电子测量技术第二章

1、误差与测量不确定度,第2章,2,第2章 误差与测量不确定度,2.1测量误差的基本概念 2.2 测量不确定度 2.3 测量数据处理,3,测量值,误差分类,偏移,精密度,误差和不确定度,误差(测量误差)是测量值与被测量真值相减得到的结果 不确定度是一个与测量结果有关的参数，它表征可合理归因于被测量量值的离散 被测量是服从于测量的特定量。,2.1 测量误差的基本概念,5,测量误差,任何物理量不可能测量的绝对准确,必然存在着测定误差。 误差是测量结果与真值的接近程度。 误差=测量值真值 真值是未知的,随认识水平和科学技术水平的提高而逐步逼近于真值。 在测试过程中尽量减少误差,并在测量和处理数据中采用数

2、理统计的方法。,6,研究误差的目的,正确认识误差的性质和来源,以减小测量误差 正确处理测量数据,以得到接近真值的结果。 合理地制订测量方案,组织科学实验,正确地选择测量方法和测量仪器,以便在条件允许的情况下得到理想的测量结果 在设计仪器时,由于理论不完善,计算时采用近似公式,忽略了微小因素的作用,从而导致了仪器原理设计误差,它必然影响测量的准确性。 设计中需要用误差理论进行分析并适当控制这些误差因素,使仪器的测量准确程度达到设计要求。,7,误差的来源,仪器误差 影响误差 方法误差和理论误差 人身误差,8,2.1.1 测量误差的定义,绝对误差,绝对误差仅能说明差异的大小和方向 有大小和符号，有量

3、纲,相对误差可以说明测量的准确程度 有大小和符号，无量纲 分为实际相对误差、标称相对误差和引用误差,相对误差,实际相对误差,9,10,例：被测电阻Rx,电压表的内阻为RV,电流表的内阻为RI 求绝对误差和相对误差,对于图(a)：,对于图（a）当电压表内阻RV很大时可选a方案。 对于图（b）当电流表内阻RI很小时可用b方案。,对于图(b)：,11,标称相对误差,标称相对误差是指绝对误差与被测量的测量结果x之比。,12,引用（满度)相对误差,引用相对误差 电工仪表将满度相对误差分为七个等级,13,例：检定量程为100A的2级电流表,在50A刻度上标准表读数为49A,问此电流表是否合格？ 解： x0

4、=49A x=50A xm=100A,合格,14,例：测量10V左右电压 a:使用150V,1.5级 绝对误差： |V|Vm|s|%1501.5%2.25V b:使用15V,2.5级 绝对误差 |V|Vm|s|%152.5%0.375V 测量值x靠近满量程值xm，相对误差小,15,分贝误差,相对误差也可用对数形式(分贝数)表示,主要用于功率、电压的增益(衰减)的测量中 功率等电参数用dB表示的相对误差为 电压、电流等参数用dB表示的相对误差为,16,例：某电流表测电流96A,标准表测出的电流值为100A，求相对误差和分贝误差？,解： x0=100A x=96A,17,2.1.2 测量误差的分类

5、,随机误差 随机误差是由不确定原因引起的,不可避免和消除。 系统误差 系统误差是由较确定的原因引起的,可校正和消除。 粗大误差 粗大误差是指一种显然与事实不符的误差，必须避免和剔除。,18,测量结果的评定,某次测值的测量误差(绝对误差),测量值 xi与真值A0之差误差,A0:真值, xi:测量值,i :随机误差,:系统误差,A0:真值， xi:测量值，Ex:xi的平均值， xk:坏值 i :随机误差，:系统误差，,A0,Ex,xi,xi,xk,xk,i,i,三种误差同时存在的情况,20,测量结果的评定,准确度 是指测量值与真值的接近程度。系统误差 小,准确度高 。 精密度 测量值重复一致的程度

6、。随机误差小,精密度高 精确度 反映系统误差和随机误差综合的影响程度,准确度低,精密度低,精密度高，准确度低,精确度高,21,真值,单次测量,平均,准确度,偏移,精密度,精密度和准确度,指测量的稳定度 各次测量相对平均值的变化,指测量值与真值的接近程度,22,随机误差,随机误差的定义 在等精度重复条件下多次测量同一被测量时，误差的绝对值和符号都以不可预见的规律变化，但具有抵偿性的误差称为随机误差,也称偶然误差,简称随差 随机误差产生的原因 测量仪器中零部件配合的不稳定或有摩擦,仪器内部器件产生噪声等； 温度及电源电压的频繁波动,电磁场干扰，地基振动等； 测量人员感觉器官的无规则变化,读数不稳定

