函数的表示法 第1 2 3 课时

1、1.2.2 函数的表示法整体设计教学分析课本从引进函数概念开始就比较注重函数的不同表示方法:解析法,图象法,列表法.函数的不同表示方法能丰富对函数的认识,帮助理解抽象的函数概念.特别是在信息技术环境下,可以使函数在形与数两方面的结合得到更充分的表现,使学生通过函数的学习更好地体会数形结合这种重要的数学思想方法.因此,在研究函数时,要充分发挥图象的直观作用.在研究图象时,又要注意代数刻画以求思考和表述的精确性.课本将映射作为函数的一种推广,这与传统的处理方式有了逻辑顺序上的变化.这样处理,主要是想较好地衔接初中的学习,让学生将更多的精力集中理解函数的概念,同时,也体现了从特殊到一般的思维过程.三

2、维目标1.了解函数的一些基本表示法(列表法、图象法、解析法),会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数,树立应用数形结合的思想.2.通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用,提高应用函数解决实际问题的能力,增加学习数学的兴趣.3.会用描点法画一些简单函数的图象,培养学生应用函数的图象解决问题的能力.4.了解映射的概念及表示方法,会利用映射的概念来判断“对应关系”是否是映射,感受对应关系在刻画函数和映射概念中的作用,提高对数学高度抽象性和广泛应用性的进一步认识.重点难点教学重点:函数的三种表示方法,分段函数和映射的概念.教学难点:分段函数的表示及其图象,映射概念的理解;运用集合两种常用表示

3、列举法与描述法.课时安排3课时教学过程第1课时导入新课思路1.语言是沟通人与人之间的联系的,同样的祝福又有着不同的表示方法.例如,简体中文中的“生日快乐！”用繁体中文为:生日快樂！英文为:Happy Birthday！法文是Bon Anniversaire！德文是Alles Gute Zum Geburtstag!西班牙中称iFeliz CumpleaRos!印度尼西亚文是Selamat Ulang Tahun！荷兰文的生日快乐为Van Harte Gefeliciteerd met jeverj aardag！在俄语中则是 !那么对于函数,又有什么不同的表示方法呢？引出课题:函数的表示法.思

4、路2.我们前面已经学习了函数的定义,函数的定义域的求法,函数值的求法,两个函数是否相同的判定方法,那么函数的表示方法常用的有哪些呢？这节课我们就来研究这个问题(板书课题).推进新课新知探究提出问题初中学过的三种表示法:解析法、图象法和列表法各是怎样表示函数的？讨论结果：(1)解析法:用数学表达式表示两个变量之间的函数关系,这种表示方法叫做解析法,这个数学表达式叫做函数的解析式.(2)图象法:以自变量x的取值为横坐标,对应的函数值y为纵坐标,在平面直角坐标系中描出各个点,这些点构成了函数的图象,这种用图象表示两个变量之间函数关系的方法叫做图象法.(3)列表法:列一个两行多列的表格,第一行是自变量

5、的取值,第二行是对应的函数值,这种用表格来表示两个变量之间的函数关系的方法叫做列表法.应用示例思路11.某种笔记本的单价是5元,买x(x1,2,3,4,5)个笔记本需要y元,试用三种表示法表示函数y=f(x).活动：学生思考函数的表示法的规定.注意本例的设问,此处“y=f(x)”有三种含义,它可以是解析表达式,可以是图象,也可以是对应值表.本题的定义域是有限集,且仅有5个元素.解：这个函数的定义域是数集1,2,3,4,5,用解析法可将函数y=f(x)表示为y=5x,x1,2,3,4,5.用列表法可将函数y=f(x)表示为笔记本数x12345钱数y510152025用图象法可将函数y=f(x)表

6、示为图1-2-2-1.图1-2-2-1点评：本题主要考查函数的三种表示法.解析法的特点是:简明、全面地概括了变量间的关系;可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值,便于用解析式来研究函数的性质,还有利于我们求函数的值域;图象法的特点是:直观形象地表示自变量的变化,相应的函数值变化的趋势,有利于我们通过图象来研究函数的某些性质,图象法在生产和生活中有许多应用,如企业生产图,股市走势图等;列表法的特点是:不需要计算就可以直接看出与自变量的值对应的函数值,列表法在实际生产和生活中也有广泛的应用,如银行利率表、列车时刻表等等.但是并不是所有的函数都能用解析法表示,只有函数值随自变量的变化发生

