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文档简介

1、3函数的单调性,学习导航 学习目标 重点难点 重点:函数单调性定义及应用 难点:证明函数的单调性求单调区间和最值.,1函数单调性的定义 一般地,对于函数yf(x)的定义域内的一个区间A上,如果对于任意两数x1,x2A,当x1x2时,都有_,就称函数yf(x)在区间A上是增加的,f(x1)f(x2),类似地,在函数yf(x)的定义域内的一个区间A上,如果对于任意两数x1,x2A,当x1x2时,都有_,就称函数yf(x)在区间A上是减少的 如果函数yf(x)在定义域的某个子集上是增加的或是减少的,那么就称函数yf(x)在这个子集上具有单调性相应的子集叫作 _,f(x1)f(x2),单调区间,如果函

2、数yf(x)在整个定义域内是增加或减少的,我们分别称这个函数为单调增函数或减函数,统称为单调函数,想一想 如果函数yf(x),对于任意x1,x2A,x1x2都有(x1x2)f(x1)f(x2)0,能说f(x)在A上是增函数吗? 提示:f(x)在A上是增函数 x1x2时f(x1)f(x2)0.f(x1)f(x2) 符合增函数的定义,做一做 1.下列命题正确的是() A定义在(a,b)上的函数f(x),如果存在x1,x2(a,b),使得x1x2时,有f(x1)f(x2), 那么f(x)在(a,b)上为增函数 B定义在(a,b)上的函数f(x),如果有无穷多对x1,x2(a,b),使得x1x2时,有

3、f(x1)f(x2),那么f(x)在(a,b)上为增函数,C如果f(x)在区间I1上为增函数,在区间I2上也为增函数,那么f(x)在I1I2上也一定为增函数 D如果f(x)在区间I上为增函数且 f(x1)f(x2)(x1,x2I),那么x1x2 解析:选D.A,B项中的x1,x2不具有任意性, C项中f(x)在I1和I2上均为增函数,但在I1I2上的单调性无法判定,2函数f(x)在R上是减函数,则有() Af(3)f(5) Df(3)f(5) 答案:C 3已知函数yf(x)的图像 如图所示,则它的单调减 区间为_,2最大值 一般地,设函数yf(x)的定义域为I,如果 存在实数M满足: (1)对

4、于任意的xI,都有f(x)M; (2)存在x0I,使得f(x0)M. 那么,我们称M是函数yf(x)的最大值 (maximum value),3最小值 一般地,设函数yf(x)的定义域为I,如果 存在实数m满足: (1)对于任意的xI,都有f(x)m; (2)存在x0I,使得f(x0)m. 那么,我们称m是函数yf(x)的最小值 (minimum value),做一做 4.函数f(x)x1在区间3,6上的最大值和最小值分别是() A6,3B5,2 C9,3 D7,4 解析:选B.函数f(x)x1在区间3,6上是增函数,则当3x6时,f(3)f(x)f(6),即2f(x)5,所以最大值和最小值分

5、别是5,2.,题型一函数单调性的判断与证明 证明函数f(x)x3在R上为增函数,【名师点睛】有的同学认为直接由x1x2得xx即可,其实这种证明方法是不正确的,因为我们没有这样的性质作依据,而且这种证明方法正是利用了函数yx3的单调性,而函数yx3的单调性我们还没有证明,不能直接使用另外,在作差变形的过程中,我们要尽量化成几个最简因式的乘积,要注意写出详细的解题步骤,这是很有必要的,变式训练,题型二已知函数单调性求参数 设函数f(x)(2a1)xb是R上的减函数求a的取值范围 【解】任取x1,x2R,且x1x2,则 f(x1)f(x2)(2a1)x1b(2a1)x2b(2a1)(x1x2),因为

6、x1x2,所以x1x20, 又函数f(x)(2a1)xb是R上的减函数,,所以f(x1)f(x2)0,即(2a1)(x1x2)0, 【思维总结】已知函数的单调性求参数取值范围的方法是:视参数为已知数,参照单调性的定义或图像求出f(x1)f(x2)的符号,结合已知条件建立不等式,然后从中分析参数的取值范围,变式训练,题型三利用单调性求函数最值,【规律小结】若函数在闭区间a,b上是减函数,则f(x)在a,b上的最大值为f(a),最小值为f(b);若函数在闭区间a,b上是增函数,则f(x)在a,b上的最大值为f(b),最小值为f(a),变式训练,题型四利用单调性比较大小或解不等式 (本题满分10分)

7、已知f(x)是定义在 (0,)上的减函数,实数a满足f(a1) f(4a1),求实数a的取值范围 【思路点拨】把a1.4a1分别看成一个整体,结合减函数的定义,“剥掉”符号“f ”转化为关于a的不等式,名师微博 这是求a的前提,满足定义域,易漏掉 【名师点评】本题实质是解不等式组,由于函数f(x)的解析式不明确,增加了本题的难度常用的技巧是借助于函数的单调性“剥掉外衣”,即去掉符号“f”,转化为解不等式组,变式训练 4设函数f(x)满足:对任意的x1,x2R,且x1x2,都有(x1x2)(f(x1)f(x2)0,试比较f(3),f()的大小 解:法一:由题意可知(3)(f(3)f()0,又30

8、,所以f(3)f()0,f(3)f(),法二:由题意可知x1,x2的大小关系与相应函数值f(x1),f(x2)的大小关系一致,则函数f(x)是定义在R上的增函数,又3,所以f(3)f(),2设函数f(x)是实数集R上的增函数,令F(x)f(x)f(2x),求证F(x)在R上是增函数 证明:任取x1,x2R,且x12x2. f(x)是R上的增函数, f(x1)f(2x2), 即f(x1)f(x2)0,f(2x2)f(2x1)0,,F(x1)F(x2)f(x1)f(2x1)f(x2)f(2x2)f(x1)f(x2)f(2x2)f(2x1)0, 即F(x1)F(x2), F(x)在R上是增函数,方法技巧 1函数单调性证明的一般步骤为: (1)任取所给区间内两个值x1、x2,且x1x2; (2)作差:f(x1)f(x2);(3)变形;(4)定号;(5)结论 在上述几步中,关键一步是变形,变形的目的是判断符号,2判断函数单调性的方法有定义法、图像法、复合函数法,两个函数和(差)的单调性的判断,增增增,减减减,增减增,减增减 3单调性定义的等价形

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