7、等原因所引起的误差均可造成随机误差,使测量值产生上下起伏的变化。,23,随机误差,随机误差反映了测量的精密度,体现了各种客观主观因素的随机变化对测量结果的影响, 具有: 对称性:绝对值相等的正误差与负误差出现的次数相等 单峰性:绝对值小的误差比绝对值大的误差出现次数多 有界性:绝对值很大的误差出现的机会极少.不会超出一定的界限； 抵偿性:当测量次数趋于无穷大.随机误差的平均值将趋于零。 随机误差满足统计规律,大多数情况下其概率密度函数服从正态分布。,24,随机误差的有界性与对称性,A0,25,例：对一电阻进行n=100次等精度测量,26,27,大样本随机误差服从正态分布时被测量值的概率密度函数

8、,标准差小,曲线尖锐,说明测量误差小的数据占优势大,即测量精度高。,标准偏差,数学期望,标准偏差,大样本随机误差服从正态分布时被测量值的概率密度函数,28,数学期望 设对被测量x进行n次等精度测量,得到n个测量值 x1 , x2 , x3 ,. xn 其算术平均值为(最佳估计值）,总体平均值,随机误差的统计处理,当测量次数n时,样本平均值 的极限称为测量值的数学期望,在统计学中,期望与均值是同一概念,29,随机误差的统计处理,方差表征随机误差的离散程度,30,随机误差的统计处理,剩余误差(残差) 标准偏差 标准偏差是代表测量数据和测量误差分布离散程度的特征数。,31,随机误差的统计处理,标准偏

9、差越小，则曲线形状越尖锐，说明数据越集中；标准偏差越大，则曲线形状越平坦，说明数据越分散。,32,有限次测量数据的标准偏差的估计值,当n为有限次时,可以导出这时的被测量的实验标准偏差(标准偏差的估计值)，(贝塞尔公式) 算术平均值的实验标准偏差用于表征同一被测量的算术平均值的分散性。算术平均值的实验标准偏差的估计值 ：,33,例用温度计重复测量某个不变的温度,得11个测量值的序列(见下表)。求测量值的平均值及其标准偏差,解：平均值 用公式 计算各测量值残差列于上表中 被测量的实验标准偏差 算数平均值的标准偏差,34,系统误差的定义,在相同条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得的结果的平均值与

10、被测量的的真值之差称为系统误差，简称系差。,35,系统误差产生的原因,测量仪器设计原理及制作上的缺陷。 例如,刻度的偏差,刻度盘或指针安装偏心，使用时0点偏移,安放位置不当等。 测量时的实际温度、湿度及电源电压等环境条件与仪器要求的条件不一致等。 采用近似的测量方法或近似的计算公式等。 测量人员估计读数时,习惯偏于某一方向或有滞后倾向等原因所引起的误差,36,系统误差的特征,绝对误差,由于随机误差的抵偿性,当n足够大时,i的算术平均值趋于0。各次测量误差的算术平均值体现了系统误差大小。,测量结果的精确度不仅取决于随机误差,更重要的是受系统误差的影响。,37,系统误差的特征续,恒值系统误差直线a

11、。 在整个测量过程中,误差的大小和符号固定不变 线性系统误差直线b。 在整个测量过程中,误差值逐渐增大(或减小),周期性系统误差曲线c 误差值周期性变化 复杂变化的系统误差d 误差的变化规律很复杂,38,系统误差的判断,系统误差不具备抵偿性 系统误差的判断 理论分析法 试验比对法 校准和比对法 改变测量条件法 剩余误差观测法 公式判断法,39,减小恒值误差的技术措施,削弱或削除系统误差的典型测量技术 零示法 替代法 补偿法 对照法 微差法 交叉读数法,40,粗大误差的定义,在规定条件下明显偏离语气检测结果的误差称为粗大误差，简称粗差。 含有粗差的测量值称为异常值或坏值，在进行数据处理时，必须将

