高中数学 第1章 解三角形1.3 正弦定理、余弦定理的应用同步教学案 苏教版必修

1、1.3正弦定理、余弦定理的应用(一)课时目标1.了解数学建模的思想；2.利用正、余弦定理解决生产实践中的有关距离的问题1方位角：指从正北方向线按_方向旋转到目标方向线所成的水平角如图中的A点的方位角为.2计算不可直接测量的两点间的距离是正弦定理和余弦定理的重要应用之一一、填空题1如图，A、B两点间的距离为_2如图，A、N两点之间的距离为_3已知两灯塔A和B与海洋观测站C的距离都等于a km，灯塔A在观测站C的北偏东20方向上，灯塔B在观测站C的南偏东40方向上，则灯塔A与灯塔B的距离为_km.4海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60的视角，从B岛望C岛和A岛成75的视角，则

2、B、C间的距离是_海里5如图所示，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50米，ACB45，CAB105后，就可以计算A、B两点的距离为_米6如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15，与灯塔S相距20海里，随后货轮按北偏西30的方向航行30分钟后到达N处，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为_海里/小时7如图所示，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A、B，望对岸标记物C，测得CAB30，CBA75，AB120 m，则河的宽度为_8甲船在岛B的正南A处，AB10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时，乙船自B出发以每小时

3、6千米的速度向北偏东60的方向驶去当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是_小时9太湖中有一小岛，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车测得小岛在公路的南偏西15的方向上，汽车行驶1 km后，又测得小岛在南偏西75的方向上，则小岛到公路的距离是_ km.10.如图所示，为了测量正在海面匀速行驶的某轮船的速度，在海岸上选取距离1千米的两个观察点C、D，在某天1000观察到该轮船在A处，此时测得ADC30，2分钟后该轮船行驶至B处，此时测得ACB60，BCD45，ADB60，则该轮船的速度为_千米/分钟二、解答题11如图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75，距离为12 n mile，在A处看灯

4、塔C在货轮的北偏西30，距离为8 n mile，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东120方向上，求：(1)A处与D处的距离；(2)灯塔C与D处的距离12如图，为测量河对岸A、B两点的距离，在河的这边测出CD的长为km，ADBCDB30，ACD60，ACB45，求A、B两点间的距离能力提升13台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的持续时间为_小时14如图所示，甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的B1处，

5、此时两船相距20海里当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的B2处，此时两船相距10海里问乙船每小时航行多少海里？1解三角形应用问题的基本思路是：实际问题数学问题数学问题的解实际问题的解2测量距离问题：这类问题的情境一般属于“测量有障碍物相隔的两点间的距离”在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，测量工具要有较高的精确度1.3正弦定理、余弦定理的应用(一)答案知识梳理1顺时针作业设计132403.a解析ACB120，ACBCa，由余弦定理得ABa.45解析在ABC中，C180607545.由正弦定理得：，解得BC5.550解析由题意知ABC30，由正弦定理，A

6、B50 (m)620()解析由题意，SMN45，SNM105，NSM30.由正弦定理得.MN10()则v货20() 海里/小时760 m解析在ABC中，CAB30，CBA75，ACB75.ACBABC.ACAB120 m.作CDAB，垂足为D，则CD即为河的宽度由正弦定理得，CD60(m)河的宽度为60 m.8.解析设行驶x小时后甲到点C，乙到点D，两船相距y km，则DBC18060120.y2(104x)2(6x)22(104x)6xcos 12028x220x10028(x2x)100282100，当x(小时)，y2有最小值y最小9.解析如图，CAB15，CBA18075105，ACB1

7、801051560，AB1 km.由正弦定理得BCsin 15 (km)设C到直线AB的距离为d，则dBCsin 75 (km)10.解析在BCD中，BCD45，ADC30，ADB60.BDC90.CDB为等腰直角三角形，BDCD1，在ACD中，由正弦定理得：.AD.在ABD中，由余弦定理得，AB21222cos 60，AB，则船速为千米/分钟11解(1)在ABD中，ADB60，B45，由正弦定理得AD24(n mile)(2)在ADC中，由余弦定理得CD2AD2AC22ADACcos 30，解得CD814(n mile)即A处与D处的距离为24 n mile，灯塔C与D处的距离约为14 n

8、mile.12解在BDC中，CBD1803010545，由正弦定理得，则BC(km)在ACD中，CAD180606060，ACD为正三角形ACCD(km)在ABC中，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcos 452，AB(km)答河对岸A、B两点间距离为km.131解析设t小时时，B市恰好处于危险区，则由余弦定理得：(20t)2402220t40cos 45302.化简得：4t28t70，t1t22，t1t2.从而|t1t2|1.14.解如图所示，连结A1B2，由已知A2B210，A1A23010，A1A2A2B2，又A1A2B218012060，A1A2B2是等边三角形，A1B2A1A

