数学建模模糊数学方法

1、模糊数学方法,模糊数学的起源,数学是关于物质世界的空间形式和数量关系的科学。 数学发展的三个阶段 1.数学是数、量、几何图形的科学； 2.数学是研究量的变化和几何图形变换的科学； 3.数学是作为关于现实世界一切普遍性的数量形式和空间形式的科学,模糊数学的起源,精确数学的局限性 。 现实中的模糊概念。 模糊数学的诞生：1965年，Zadeh,一、模糊集合论的基础知识,定义1 从论域U到闭区间0,1的任意一个映射： ，对任意uU， ， ，那么 叫做U的一个模糊子集， 叫做u的隶属函数，也记做 。 隶属函数一般根据经验确定 当映射 只取0、1时，模糊子集就成为经典子集。,例：设论域U=x1(140)

2、, x2(150), x3(160), x4(170), x5(180), x6(190)（单位cm)表示身高，那么模糊集“高个子”的隶属函数可定义为 A(u)=(x-140)/(190-140) 也可表示为(Zadeh表示法) A=0/140 + 0.2/150 + 0.4/160 + 0.6/170 + 0.8/180+1/190 或（向量表示法）A=(0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1),一、模糊集合论的基础知识,一、模糊集合论的基础知识,设以人的岁数作为论域U0,120，单位是“岁”，那么“年轻”，“年老”，都是U上的模糊子集。隶属函数可以定义如下： “年轻”（u） “年

3、老”（u）,一、模糊集合论的基础知识,定义2 若A为X上的任一模糊集，对任意0 1，记A=xxX, A(x),称A为A的截集。 A是普通集合而不是模糊集。由于模糊集的边界是模糊的, 如果要把模糊概念转化为数学语言，需要选取不同的置信水平 (0 1) 来确定其隶属关系。截集就是将模糊集转化为普通集的方法。模糊集A 是一个具有游移边界的集合，它随值的变小而增大，即当1 2时，有A1 A2。,补集（A = 1 A） 0.6/a + 0.7/b 0.4/a + 0.3/b 并集（AB = A B ） 0.7/a + 0.3/b 0.4/a + 0.6/b 0.7/a + 0.6/b 交集（AB = A

4、 B ） 0.7/a + 0.3/b 0.4/a + 0.6/b 0.4/a + 0.3/b,模糊集的运算,一、模糊集合论的基础知识,一、模糊集合论的基础知识,U = 甲, 乙, 丙, 丁 A = “矮子” 隶属函数 (0.9, 1, 0.6, 0) B = “瘦子” 隶属函数 (0.8, 0.2, 0.9, 1) 找出 C = “又矮又瘦” C = AB = ( 0.90.8 , 10.2 , 0.60.9 , 01 ) = ( 0.8, 0.2, 0.6, 0) 甲和丙比较符合条件,一、模糊集合论的基础知识,等幂律AA = A 交换律AB = BA 结合律(AB)C = A(BC) 分配律

5、A(BC) = (AB)(BC) 德摩根律(AB) = AB 双重否定律A = A 两极律UA = U 排中律A A = ,模糊集的性质,二、模糊关系与模糊矩阵,定义3：设X=x1,x2, ,xn和Y=y1,y2, ,yn是经典集合，称映射R(xi,yj)=0或1为X到Y的一个关系。 定义4 设R为XY上的一个集合，并且满足： 1) 反身性: (xi , yi)R，即集合中每个元素和它自己同属一类； 2) 对称性: 若(x, y)R，则(y, x)R，即集合中(x, y)元素同属于类R 时, 则(y, x)也同属于R； 3) 传递性: (x, y)R，(y, z)R，则有(x, z)R。 上述