12、异常值从测量数据中剔除。,41,粗大误差产生原因,一般情况下,它不是仪器本身固有的,主要是测量过程中由于疏忽而造成的。 例如测量者身体过于疲劳；缺乏经验,操作不当或工作责任心不强等原因造成读错刻度、记错读数或计算错误。这是产生疏失误差的主观原因。 由于测量条件的突然变化,如电源电压、机械冲击等引起仪器示值的改变。 这是产生疏失误差的客观原因。,42,异常值的判断,s(x)为测量值的实验标准偏差 在实际测量中大于3s(x)的误差出现的可能性很小 如果某个测量值xi的剩余误差(残差)的绝对值 vi 3s(x) 就认为xi是含有过失误差的坏值,须剔除。 莱特准则只限于对正态分布或近似正态分布的测量数

13、据的判断处理，适合于测量次数足够多（一般要求20次)的情况。,莱特检验法,43,不确定度与坏值剔除原则,如果某个测量值xi的剩余误差的绝对值 vi Gs(x) ，就认为xi是坏值,须剔除。 其中G为给定置信概率p及重复测量次数n的格拉布斯系数，可以通过查表获得。 s(x)为测量值的实验标准偏差,格拉布斯检验法,【例】 对某电压进行多次重复测量， 所得结果列于表2-6， 试检查测量数据中有无粗大误差(异常数据)。,例所用数据,解： (1) 计算得=20.404， s=0.033。 各测量值的残差i=xi-填入表， 从表中看出8=-0.104最大， 则x8是一个可疑数据。 (2) 用莱特检验法计算

14、： |8|=0.104, 3s=30.033=0.099, |8|3s 故可判断x8是粗大误差， 应予以剔除。 再对剔除后的数据计算得： =20.411, s=0.016, 3s=0.048,各测量值的残差填入表2-6， 从表中可以看出， 14个数据的|i|均小于3s， 故14个数据都为 正常数据。 ,(3) 用格拉布斯检验法计算： 取置信概率Pc=0.99， 以n=15查表2-5, 得G=2.70。 由于Gs=2.70.033=0.09|8|， 故同样可判断x8是粗大误差， 应予以剔除。 剔除后计算同上， 再取置信概率Pc=0.99， 以n=14查表2-5， 得G=2.66。 此时Gs=2.

15、660.016=0.04， 可见除x8外都是正常数据。 ,【练习】对某电压进行了16次等精密度测量， 测量数据xi中已计入修正值， 列于下表中。 要求给出包括误差(即不确定度)在内的测量结果表达式。,解： (1) 求出算术平均值=205.30 V。 (2) 计算vi， 并列于表中。,解： (1) 求出算术平均值=205.30 V。 (2) 计算vi， 并列于表中。 (3) 计算测量值的标准偏差(估计值)：,(4) 按照=3判断有无|vi|3=1.3302， 查表中第5个数据vi=1.353， 应将此对应xi=206.65视为坏值加以剔除， 现剩下15个数据。,(5) 重新计算剩余的15个数据的

16、平均值： =205.21 (6) 重新计算各残差vi并列于表中。,(5) 重新计算剩余的15个数据的平均值： =205.21 (6) 重新计算各残差vi并列于表中。 (7) 重新计算测量值标准偏差：,(8) 按照=3再判断有无坏值， 3=0.81, 各|vi|均小于， 则认为剩余的15个数据中不再含有坏值。,(9) 对vi作图， 判断有无变值系差， 见下页图。 从 图中可见无明显累进性或周期性系差。 (10) 计算算术平均值标准偏差(估计值)：,(11) 写出测量结果表达式： x=3 =205.20.2 V,图2.7-1vi的变化情况,2.2 测量不确定度,60,2.2.1 测量不确定度的概念

17、,不确定度是建立在误差理论基础上的一个新概念 在传统误差理论中,总想确定“真值”,而真值却又难以确定,导致测量结果带有不确定性。 不确定度愈小,测量结果的质量愈高,愈接近真值,可信程度愈高。,A,X=Ax,x,偏离真值的大小,总想确定“真值”,误差,61,不确定度的定义,测量不确定度是与测量结果相关联，表示由于测量误差的存在而对被测量不能肯定的程度。,不确定度的分类,测量不确定度通常包含以下三个含义： 该参数是一个分散性参数,是可以定量表示测量结果的指标,它可以是标准差的倍数,也可以是某置信水平下的区间半宽。 该参数一般由若干分量组成,称为不确定度分量。 GUM规定,将这些分量的评定方法分为两

