1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质ppt课件.ppt

1、1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质,1,1.定义域和值域,正弦函数,定义域：R,值域：-1，1,时，取最大值1；,时，取最小值1；,正弦函数的图象,2,1.定义域和值域,余弦函数,定义域：R,值域：-1，1,余弦函数的图象,时，取得最大值1.,时，取得最小值-1.,3,2.周期性 7,思考1：观察上图, 正弦曲线每相隔 个单位重复出现.,.,2,其理论依据是什么？,诱导公式：,4,f(x+2k)=f(x),这就是说：当自变量x的值增加到x+2k时，函数值重复出现.数学上，用周期性这个概念来定量地刻画这种“周而复始”的变化规律。 我们把函数f(x)=sinx称为周期函数，2k为这个函数的周期(

2、其中kz且k0).,思考2：设f(x)=sinx，则 可以怎样表示？,5,思考3：把函数f(x)=sinx称为周期函数.那么，一般地，如何定义周期函数呢？,【周期函数的定义】对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有 f(x+T)=f(x) 那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T就叫做这个函数的周期.,6,思考4：周期函数的周期是否唯一？正弦函数y=sinx的周期有哪些？4,答：周期函数的周期不止一个. 2，4，6，都是正弦函数的周期，事实上，任何一个常数2k(kz且k0)都是它的周期.,7,【最小正周期】 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小

3、的正数, 则这个最小正数叫做f(x)的最小正周期.,今后本书中所涉及到的周期，如果不加特别说明，一般都是指函数的最小正周期.,思考5：周期函数是否一定存在最小正周期？,例如：f(x)=c (c为常数）,否,所有的非零实数T都是它的周期，不存在最小正数.,8,思考6：就周期性而言，对正弦函数有什么结论？对余弦函数呢？,根据上述定义，我们有 正弦函数是周期函数， 都是它的周期，最小正周期是 . 类似地，余弦函数的周期性是什么样的呢？ 余弦函数是周期函数， 都是它的周期，最小正周期是 .,9,例1 求下列函数的周期： y=3cosx,xR; y=sin2x,xR; y=2sin( - ),xR;,即

4、3cos(x+2)= 由周期函数的定义可知，原函数的周期为2,【解】, y=cosx的周期为 ，所以自变量x 只要并且至少需要增长到x+ ,余弦函数的值才会重复取得.,3cosx,10,y=sin2x,xR;,解:令z=2x，那么xR必须并且只需zR，且函数y=sinz， zR的T= . 即变量z只要并且至少要增加到z+ ，函数值才能重复取得， 而z+ =2x+ = 2（x+ ） 故变量x只要并且至少要增加到x+ ，函数值就能重复取得， 所以由周期函数的定义可知，原函数的周期为 .,11,y=2sin( - ),xR;,所以由周期函数的定义可知，原函数的周期为,解：令 ，那么xR必须并且只要

5、zR，且函数y=2sinz，zR的T= ，由 于 。所以自变量z只 要并且至少要增加到z+ ，函数值才能重复取 得，即T=,12,由上例知函数y=3cosx的周期 T= 2； 函数y=sin2x的周期 T=； 函数y=2sin( - )的周期 T=4 想一想：以上这些函数的周期与解析式中哪些量有关吗？,仅与自变量的系数有关,函数 ， 令 ，那么xR必须并且只需zR，且函数y=Asinz， zR的T= . 即变量z只要并且至少要增加到z+ ，函数值才能重复取得， 而z+ = = 故变量x只要并且至少要增加到x+ ，函数值就能重复取得， 所以由周期函数的定义可知，原函数的周期为 .,13,一般地，

6、三角函数,如果函数 的周期是T，那么函数 的周期是,的周期：,的周期：,14,解：,例2：试判断函数 是否为周期函数？,周期为,15,三角函数周期的主要求法,1、定义法： 2、公式法： 3、图象法,16,正弦函数的图象,余弦函数的图象,问题：它们的图象有何对称性？,3.奇偶性,正弦曲线关于原点O对称 奇函数,余弦曲线关于y轴对称 偶函数,17,3.奇偶性,为奇函数,为偶函数,思考：能否从奇偶性定义出发， 证明这个判断的正确性？,18,判断奇偶性,正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数. 首先检查其定义域是否关于原点对称， 如果是，再验证f(-x)是否等于-f(x)或f(x),进而判断函数的奇偶性；

7、 如果不是，就是非奇非偶函数.,19,正弦函数的图象,对称轴：,对称中心：,20,余弦函数的图象,对称轴：,对称中心：,21,例 题,求 函数的对称轴和对称中心,解（1）令,则,的对称轴为,解得：对称轴为,的对称中心为,对称中心为,22,y=sinx (xR), 0 . . .,-1,0,1,0,-1,4.正弦函数的单调性,y=sinx,增区间为 ，其值从-1增大到1,减区间为 ，其值从 1减小到-1,23,4.余弦函数的单调性,y=cosx (xR),增区间为,减区间为,其值从 -1增大到1,其值从 1减小到-1,24,思考：,正弦函数在定义域上是增函数，而余弦函数在定义域上是减函数，这种说

8、法正确吗？ 不正确。 正弦函数在每个闭区间 上是增函数，并不是在整个定义域上是增函数。 余弦函数在每个闭区间 上是减函数，并不是在整个定义域上是减函数。,25,正弦函数的最大值和最小值,5.最大值和最小值,正弦函数当且仅当x=_时取得最大值1，当且仅当x=_时取得最小值-1；,26,余弦函数的最大值和最小值,5.最大值和最小值,余弦函数当且仅当x=_时取得最大值1，当且仅当x=_时取得最小值-1；,27,例3 下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时的自变量x的集合，并说出最大值、最小值分别是什么？,28,使函数 取得最大值的x集合,就是使函数 取得最大值的x的集合,解：,使函数 取得最小值的x集合,就是使函数 取得最小值的x的集合,函数 的最大值是1+1=2，最小值是 -1+1=0,29,使函数 取得最大值的x的集合是,同理，使函数 取得最小值的x的集合是,30,分析：比较同名函数值的大小，往往可以利用函数的单调性，但需要考虑它是否在同一单调区间上，若是，即可判断，若不是，需化成同一单调区间