6、三条性质称为等价关系，满足这三条性质的集合R为一分类关系。,二、模糊关系与模糊矩阵,定义5：设论域U,V，则称乘积空间UV上的一个模糊子集RF(UV)为从U到V的模糊关系。如果R的隶属函数为 A(UV) 0,1，（x,y) A(x,y)，则称隶属度A(x,y)为（x,y)关于模糊关系R的相关程度。 定义6： 设模糊子集RF(UV)为从U到V的模糊关系，并且满足： 1)反身性: A(xi , yi)=1， 2) 对称性: 若A(x, y)=A(y, x) ， 3) 传递性: RRR， 则称R为一模糊等价关系。 只满足1）、2）的关系称为模糊相似关系。,二、模糊关系与模糊矩阵,定义7：设R=(ri

7、j)mn,0 rij 1,称R为模糊矩阵，当rij只取0或1时，称为布尔矩阵，当R=(rij)nn的对角线上的元素都为1时，称为模糊自反矩阵。 定义8：如果模糊矩阵R=(rij)nn满足: 1)自反性：IR 2)对称性：RT=R 3)传递性： RRR 则称R为模糊等价矩阵。 只满足性质1）、2）的矩阵称为模糊相似矩阵。,二、模糊关系与模糊矩阵,定义9：设A=(aij)mn, B=(bij)mn,定义 A=B如果aij=bij AB如果aij bij AB=(aij bij) AB =(aij bij) Ac=(1- aij),二、模糊关系与模糊矩阵,定义10：设A=(aij)ms, B=(bi

8、j)sn,为模糊矩阵 AB=(cij)mn,为A与B的合成，其中cij=maxaik bkj 定义11：设A=(aij)ms, 对任意的0,1，称 A=(aij ()mn为矩阵A的截矩阵，其中,定义12：设R是nn的模糊矩阵，如果满足RR=R2R，则称R为模糊传递矩阵。包含R的最小的模糊传递矩阵称为R的传递包，记为t(R).,三、模糊数学的应用,1.模糊聚类 2.模糊识别 3.模糊决策,所谓模糊聚类方法，就是依据模糊矩阵将所研究的对象进行分类的方法，对于不同的置信水平0,1，可得到不同的分类结果，从而可以形成动态聚类图。 模糊聚类的基本步骤： 1）数据的标准化处理 2）建立模糊相似矩阵 3）聚

9、类分析,1.模糊聚类,1.模糊聚类,1）数据标准化处理：,平移标准差变换法,平移极差变换法,2）建立模糊相似矩阵： 设论域=x1,x2, ,xn，xi=xi1,xi2, ,xin，如果xi与xj之间的相似程度为rij=(i, j)，则称之为相似系数。R=(rij)nn称为相似系数矩阵。 确定相似系数的方法有多种，常用的有数量积法、夹角余弦法、相关系数法、最大最小值法、距离法、专家评分法等。,1.模糊聚类,1.模糊聚类,数量积法,夹角余弦法,相关系数法,最大最小值法,1.模糊聚类,海明距离法,欧氏距离法,切比雪夫距离法,3) 聚类分析 传递闭包法：用上述方法建立起来的相似关系R，一般只满足反射性

10、和对称性，不满足传递性，因而还不是模糊等价关系。为此，需要将R改造成等价矩阵R*后得到聚类图，在适当的阈值上进行截取，便可得到所需要的分类。将R改造成R*，可用求传递闭包的方法。,1.模糊聚类,2.模糊模式识别,将事物的整体划分为若干类型而得到一组标准模式，对于一个确定的对象，识别它属于哪一类的问题称为模式识别。如果整体被划分的类型与被识别的对象之中至少有一个使用模糊集表示的模式识别问题，则称为模糊模式识别。,2.模糊模式识别之一：最大隶属原则,定义：设论域=x1,x2, ,xn上的m个模糊子集A1,A2, ,Am，其隶属度函数为Ai(x),而模糊向量集合族A=(A1,A2, ,Am)对于普通

11、向量x(0)=(x1(0), x2(0), , xm(0),则称(x(0)= 为x(0)对模糊向量集合族A的隶属度。 实际中向量x(0)对模糊集合族A的隶属度也可定义为,2.模糊模式识别之一：最大隶属原则,最大隶属原则1：设论域=x1,x2, ,xn上的m个模糊子集A1,A2, ,Am，一起构成一个标准模式库，若对任一个x(0)，有k，使得Ak(x(0)=maxA1(x(0), A2(x(0), , Am(x(0)，则认为x(0)相对属于Ak。 最大隶属原则2：设论域U上有一个标准模型A，待识别对象有n个，如果有某个xk满足 A (xk)=maxA (x1), A (x2), , A (xn)