7、有规律的变化时,这样的函数才可能有解析式,否则写不出解析式,也就不能用解析法表示.例如:张丹的年龄n(nN*)每取一个值,那么他的身高y(单位:cm)总有唯一确定的值与之对应,因此身高y是年龄n的函数y=f(n),但是这个函数的解析式不存在,函数y=f(n)不能用解析法来表示.注意：函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等等;解析法:必须注明函数的定义域,否则使函数解析式有意义的自变量的取值范围是函数的定义域;图象法:根据实际情境来决定是否连线;列表法:选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特征.变式训练1.已知函数f(x)在-1,2上的图象如图1-2-2-2所示,求f(x

8、)的解析式.图1-2-2-2解：观察图象,知此函数是分段函数,并且在每段上均是一次函数,利用待定系数法求出解析式为:当-1x0时,f(x)=x+1;当0x2时,f(x)=,则有f(x)=2.2007山东青岛第一次调研,理13已知2f(x)+f(-x)=3x+2,则f(x)=_.分析:由题意得把f(x)和f(-x)看成未知数,解方程即得.答案：3x+2.下表是某校高一(1)班三位同学在高一学年度几次数学测试的成绩及班级平均分表:第一次第二次第三次第四次第五次第六次王伟988791928895张城907688758680赵磊686573727582班平均分88.278.385.480.375.78

9、2.6请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析.活动：学生思考做学情分析,具体要分析什么？怎么分析？借助什么工具？本题利用表格给出了四个函数,它们分别表示王伟、张城、赵磊的考试成绩及各次考试的班级平均分.由于表格区分三位同学的成绩高低不直观,故采用图象法来表示.做学情分析,具体要分析学习成绩是否稳定,成绩变化趋势.解：把“成绩”y看成“测试序号”x的函数,用图象法表示函数y=f(x),如图1-2-2-3所示.图1-2-2-3由图1-2-2-3可看到:王伟同学的数学成绩始终高于班级平均分,学习情况比较稳定而且成绩优秀;张城同学的数学成绩不稳定,总是在班级平均分水平上下波动,而且波动幅

10、度较大;赵磊同学的数学学习成绩呈上升趋势,表明他的数学成绩稳步提高.点评：本题主要考查根据实际情境需要选择恰当的函数表示法的能力,以及应用函数解决实际问题的能力.通过本题可见,图象法比列表法和解析法更能直观反映函数值的变化趋势.注意：本例为了研究学生的学习情况,将离散的点用虚线连接,这样便于研究成绩的变化特点.变式训练1.函数y=x2-4x+6,x1,5)的值域是_.分析:画出函数的图象,图象上所有点的纵坐标的取值范围就是函数的值域.答案：2,11)2.将长为a的铁丝折成矩形,求矩形面积y关于一边长x的函数关系式,并求定义域和值域,作出函数的图象.分析:解此题的关键是先把实际问题转化成数学问题

11、,即把面积y表示为x的函数,用数学的方法解决,然后再回到实际中去.解：设矩形一边长为x,则另一边长为(a-2x),则面积y=(a-2x)x=-x2+ax.又得0x,即水深为一半时,实际注水量大于水瓶总水量的一半.A中V,C、D中V=,故排除A、C、D.答案：B思路21.2007宁夏银川一模,理14已知f()=,则f(x)=_.活动：学生思考函数的解析式表达的含义.设=t,利用换元法,转化为求f(t).利用整体思想把看成一个整体,即可得函数的解析式.要注意函数f(t)与f(x)是同一个函数.分析:可设=t,则有x=,所以f(t)=,所以f(x)=.答案：变式训练课本P26练习1.点评：本题主要考

12、查函数的解析式.已知fg(x)=(x),求f(x)的解析式时,通常用换元法,其步骤是:设g(x)=t;把t看成常数,解关于x的方程g(x)=t得x=h(t);将x=h(t)代入(x),得函数f(t)的解析式;再用x替换f(t)的解析式中的t得函数f(x)的解析式.其实求函数的解析式方法很多,例如方程法:对于已知等式中出现两个不同变量的函数关系式,依据这两个变量的关系,重新建立关于这两个变量的不同等式,利用整体思想,把f(x)和另一个函数看成未知数,解方程组得函数f(x)的解析式.类似于解二元一次方程组,故称为方程法.待定系数法:已知函数的模型求其解析式时,常用待定系数法.2.已知函数f(x)=