18、类，即A类评定的分量和B类评定的分量。 该参数用于完整表征测量结果,应包括对被测量的最佳估计和分散性参数两部分。,测量不确定度评定,A类评定的分量是依据一系列测量数据的统计分布获得的实验标准差。 B类评定的分量是基于经验或其他信息假定的概率分布给出的标准差。 测量不确定度评定所要进行的过程有： 建立相关数学模型 进行不确定来源分析 不确定分量的量化 计算合成不确定度 计算扩展不确定度 形成不确定度评定报告等过程,测量不确定度来源,测量不确定度来源于以下因素： 被测量定义不完善,被测量的测量方法不理想,被测样本不能代表所定义的被测量 测量装置或仪器自身性能的限制,如仪器的灵敏度、分辨力、稳定性等

19、 测量条件不完善,测量人员操作过程的失误, 测量标准或标准物质本身的不确定度,测量方法和测量程序的近似和假设,数据简化算法中使用的常数及其他参数值的不确定度等 其他各种随机因素,A类标准不确定度的评定,对被测量X进行n次测量,得到测定值x1, x2, xn； 求算术平均值和残差 由贝塞尔公式可得标准偏差的估计值,A类标准不确定度的评定,求平均值的标准偏差估计值 A类标准不确定度为 自由度的确定,),B类标准不确定度的评定,B类标准不确定度就是区间的半宽a除以包含因子k B类标准不确定度的自由度可由下式确定,标准不确定度的合成,由于测量结果受多种因素影响,形成了若干个不确定度分量,这时测量结果的

20、标准不确定度用合成标准不确定度uc(y)表示。（P23) 用合成标准不确定度作为被测量Y的估计值y的测量不确定度,其测量结果可表示为： Yyuc(y) 在实际工作中一些重要的测量往往要求置信概率比较大。为此,在标准偏差上乘以一个包含因子,得到扩展不确定度U Ukuc(y),测量不确定度评定举例,选用一台5位半的数字多用表对被测电阻进行直接测量。 数字多用表在电阻测量挡的技术指标为： 最大允许误差(0.003%读数+2最低位数值) 满量程值1999.99k，最低位数值0.01k 当环境温度在525时温度系数的影响可忽略,所使用的数字多用表经检定合格并在有效期内。 测量环境温度：（231）,测量不

21、确定度评定举例,对选用的高阻值电阻重复测量10次,将数字多用表电阻显示值R记录在表中 由于对被测电阻器的电阻R采用直接测量法,设输出被测量Y,故数学模型为 Y=R,10次测量值的算术平均值 影响电阻测量不确定度的因素主要有 各种随机因素影响使读数不重复 数字多用表不准。,测量不确定度评定举例,标准不确定度分量的评定 读数重复性引入的不确定度u1采用A类评定方法,根据实测数据得实验标准差s(Ri) 标准不确定度u1为： 标准不确定度u1的自由度v1为：,测量不确定度评定举例,数字多用表不准引入的标准不确定度u2应采用B类评定方法,根据其技术指标确定最大允许误差的半宽a为： 由于数字多用表不准引入

22、的标准不确定度u2为P21表（均匀） 其中k2为包含因子,设测量值在该区间内为均匀分布(矩形分布), k2取1.73。 考虑到被测量可能落在Ra,Ra区间外的概率极小,可设u2 / u2趋于零,则自由度值v2趋于无穷大,即v2 。,测量不确定度评定举例,标准不确定度的评定 由于上述2项标准不确定度分量之间不相关,并且根据数学模型,偏导数=1,所以合成标准不确定度uc 合成标准不确定度的有效自由度：,测量不确定度评定举例,合成标准不确定度的评定 因为被测电阻的数学模型为Y=R,灵敏系数为1,因此电阻测量结果的标准不确定度即为合成标准不确定度,自由度即为有效自由度,即,测量不确定度评定举例,确定扩

23、展不确定度 确定包含因子 由于读数重复性的分布为正态分布,其标准不确定度分量u1对被测电阻测量结果的标准不确定度贡献大,可近似看作是占优势的分量。因此判定被测电阻可能值的分布也接近正态分布,则包含因子采用t分布。 根据要求的置信概率p=95%以及有效自由度veff =11,查t分布临界值表,得t95(11) =2.20,故k95=2.20 扩展不确定度U为：,测量不确定度评定举例,测量不确定度报告 由上表可知,测量不确定度与被测电阻器的允许误差极限的绝对值之比为1:5,说明测量结果的可信度较高,而且由于被测的高值电阻器的示值误差为0.59 k,在允许误差极限1 k的范围内,因此检定合格,满足使