12、， 则应优先录取xk 。,2.模糊模式识别之二：择近原则,设在论域=x1,x2, ,xn上有m个模糊子集A1,A2, ,Am构成了一个标准模型库。被识别对象B也是U上的一个模糊集，它与标准模型库中哪一个模型最贴近，我们用(A,B)表示两个模糊集A,B之间的贴近程度（简称贴近度）,若有k，使得 (Ak,B)=max(Ak,B)|1i m 则称B与Ak最贴近，或者说把b归于Ak类，这就是择近原则。,2.模糊模式识别之二：择近原则,定义1：格贴近度：,其中,表示两个模糊集A,B的内积,表示两个模糊集A,B的外积,格贴近度的不足之处是一般情况下0(A,A) 1,2.模糊模式识别之二：择近原则,定义（公

13、理化定义）：若(A,B)满足 1）(A,A)=1 2）(A,B)= (B,A) 3) 若有AB C，则(A,C) (A,B) (B,C) 则称(A,B)为A与B的贴近度。,2.模糊模式识别之二：择近原则,公理化定义具有理论价值，但并没有提供一个计算贴近度的方法，不便于操作，下面介绍一些实用的具体定义。,3.模糊决策之一模糊二元对比决策,设论域X =x1, x2, , xn为n个被选方案,在n个被选方案中建立一种模糊优先关系,即先两两进行比较,再将这种比较模糊化. 然后用模糊数学方法给出总体排序,这就是模糊二元对比决策. 在xi与xj作对比时,用rij表示xi比xj的优先程度,并且要求rij满足

14、 rii = 1(便于计算)； 0rij1； 当ij 时,rij + rji = 1. 这样的rij组成的矩阵R = (rij)nn称为模糊优先矩阵, 由此矩阵确定的关系称为模糊优先关系.,基本步骤： 建立模糊优先关系. 先两两进行比较，建立模糊优先矩阵： R = (rij)nn. 排序方法： 隶属函数法 即直接对模糊优先矩阵进行适当的数学加工处理,得到X上模糊优先集A的隶属函数,再根据各元素隶属度的大小给全体对象排出一定的优劣次序.通常采用的方法是： 取小法：A(xi) =rij|1jn,i =1, 2, , n; 平均法：A(xi) =(ri1 + ri2 + + rin)/n,i =1,

15、 2, , n.,3.模糊决策之一模糊二元对比决策, 建立模糊优先关系. 先两两进行比较，建立模糊优先矩阵： R = (rij)nn. 排序方法： 隶属函数法 即直接对模糊优先矩阵进行适当的数学加工处理,得到X上模糊优先集A的隶属函数,再根据各元素隶属度的大小给全体对象排出一定的优劣次序.通常采用的方法是： 取小法：A(xi) =rij|1jn,i =1, 2, , n; 平均法：A(xi) =(ri1 + ri2 + + rin)/n,i =1, 2, , n.,3.模糊决策之一模糊二元对比决策,- 截矩阵法 即取定阈值,确定优先对象 取定阈值0,1得-截矩阵R = (rij() )nn,

16、当由1逐渐下降时,若R中首次出现第k行的元素全等于1时,则认定xk是第一优先对象(不一定唯一). 再在R中划去xk所在的行与列,得到一个新的n -1阶模糊优先矩阵,用同样的方法获取的对象作为第二优先对象；如此进行下去,可将全体对象排出一定的优劣次序. 下确界法 先求R每一行的下确界,以最大下确界所在行对应的xk是第一优先对象(不一定唯一). 再在R中划去xk所在的行与列,得到一个新的n -1阶模糊优先矩阵,再以此类推.,3.模糊决策之一模糊二元对比决策,在实际工作中,对一个事物的评价或评估,常常涉及多个因素或多个指标,这时就要求根据这多个因素对事物作出综合评价,而不能只从某一因素的情况去评价事