13、.(1)画出函数f(x)的图象;(2)观察图象写出函数的定义域和值域.活动：学生思考函数图象的画法.利用变换法画函数f(x)的图象,利用图象法写出函数的定义域和值域.形如函数y=(c0,a2+b20)的图象均可由反比例函数y=的图象经过平移得到,因此函数y=(c0,a2+b20)的图象形状是双曲线.解：(1)y=.将y=的图象向左平移两个单位得y=的图象,再向上平移三个单位得y=+3的图象.图象如图1-2-2-7所示.图1-2-2-7(2)观察函数的图象图1-2-2-7,可知图象上所有点的横坐标的取值范围是(-,-2)(-2,+),图象上所有点的纵坐标的取值范围是(-,3)(3,+).则函数的

14、定义域是(-,-2)(-2,+),值域是(-,3)(3,+).点评：本题主要考查函数的定义域、值域和图象.画不熟悉的函数的图象,可以变形成由基本函数,利用变换法画出图象,但要注意变形过程是否等价,注意x,y的变化范围.因此必须熟记基本初等函数的图象,如:正、反比例函数,一次、二次函数的图象,在变换函数的解析式中运用了转化和分类讨论的思想.求函数值域的方法:图象法,借助于函数值域的几何意义,利用函数的图象求值域;观察法,对于解析式比较简单的函数,利用常见的结论如x20,|x|0,x0等观察出函数的值域;换元法,利用换元法转化为求常见函数如二次函数的值域等.注意：讨论函数的值域要先考虑函数的定义域

15、,本例中(1)如果忽视函数的定义域,那么会错误地得函数值域为-1,+).避免此类错误的方法是研究函数时要遵守定义域优先的原则.变式训练求下列函数的值域:(1)y=x2-2x(-1x2);(2)y=x4+1.分析:本题主要考查函数的值域及其求法.(1)借助于函数值域的几何意义,利用函数的图象求值域;(2)观察得x40,得函数的值域,也可以利用换元法转化为求二次函数的值域.(1)解：(图象法)在平面直角坐标系中画出二次函数y=x2-2x(-1x2)的图象,如图1-2-2-8所示:图1-2-2-8函数y=x2-2x(-1x2)的图象上所有点的纵坐标的取值范围就是函数的值域,观察图象知函数的值域是-1

16、,3.(2)解法一：(观察法)函数的定义域是R,则x40,有x4+11,即函数y=x4+1的值域是1,+).解法二：(换元法)函数的定义域是R,设x2=t,则t0,则有y=t2+1.利用图象可求得当t0时,二次函数y=t2+1的值域是1,+),即函数y=x4+1的值域是1,+).3.车管站在某个星期日保管的自行车和电动车共有3 500辆次,其中电动车保管费是每辆一次0.5元,自行车保管费是每次一辆0.3元.(1)若设自行车停放的辆次数为x,总的保管费收入为y元,试写出y关于x的函数关系式;(2)若估计前来停放的3 500辆次自行车中,电动车的辆次不小于25%,但不大于40%,试求该保管站这个星

17、期日收入保管费总数的范围.活动：让学生审清题意读懂题.求解析式时不要忘记函数的定义域,要考虑自变量的取值必须使解析式有意义.然后再根据解析式列不等式求解.总的保管费=自行车保管费+电动车保管费.解：(1)由题意得y=0.3x+0.5(3500-x)=-0.2x+1750,xN*且0x3500.(2)若电动车的辆次不小于25%,但不大于40%,则3500(1-40%)x3 500(1-25%),即2100x2 625,画出函数y=-0.2x+1750(2 100x2 625)的图象,可得函数y=-0.2x+1750(2100x2625)的值域是1225,1330,即收入在1225元至1330元之

18、间.点评：本题主要考查函数的解析式和值域,以及应用函数知识解决实际问题的能力.解函数应用题的步骤是审清题意读懂题;恰当设未知数;列出函数解析式,并指明定义域;转化为函数问题,并解决函数问题;将数学问题的答案还原为实际答案.变式训练2007山东实验中学级第一次诊断性测试,文13水池有2个进水口,1个出水口,每个水口进出水的速度如图1-2-2-9甲、乙所示.某天0点到6点,该水池的蓄水量如图1-2-2-9丙所示(至少打开一个水口).图1-2-2-9给出以下三个论断:0点到3点只进水不出水;3点到4点不进水只出水;4点到6点不进水不出水;其中一定正确的论断是( )A. B. C. D.分析:由图12

