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文档简介
1、概率论与数理统计,深圳大学 信息工程学院 康莉 2020/9/3,2 方 差,问题:EX表示变量X的平均值,一般来讲X的各个取值与EX有偏差,如何来度量这种误差? 在平均的意义下,如何表示X与EX的偏离程度或集中程度或误差大小?, 方差的定义 定义 设X是一个随机变量,若存在 则称 为X的方差,记为D(X)或Var(X), 即 称为X的标准差或均方差。 方差意义:D(X)数值的大小表示了X在E(X)附近的集中程度。 DX越大,X就越分散, DX越小,X就越集中。 D(X)是刻画X取值分散程度的一个量。, D(X)的计算: X是离散型随机变量时,设分布律为PX=xk=pk,k=1,2, X是连续
2、型随机变量时,设其密度函数为f(x),则 一种常用的等价形式,例1 设随机变量X具有特征值: 称为X的标准化变量, 方差的性质 设C是常数, X,Y是随机变量, 几个常见分布的方差, 一个重要结果,例8 设活塞的直径 ,气缸的直径 ,X,Y相互独立。任取一只活塞,任取一只气缸,求活塞能装入气缸的概率。, 切比雪夫不等式: 定理: 设随机变量X具有数学期望 方差 ,则对任意正数 , 下列不等式成立: 该不等式称为Chebyshev不等式。,切比雪夫不等式在概率估计方面起重要作用,给出了概率 的最小上界和 的最大下界估计 例:设随机变量X的方差为2,利用切比雪夫不等式给出概率 的上界估计。 解:,
3、2 方差,第四章 随机变量的数字特征,例 14,解:,返回主目录,2 方差,第四章 随机变量的数字特征,例 14续,先求:,返回主目录,2 方差,第四章 随机变量的数字特征,例 14(续),则:,返回主目录,3 协方差及相关系数,一、 协方差和相关系数,注: 是一个无量纲的量,或无单位的量。,二、协方差的性质,三、相关系数的性质和含义: 1、线性估计问题: 设X,Y是两个随机变量,利用X来估计Y。一般估计式为g(X),其中最简单的函数是线性函数a+bX,估计好坏的标准是最小均方误差,即使 为最小。 e对a,b求导,并令导数为0,可得:,2、定理:,例1 设(X,Y)有下列分布律,求X,Y之间的关系? X与Y不相关,即X与Y不存在线性关系。 X与Y不是相互独立。,例3 设(X,Y)服从二维正态分布,其概率密度:, 一个常用结果:,4 矩、协方差矩阵,一、矩 设X,Y是随机变量,假设各期望存在,二、
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