17、物,这就是综合评判. 模糊综合评判决策是对受多种因素影响的事物作出全面评价的一种十分有效的多因素决策方法. 经典综合评判决策 评总分法 加权评分法,3.模糊决策之二模糊综合评判决策,设U =u1, u2, , un为n种因素(或指标),V =v1, v2, , vm为m种评判(或等级). 由于各种因素所处地位不同,作用也不一样,可用权重A = (a1, a2, , an )来描述,它是因素集U 的一个模糊子集.对于每一个因素ui ,单独作出的一个评判 f (ui),可看作是U到V 的一个模糊映射 f ,由 f 可诱导出U 到V 的一个模糊关系 Rf ,由Rf可诱导出U 到V 的一个模糊线性变换

18、 TR(A)= A R = B, 它是评判集V 的一个模糊子集,即为综合评判. (U, V, R )构成模糊综合评判决策模型, U, V, R是此模型的三个要素.,3.模糊决策之二模糊综合评判决策,模糊综合评判决策的方法与步骤是： 建立因素集U =u1, u2, , un与决断集V =v1, v2, , vm. 建立模糊综合评判矩阵. 对于每一个因素ui ,先建立单因素评判： (ri1, ri2, , rim) 即rij(0rij1)表示vj对因素ui所作的评判,这样就得到单因素评判矩阵R =(rij)nm. 综合评判. 根据各因素权重A =(a1, a2, , an )综合评判: B = A

19、R = (b1, b2, , bm )是V上的一个模糊子集,根据运算的不同定义,可得到不同的模型.,3.模糊决策之二模糊综合评判决策,模型：M(,)主因素决定型,bj = (airij), 1in ( j = 1, 2, , m ). 由于综合评判的结果bj的值仅由ai与rij (i = 1, 2, , n )中的某一个确定(先取小,后取大运算),着眼点是考虑主要因素,其他因素对结果影响不大,这种运算有时出现决策结果不易分辨的情况.,3.模糊决策之二模糊综合评判决策,模型：M ( , )主因素突出型 bj = (ai rij), 1in ( j = 1, 2, , m ). M ( , )与模

20、型M (,) 较接近, 区别在于用ai rij代替了M (,) 中的airij . 在模型M ( , )中,对rij乘以小于1的权重ai表明ai是在考虑多因素时rij的修正值,与主要因素有关,忽略了次要因素.,3.模糊决策之二模糊综合评判决策,模型： M(, )主因素突出型,bj = (ai rij) ( j = 1, 2, , m ). 模型也突出了主要因素. 在实际应用中,如果主因素在综合评判中起主导作用,建议采纳, 当模型失效时可采用,.,3.模糊决策之二模糊综合评判决策,模型：M( , )加权平均模型 bj = (ai rij) ( j = 1, 2, , m ). 模型M( , )对

21、所有因素依权重大小均衡兼顾,适用于考虑各因素起作用的情况.,3.模糊决策之二模糊综合评判决策,例1. 服装评判,因素集U =u1(花色), u2(式样), u3(耐穿程度), u4(价格)； 评判集V =v1(很欢迎), v2(较欢迎), v3(不太欢迎), v4(不欢迎). 对各因素所作的评判如下： u1 ：(0.2, 0.5, 0.2, 0.1) u2 ：(0.7, 0.2, 0.1, 0 ) u3 ：( 0, 0.4, 0.5, 0.1) u4 ：(0.2, 0.3, 0.5, 0 ),对于给定各因素权重A = (0.1, 0.2, 0.3, 0.4),分别用各种模型所作的评判如下：,M

22、(,)： B = (0.2, 0.3, 0.4, 0.1) M( ,)： B = (0.14, 0.12, 0.2, 0.03) M(, )：B = (0.5, 0.9, 0.9, 0.2) M( , )： B = (0.24, 0.33, 0.39, 0.04),对于给定各因素权重A = (0.4, 0.35, 0.15, 0.1),分别用各种模型所作的评判如下：,M(,)： B = (0.35, 0.4, 0.2, 0.1) M( ,)： B = (0.245, 0.2, 0.08, 0.04) M(, )：B = (0.65, 0.85, 0.55, 0.2) M( , )： B = (