19、29甲可看出,如果进水口与出水口同时打开,每个进水口的速度为出水口速度的一半,即v进水=v出水;由图丙可看出在0点到3点之间蓄水量以速度2匀速增加,所以在此时间段内一定是两个进水口均打开,出水口关闭,故正确.由图丙可看出在3点到4点之间蓄水量以速度1匀速减少,所以在此时间段内一定是一个进水口打开,出水口打开,故不正确.由图丙可看出在4点到6点之间蓄水量不变,所以在此时间段内一定是两个进水口打开,出水口打开,或者两个进水口关闭,出水口关闭,故不正确.综上所述论断仅有正确.答案：A知能训练课本P23练习2、3.【补充练习】1.等腰三角形的周长是20,底边长y是一腰长x的函数,则( )A.y=10-

20、x(0x10) B.y=10-x(0x10)C.y=20-2x(5x10) D.y=20-2x(5x0.x20-2x,得x5,所以函数的定义域为x|5x10.所以y=20-2x(5x10).答案：D2.2007北京四中第一次统测,文4定义在R上的函数y=f(x)的值域为a,b,则y=f(x+1)的值域为( )A.a,b B.a+1,b+1 C.a-1,b-1 D.无法确定分析:将函数y=f(x)的图象向左平移一个单位得函数y=f(x+1)的图象,由于定义域均是R,则这两个函数图象上点的纵坐标的取值范围相同,所以y=f(x+1)的值域也是a,b.答案：A3.2006陕西高考,文2函数f(x)=(

21、xR)的值域是( )A.(0,1) B.(0,1 C.0,1) D.0,1分析:(观察法)定义域是R,由于x20,则1+x21,从而00)个单位得函数y=f(x+a)的图象;(2)将函数y=f(x)的图象向右平移a(a0)个单位得函数y=f(x-a)的图象;(3)将函数y=f(x)的图象向上平移b(b0)个单位得函数y=f(x)+b的图象;(4)将函数y=f(x)的图象向下平移b(b0)个单位得函数y=f(x)-b的图象.简记为“左加(+)右减(-),上加(+)下减(-)”.2.对称变换:(1)函数y=f(x)与函数y=f(-x)的图象关于直线x=0即y轴对称;(2)函数y=f(x)与函数y=

22、-f(x)的图象关于直线x=0即x轴对称;(3)函数y=f(x)与函数y=-f(-x)的图象关于原点对称.3.翻折变换:(1)函数y=|f(x)|的图象可以将函数y=f(x)的图象位于x轴下方部分沿x轴翻折到x轴上方,去掉原x轴下方部分,并保留y=f(x)的x轴上方部分即可得到.(2)函数y=f(|x|)的图象可以将函数y=f(x)的图象y轴右边部分翻折到y轴左边替代原y轴左边部分并保留y=f(x)在y轴右边部分图象即可得到.函数的图象是对函数关系的一种直观、形象的表示,可以直观地显示出函数的变化状况及其特性,它是研究函数性质时的重要参考,也是运用数形结合思想研究和运用函数性质的基础.另一方面

23、,函数的一些特性又能指导作图,函数与图象是同一事物的两个方面,是函数的不同表现形式.函数的图象可以比喻成人的相片,观察函数的图象可以解决研究其性质,当然,也可以由函数的性质确定函数图象的特点.借助函数的图象来解决函数问题,函数的图象问题是高考的热点之一,应引起重视.课堂小结本节课学习了:函数的三种表示方法,在具体的实际问题中能够选用恰当的表示法来表示函数.作业课本P24习题1.2A组7、8、9.设计感想本节教学设计容量较大,尽量借助于信息技术来完成.本节的设计重点是函数的三种表示方法,提出了表示法的应用,特别是用图象法求函数的值域,并对求函数值域的方法进行了总结以满足高考的要求.第2课时 分段

24、函数导入新课思路1.当x1时,f(x)=x+1;当x1时,f(x)=-x,请写出函数f(x)的解析式.这个函数的解析式有什么特点？教师指出本节课题.思路2.化简函数y=|x|的解析式,说说此函数解析式的特点,教师指出本节课题.推进新课新知探究提出问题函数h(x)=与f(x)=x-1,g(x)=x2在解析式上有什么区别?请举出几个分段函数的例子.活动：学生讨论交流函数解析式的区别.所谓“分段函数”,习惯上指在定义域的不同部分,有不同对应法则的函数.并让学生结合体会来实际举例.讨论结果：函数h(x)是分段函数,在定义域的不同部分,其解析式不同.说明:分段函数是一个函数,不要把它误认为是几个函数;分