9、210.由已知，A1B120，B1A1B21056045，在A1B2B1中，由余弦定理，B1BA1BA1B2A1B1A1B2cos 45202(10)222010200.B1B210.因此，乙船速度的大小为6030(海里/小时)答乙船每小时航行30海里1.3正弦定理、余弦定理的应用(二)课时目标1.利用正、余弦定理解决生产实践中的有关高度的问题.2.利用正、余弦定理及三角形面积公式解决三角形中的几何度量问题1仰角和俯角：与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平线_方时叫仰角，目标视线在水平线_方时叫俯角(如图所示)2已知ABC的两边a、b及其夹角C，则ABC的面积为

10、_一、填空题1从A处望B处的仰角为，从B处望A处的俯角为，则与的关系为_2设甲、乙两楼相距20 m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30，则甲、乙两楼的高分别是_和_3如图，为测一树的高度，在地面上选取A、B两点，从A、B两点分别测得树尖的仰角为30，45，且A、B两点之间的距离为60米，则树的高度为_米4从高出海平面h米的小岛看正东方向有一只船俯角为30，看正南方向一只船俯角为45，则此时两船间的距离为_米5在某个位置测得某山峰仰角为，对着山峰在平行地面上前进600 m后测仰角为原来的2倍，继续在平行地面上前进200 m后，测得山峰的仰角为原来的4倍，则该山峰的高度是_

11、m.6平行四边形ABCD中，AC，BD，周长为18，则平行四边形面积是_7甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东60的方向，两船相距a海里，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的倍，则甲船应取方向_才能追上乙船；追上时甲船行驶了_海里8ABC中，已知A60，ABAC85，面积为10，则其周长为_9已知等腰三角形的底边长为6，一腰长为12，则它的内切圆面积为_10某舰艇在A处测得遇险渔船在北偏东45，距离为10 n mile的C处，此时得知，该渔船沿北偏东105方向，以每小时9 n mile的速度向一小岛靠近，舰艇时速21 n mile，则舰艇到达渔船的最短时间是_小时二、解答题11如图所示，在山顶铁

12、塔上B处测得地面上一点A的俯角为，在塔底C处测得A处的俯角为.已知铁塔BC部分的高为h，求山高CD.12已知圆内接四边形ABCD的边长AB2，BC6，CDDA4，求圆内接四边形ABCD的面积能力提升13如图所示，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A、B、C三点进行测量已知AB50 m，BC120 m，于A处测得水深AD80 m，于B处测得水深BE200 m，于C处测得水深CF110 m，求DEF的余弦值14江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45和30，而且两条船与炮台底部连成30角，求两条船之间的距离1测量底部不可到达的建筑物的高度问题由于底部不可到达，

13、这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理和余弦定理，计算出建筑物顶部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题2测量角度就是在三角形内利用正弦定理和余弦定理求角的正弦值或余弦值，再根据需要求出所求的角1.3正弦定理、余弦定理的应用(二)答案知识梳理1上下2.absin C作业设计1220 m m解析h甲20tan 6020(m)h乙20tan 6020tan 30(m)33030解析在PAB中，由正弦定理可得，PB，hPBsin 45(3030)m.4. 2h解析如图所示，BCh，ACh，AB2h.5300解析如图所示，600sin 2200sin 4，cos 2

14、，15，h200sin 4300 (m)616解析设两邻边ADb，ABa，BAD，则ab9，a2b22abcos 17，a2b22abcos(180)65.解得：a5，b4，cos 或a4，b5，cos ，SABCDab sin 16.7北偏东30a解析如图所示，设到C点甲船追上乙船，乙到C地用的时间为t，乙船速度为v，则BCtv，ACtv，B120，由正弦定理知，sinCAB，CAB30，ACB30，BCABa，AC2AB2BC22ABBCcos 120a2a22a23a2，ACa.820解析设AB8k，AC5k，k0，则SABACsin A10k210.k1，AB8，AC5，由余弦定理：B

15、C2AB2AC22ABACcos A825228549.BC7，周长为：ABBCCA20.9.解析不妨设三角形三边为a，b，c且a6，bc12，由余弦定理得：cos A，sin A .由(abc)rbcsin A得r.S内切圆r2.10.解析设舰艇和渔船在B处相遇，则在ABC中，由已知可得：ACB120，设舰艇到达渔船的最短时间为t，则AB21t，BC9t，AC10，则(21t)2(9t)21002109tcos 120，解得t或t(舍)11解在ABC中，BCA90，ABC90，BAC，CAD.根据正弦定理得：，即，AC.在RtACD中，CDACsinCADACsin .即山高CD为.12解连结BD，则四边形面积SSABDSCBDABADsin ABCCDsin C.AC180，sin Asin C.S(ABADBCCD)sin A16sin A.由余弦定理：在ABD中，BD22242224cos A2016cos A，在CDB中，BD2426224