23、0.345, 0.36, 0.24, 0.055),例2. “晋升”的数学模型.,以高校老师晋升教授为例：因素集U =政治表现及工作态度,教学水平,科研水平,外语水平,评判集V=好,较好,一般,较差,差.,因素 好 较好 一般 较差 差 政治表现及工作态度 4 2 1 0 0 教学水平 6 1 0 0 0 科研水平 0 0 5 1 1 外语水平 2 2 1 1 1,给定以教学为主的权重A = (0.2, 0.5, 0.1, 0.2)，分别用M(,)、 M( , )模型所作的评判如下： M(,)： B = (0.5, 0.2, 0.14, 0.14, 0.14) 归一化后，B = (0.46,

24、0.18, 0.12, 0.12, 0.12) M( , )： B = (0.6, 0.19, 0.13, 0.04, 0.04),模糊数学方法中权重的确定方法,在模糊综合评判决策中,权重是至关重要的,它反映了各个因素在综合决策过程中所占有的地位或所起的作用,它直接影响到综合决策的结果. 凭经验给出的权重,在一定的程度上能反映实际情况,评判的结果也比较符合实际,但它往往带有主观性,是不能客观地反映实际情况,评判结果可能“失真”. 加权统计方法,频数统计方法,(1) 对每一个因素uj ,在k个专家所给的权重aij中找出最大值Mj和最小值mj ,即 Mj =maxaij|1 i k, j =1,

25、2 , n; mj =minaij|1 i k, j =1, 2 , n. (2) 选取适当的正整数p,将因素uj所对应的权重aij从小到大分成p组,组距为(Mj - mj)/p. (3) 计算落在每组内权重的频数与频率 (4) 取最大频率所在分组的组中值(或邻近的值)作为因素uj的权重. (5) 将所得的结果归一化.,4. 模糊线性规划,（）普通线性规划：线性规划问题的数学模型是将实际问题转化为一组线性不等式或等式约束下求线性目标函数的最小(大)值问题, 它都可以化为如下标准(矩阵)形式：,A = (aij )mn,c = (c1 , c2 , , cn ),x0指x中的每一个分量xj 0,

26、（）模糊线性规划 普通线性规划其约束条件和目标函数都是确定的，但在一些实际问题中，约束条件可能带有弹性，目标函数可能不是单一的，必须借助模糊集的方法来处理. 模糊线性规划是将约束条件和目标函数模糊化，引入隶属函数，从而导出一个新的线性规划问题，它的最优解称为原问题的模糊最优解.,4. 模糊线性规划,设普通线性规划的标准形式为,若约束条件带有弹性，即右端常数bi可能取 (bi di , bi + di ) 内的某一个值，这里的di0，它是决策人根据实际问题选择的伸缩指标. 这样的规划称为模糊线性规划.,把约束条件带有弹性的模糊线性规划记为,这里的ti (x) = bi, di 表示当di = 0

27、(普通约束)时, ti (x) = bi；当di0(模糊约束)时, ti (x) 取(bi - di, bi + di )内的某一个值.,下面将约束条件和目标函数模糊化.,将(2)中带有弹性的约束条件(di0)的隶属函数定义为,而将(2)中普通约束条件(di = 0)的隶属函数定义为 Ai (x) = 1, ti (x) = bi .,其图形如右图,由Ai (x)定义可知，0, 1,设普通线性规划(1)和(3)的最优值分别为 f0, f1 , 记 d0 = f 0 - f 1 , 则d00, 它为模糊线性规划(2)中目标函数的伸缩指标，d0也可由决策人确定.,定义模糊线性规划(2)中目标函数的隶属函数为,由Gi (x)定义可知，0, 1,Gi (x) t0 (x) + d0 f0,要求模糊线性规划(2)的模糊最优