25、段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集;生活中有很多可以用分段函数描述的实际问题,如出租车的计费、个人所得税纳税额等等.例如:y=等.应用示例思路11.画出函数y=|x|的图象.活动：学生思考函数图象的画法:化简函数的解析式为基本初等函数;利用变换法画出图象,根据绝对值的概念来化简解析式.解法一：由绝对值的概念,我们有y=所以,函数y=|x|的图象如图1-2-2-10所示.图1-2-2-10解法二：画函数y=x的图象,将其位于x轴下方的部分对称到x轴上方,与函数y=x的图象位于x轴上方的部分合起来得函数y=|x|的图象如图1-2-2-10所示.变式训练1.已知函数y=(1)求f

26、ff(5)的值;(2)画出函数的图象.分析:本题主要考查分段函数及其图象.f(x)是分段函数,要求fff(5),需要确定ff(5)的取值范围,为此又需确定f(5)的取值范围,然后根据所在定义域代入相应的解析式,逐步求解.画出函数在各段上的图象,再合起来就是分段函数的图象. 解：(1)54,f(5)=-5+2=-3.-30,ff(5)=f(-3)=-3+4=1.010的图象.步骤:画整个二次函数y=x2的图象,再取其在区间(-,0上的图象,其他部分删去不要;画一次函数y=-x的图象,再取其在区间(0,+)上的图象,其他部分删去不要;这两部分合起来就是所要画的分段函数的图象.如图1-2-2-12所

27、示.图1-2-2-12函数y=f(x)的图象位于x轴上方的部分和y=|f(x)|的图象相同,函数y=f(x)的图象位于x轴下方的部分对称到上方就是函数y=|f(x)|的图象的一部分.利用函数y=f(x)的图象和函数y=|f(x)|的图象的这种关系,由函数y=f(x)的图象画出函数y=|f(x)|的图象.2.某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定:(1)乘坐汽车5千米以内(含5千米),票价2元;(2)5千米以上,每增加5千米,票价增加1元(不足5千米按5千米计算),如果某条线路的总里程为20千米,请根据题意,写出票价与里程之间的函数解析式,并画出函数的图象.活动：学生讨论交流题目的条件,弄

28、清题意.本例是一个实际问题,有具体的实际意义,根据实际情况公共汽车到站才能停车,所以行车里程只能取整数值.由于里程在不同的范围内,票价有不同的计算方法,故此函数是分段函数.解：设里程为x千米时,票价为y元,根据题意得x(0,20.由空调汽车票价制定的规定,可得到以下函数解析式:图1-2-2-13y=根据这个函数解析式,可画出函数图象,如图1-2-2-13所示.点评：本题主要考查分段函数的实际应用,以及应用函数解决问题的能力.生活中有很多可以用分段函数描述的实际问题,如出租车的计费、个人所得税纳税额等等.在列出其解析式时,要充分考虑实际问题的规定,根据规定来求得解析式.注意：本例具有实际背景,所

29、以解题时应考虑其实际意义;分段函数的解析式不能写成几个不同的方程,而应写成函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来,并分别注明各部分的自变量的取值情况.变式训练2007上海中学高三测试,理7某客运公司确定客票价格的方法是:如果行程不超过100千米,票价是每千米0.5元,如果超过100千米,超过部分按每千米0.4元定价,则客运票价y(元)与行程千米数x(千米)之间的函数关系式是_.分析:根据行程是否大于100千米来求出解析式.答案：y=思路21.已知函数f(x)=(1)求f(-1),ff(-1),fff(-1)的值;(2)画出函数的图象.活动：此函数是分段函数,应注意在不同的自变量取值范围内

30、有不同的对应关系.解：(1)f(-1)=0;ff(-1)=f(0)=1;fff(-1)=f(1)=-12+21=1.(2)函数图象如图1-2-2-14所示:图1-2-2-14变式训练2007福建厦门调研,文10若定义运算ab=则函数f(x)=x(2-x)的值域是_.分析:由题意得f(x)=画函数f(x)的图象得值域是(-,1.答案：(-,1点评：本题主要考查分段函数的解析式和图象.求分段函数的函数值时,要注意自变量在其定义域的哪一段上,依次代入分段函数的解析式.画分段函数y=(D1,D2,两两交集是空集)的图象步骤是(1)画整个函数y=f1(x)的图象,再取其在区间D1上的图象,其他部分删去不

