匀速v1行走，灯距地面的高为h1 ，求人影的顶端M沿地面移动的速度。,解: 取坐标系x如图所示，由几何关系得:,上式对t求一阶导数，得 M 点的速度为:,半径是 r 的车轮沿固定水平轨道滚动而不滑动（如图）。轮缘上一点M，在初瞬时与轨道上的O点叠合；在瞬时t半径MC与轨道的垂线HC组成交角=t，其中是常量。试求在车轮滚一转的过程中该M点的运动方程，瞬时速度和加速度。,例 题4,在M点的运动平面内取直角坐标系Oxy如图所示：轴 x 沿直线轨道，并指向轮子滚动的前进方向，轴 y 铅直向上。考虑车轮在任

7、意瞬时位置，因车轮滚动而不滑动，故有OH=弧MH（假定初瞬时M点与O点重合） 。于是，在图示瞬时动点M 的坐标为,解：,1.求M点的运动方程。,例 题 3,这方程说明M点的轨迹是滚轮线（即摆线）。车轮滚一转的时间 T=2/ ，在此过程中，M点的轨迹只占滚轮线的一环OEP，其两端O和P是尖点。,以 代入，得M点的运动方程,例 题 3,对,求坐标 x，y 对时间的一阶导数，得,故得M点速度 v 的大小和方向，有,M点的速度矢恒通过轮子的最高点D。,2.求M点的瞬时速度。,例 题 3,求vx，vy对时间的一阶导数，得,故得M点加速度 a 的大小和方向，有,x=0, y=0;,当t = 0时，有,这表

8、示，当M点接触轨道时，它的速度等于零，而加速度垂直于轨道。这是轮子沿固定轨道滚而不滑的特征。,3.求M点的瞬时加速度。,例 题 3,这就是自然坐标形式的点的运动方程。,6.3 自然法,1 弧坐标,设动点M的轨迹为如图所示的曲线，则动点M在轨迹上的位置可以这样确定：在轨迹上任选一点O为参考点，并设点O的某一侧为正向，动点M在轨迹上的位置由弧长s确定，视弧长s为代数量，称它为动点M在轨迹上的弧坐标。当动点M运动时，s随着时间变化，它是时间的单值连续函数，即,2 自然轴系,即以点M为原点，以切线、主法线和副法线为坐标轴组成的正交坐标系称为曲线在点M的自然坐标系，这三个轴称为自然轴系。且三个单位矢量满

9、足右手法则，即,6.3 自然法,在点的运动轨迹曲线上取极为接近的两点M和M1，这两点切线的单位矢量分别为t和t1，其指向与弧坐标正向一致。将t1平移到点M，则t 和t1决定一平面。令M无限趋近点M1，则此平面趋近于某一极限位置，此极限平面称为曲线在点M的密切,面。过点M并与切线垂直的平面称为法平面，法平面与密切面的交线称主法线。令主法线的单位矢量为n，指向曲线内凹一侧。过点M且垂直于切线及主法线的直线称副法线，其单位矢量为b，指向与t 、 n构成右手系。,曲线切线的转角对弧长一阶导数的绝对值称为曲线在M点的曲率。曲率的倒数称为M点的曲率半径。,曲率,6.3 自然法,6.3 自然法,两个相关的计

10、算结果(当t0),O,M,M,t,t,t,j,s,t,3 点的速度,6.3 自然法,用矢量表示为：,在曲线运动中，点的速度是矢量。它的大小等于弧坐标对于时间的一阶导数，它的方向沿轨迹的切线，并指向运动的一方。,r,r,r,M,M,s,t,v,4 点的切向加速度和法向加速度,6.3 自然法,由于,所以,4 点的切向加速度和法向加速度,6.3 自然法,上式表明加速度矢量a是由两个分矢量组成：分矢量at的方向永远沿轨迹的切线方向，称为切向加速度，它表明速度代数值随时间的变化率；分矢量an的方向永远沿主法线的方向，称为法向加速度，它表明速度方向随时间的变化率。,全加速度为at和an的矢量和,全加速度的

11、大小和方向由下列二式决定：,大小：,方向：,6.3 自然法,了解上述关系后，容易得到曲线运动的运动规律。例如所谓曲线匀速运动，即动点速度的代数值保持不变。,如果动点的切向加速度的代数值保持不变，则动点的运动称为匀变速曲线运动。现在来求它的运动规律。,6.3 自然法,例4 下图为料斗提升机示意图。料斗通过钢丝绳由绕水平轴O转动的卷筒提升。已知：卷筒的半径为R16cm，料斗沿铅垂提升的运动方程为y2t2，y以cm记，t 以s计。求卷筒边缘一点M在t4s时的速度和加速度。,O,M,R,M,A0,A,M0,y,解：,此时M点的切向加速度为：,v4416 cm/s,当t=4 s时速度为：,M点的法向加速

12、度为：,M点的全加速度为：,例5 列车沿曲线轨道行驶，初速度v1=18km/h，速度均匀增加，行驶s=1km后，速度增加到v2=54km/h，若铁轨曲线形状如图1-17所示。在M1、M2点的曲率半径分别为1=600m, 2=800m 。求列车从M1到M2所需的时间和经过M1和M2处的加速度。,解：,求列车经过M1和M2时的法向加速度为：,列车经过M1时的全加速度为：,列车经过M2时的加速度为：,例6 杆AB绕A点转动时，带动套在半径为R的固定大圆环上的小护环M 运动，已知wt (w为常数)。求小环M 的运动方程、速度和加速度。,解：建立如图所示的直角坐标系。则,即为小环M 的运动方程。,故M点的速度大