24、用要求。,77,2.3 测量数据处理,有效数字，是指在测量数值中，从最左边一位非零数字起到含有 误差的那位存疑数为止的所有各位数字。,例1 用10v指针式电压表测得,U= 5. 6 4 V 三位有效数字,例2 0.0038K=3.8 两位有效数字,例3 0.026m 两位有效数字 0.0260m 三位有效数字,80,有效数字,在测量过程中,正确地得出测量结果的有效数字,合理地确定测量数据位数是非常重要的。 有效数字中除末位外前面各位数字都应该是准确的,只有末位欠准,其包含的误差不应大于末位单位数字的一半。例如3.18V,则测量误差不超过0.005V。 在数字左边的零不是有效数字,如0.031V

25、,左边的两个零就不是有效数字。而数字中间和右边的零都是有效数字,不能在数据的右边随意加减零,否则会改变测量的准确程度。例如2.10V,表明测量误差不超过0.005V,若改为2.1V或2.100V,则表明测量误差不超过0.05V或0.0005V。 有效数字不能因选用的单位变化而改变。例如测量结果为2.0V,它的有效数字为两位,如该用mV做单位,该为2000mV,则有效数字变为四位,这显然是错误的,应改写为2.0103mV,此时它的有效数字仍是两位。,81,有效数字的运算原则,为保证运算过程中的简便和准确,参与运算数据的有效数字位数的保留,原则上取决于参加运算的各数据中准确度最差的那一项。 加、减

26、运算 以小数位数最少的为准,其余数据多取一位,最后结果小数位数保留仍以小数位数最少的为准。两数相减时尽量多取几位有效数字。 乘、除、乘方、开方运算 有效数字的取舍取决于其中有效数字最少的一项,而与小数点无关。最后结果的有效数字,应不超过参加运算的数据中最少的有效数字。 对数运算 对数运算时,原数为几位有效数字,取对数后仍取几位有效数字。,1) 加法运算 以小数点后位数最少的为准(若各项无小数点则以有效位数最少者为准)， 其余各数可多取一位。 ,例如： 为了保证必要的精度， 参与乘除运算的各数及最终运算结果也可以比有效数字位数最少者多保留一位有效数字。 例如上面例子中的517.43和4.08各保

27、留至517和4.08， 结果为35.5。,4) 乘方、 开方运算 运算结果比原数多保留一位有效数字。 例如： (27.8) 2772.8 (115) 21.322104 3.07 16.28,85,数字的舍入规则,当需要n位有效数字时,对超过n位的数字就要根据舍入规则进行处理。 目前广泛采用的“四舍五入”规则内容如下： 当保留n位有效数字,若后面的数字小于第n位单位数字的一半就舍掉； 当保留n位有效数字,若后面的数字大于第n位单位数字的一半,则第n位数字进1； 当保留n位有效数字,若后面的数字恰为第 n位单位数字的一半,则第n位数字为偶数或零时就舍掉后面的数字,若第n位数字为奇数,则第n位数字

28、加1。即若第n+1位为,后面为零,则看第n位的奇偶性,奇则入,偶则舍。 小于5舍，大于5入，等于5时取偶数。,练习， 将下列数据舍入到小数第二位。 12.4344 12.43 63.7350163.74 0.694990.69 25.325025.3217.695517.70 123.115123.12,需要注意的是， 舍入应一次到位， 不能逐位舍入， 否则会得到错误的结果。 例如上例中0.69499， 错误做法是： 0.694990.69500.6950.70， 而正确结果为0.69。在“等于5”的舍入处理上， 采用取偶数规则， 是为了在比较多的数据舍入处理中， 使产生正负误差的概率近似相等， 从而使测量结果受舍入误差的影响减小到最低程度。,12.43,63.74,0.69,25.32,17.70,123.12,本章小结,测量是为确定被测对象的量值而进行的实验过程 误差测量指示值实际值 误差的表示方法 绝对误差 测量值相对误差 引用误差m,87,本章小结,随