31、要;(2)画整个函数y=f2(x)的图象,再取其在区间D2上的图象,其他部分删去不要;(3)依次画下去;(4)将各个部分合起来就是所要画的分段函数的图象.2.如图1-2-2-15所示,在梯形ABCD中,AB=10,CD=6,AD=BC=4,动点P从B点开始沿着折线BC、CD、DA前进至A,若P点运动的路程为x,PAB的面积为y.图1-2-2-15(1)写出y=f(x)的解析式,指出函数的定义域;(2)画出函数的图象并求出函数的值域.活动：学生之间相互讨论交流,教师帮助学生审题读懂题意.首先通过画草图可以发现,P点运动到不同的位置,y的求法是不同的(如图1-2-2-16的阴影部分所示).图1-2

32、-2-16可以看出上述三个阴影三角形的底是相同的,它们的面积由其高来定,所以只要由运动里程x来求出各段的高即可.三角形的面积公式为底乘高除以2,则PAB的面积的计算方式由点P所在的位置来确定.解：(1)分类讨论:当P在BC上运动时,易知B=60,则知y=10(xsin60)=x,0x4.当P点在CD上运动时,y=102=10,4x10.当P在DA上运动时,y=10(14-x)sin60=x+35,100,x=0,x0,对应法则是“求平方”;(3)A=xR|x0,B=R,对应法则是“求平方根”;(4)A=平面内的圆,B=平面内的矩形,对应法则是“作圆的内接矩形”.活动：学生回顾映射的对应,教师适

33、时点拨或提示.判断一个对应是否是映射,关键是确定是否是“一对一”或“多对一”的对应,即集合A中的任意一个元素,在集合B中都有唯一确定的元素与之对应.解：(1)是映射,因为A中的任何一个元素,在B中都能找到唯一的元素与之对应.(2)不是从集合A到集合B的映射,因为A中的元素0,在集合B中没有对应的元素.(3)不是从集合A到集合B的映射,因为任何正数的平方根都有两个值,即集合A中的任何元素,在集合B中都有两个元素与之对应.(4)不是从集合A到集合B的映射.因为一个圆有无穷多个内接矩形,即集合A中任何一个元素在集合B中有无穷多个元素与之对应.点评：本题主要考查映射的概念.给定两集合A、B及对应法则f

34、,判断是否是从集合A到集合B的映射,主要利用映射的定义.用通俗的语言讲:AB的对应有“多对一”,“一对一”,“一对多”,前两种对应是A到B的映射,而后一种不是A到B的映射.变式训练1.设集合A=a,b,c,集合B=R,以下对应关系中,一定能建立集合A到集合B的映射的是( )A.对集合A中的数开平方B.对集合A中的数取倒数C.对集合A中的数取算术平方根D.对集合A中的数立方分析:当a1,即p的取值范围是(1,+);(方法二)当p=0时,方程-x2+2x=0有解x=0,2,即在M中存在原象0和2,则p=0不合题意,排除C,D;当p=1时,方程-x2+2x=1有解x=1,即在M中存在原象1,则p=1

35、不合题意,排除B.答案：A点评：本题主要考查映射的概念和函数的值域,以及综合应用知识解决问题的能力.解决本题的关键是转化思想的应用.把映射问题转化为函数的值域问题,进一步转化为求函数的值域在实数集中的补集.其转化的依据是对映射概念的理解以及对函数与映射关系的把握程度.变式训练设f,g都是由A到A的映射,其对应法则如下表(从上到下):表1 映射f的对应法则原象1234象3421表2 映射g的对应法则原象1234象4312则与fg(1)相同的是( )A.gf(1) B.gf(2) C.gf(3) D.gf(4)分析:f(a)表示在对应法则f下a对应的象,g(a)表示在对应法则g下a对应的象.由表1

36、和表2,得fg(1)=f(4)=1,gf(1)=g(3)=1,gf(2)=g(4)=2,gf(3)=g(2)=3,gf(4)=g(1)=4,则有fg(1)=gf(1)=1,故选A.答案：A知能训练1.下列对应是从集合S到T的映射的是( )A.S=N,T=-1,1,对应法则是(-1)n,nSB.S=0,1,4,9,T=-3,-2,-1,0,1,2,3,对应法则是开平方C.S=0,1,2,5,T=,对应法则是取倒数D.S=x|xR,T=y|yR,对应法则是xy=分析:判断映射方法简单地说应考虑A中的元素是否都可以受f作用,作用的结果是否一定在B中,作用的结果是否唯一这三个方面.很明显A符合定义;B

37、是一对多的对应;C命题中的元素0没有象;D命题集合S中的元素1也无象.答案：A2.已知集合M=x|0x6,P=y|0y3,则下列对应关系中不能看作从M到P的映射的是( )A.f:xy=x B.f:xy=x C.f:xy=x D.f:xy=x分析:选项C中,集合M中元素6没有象,其他均是映射.答案：C3.已知集合A=N*,B=a|a=2n-1,nZ,映射f:AB,使A中任一元素a与B中元素2a-1对应,则与B中元素17对应的A中元素是( )A.3 B.5 C.17 D.9分析:利用对应法则转化为解方程.由题意得2a-1=17,解得a=9.答案：D4.若映射f:AB的象的集合是Y,原象的集合是X,

38、则X与A的关系是;Y与B的关系是.分析:根据映射的定义,可知集合A中的元素必有象且唯一;集合B中的元素在集合A中不一定有原象.故象的集合是B的子集.所以X=A,YB.答案：X=A YB5.已知集合M=a,b,c,d,P=x,y,z,则从M到P能建立不同映射的个数是.分析:集合M中有4个元素,集合P中有3个元素,则从M到P能建立34=81个不同的映射.答案：816.下列对应哪个是集合M到集合N的映射？哪个不是映射？为什么？(1)设M=矩形,N=实数,对应法则f为矩形到它的面积的对应.(2)设M=实数,N=正实数,对应法则f为x.(3)设M=x|0x100,N=x|0x100,对应法则f为开方再乘

39、10.解：(1)是M到N的映射,因为它是一对一的对应.(2)不是映射,因为当x=0时,集合M中没有元素与之对应.(3)是映射,因为它是一对一的对应.7.设集合A和B都是自然数集,映射f:AB把A中的元素n映射到B中的元素2n+n,则在映射f下,A中的元素_对应B中的元素3.( )A.1 B.3 C.9 D.11分析:对应法则为f:n2n+n,根据选项验证2n+n=3,可得n=1.答案：A8.已知集合A=1,2,3,k,B=4,7,a4,a2+3a,且aN,kN,xA,yB,映射f:AB,使B中元素y=3x+1和A中元素x对应,求a及k的值.分析:先从集合A和对应法则f入手,同时考虑集合中元素的

40、互异性.可以分析出此映射必为一一映射,再由310,求得a值,进而求得k值.解：B中元素y=3x+1和A中元素x对应,A中元素1的象是4;2的象是7;3的象是10,即a4=10或a2+3a=10.aN,由a2+3a=10,得a=2.k的象是a4,3k+1=16,得k=5.a=2,k=5.9.A=(x,y)|x+y3,xN,yN,B=0,1,2,f:(x,y)x+y,这个对应是否为映射？是否为函数？说明理由.解：是映射,不是函数.由题意得A=(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(2,0),显然对于A中的每一个有序实数对,它们的和是0或1或2,则在B中都有唯一一个数与它对应,

41、所以是映射,因为集合A不是数集而是点集,所以不是函数.拓展提升问题:集合M中有m个元素,集合N中有n个元素,则从M到N能建立多少个不同的映射？探究:当m=1,n=1时,从M到N能建立1=11个不同的映射;当m=2,n=1时,从M到N能建立1=12个不同的映射;当m=3,n=1时,从M到N能建立1=13个不同的映射;当m=2,n=2时,从M到N能建立4=22个不同的映射;当m=2,n=3时,从M到N能建立9=32个不同的映射.集合M中有m个元素,集合N中有n个元素,则从M到N能建立nm个不同的映射.课堂小结本节课学习了:(1)映射的对应是一种特殊的对应,元素之间的对应必须满足“一对一或多对一”.(2)映射由三个部分组成:集合A,集合B及对应法则f,称为映射的三要素.(3)映射中集合A,B中的元素可以为任意的.作业课本P23练习4.补充作业:已知下列集合A到B的对