高考数学（全国甲卷通用理科）知识 方法篇 专题8　概率与统计 第37练 含答案.doc

1、第37练二项式定理的两类重点题型求指定项与求和题型分析高考展望二项式定理的应用，是理科高考的考点之一，考查频率较高，一般为选择题或填空题，题目难度不大，为低、中档题.主要考查两类题型，一是求展开式的指定项，二是求各项和或系数和，只要掌握两类题型的常规解法，该部分题目就能会做.体验高考1.(2015课标全国)(x2xy)5的展开式中，x5y2的系数为()A.10 B.20 C.30 D.60答案C解析方法一利用二项展开式的通项公式求解.(x2xy)5(x2x)y5，含y2的项为T3C(x2x)3y2.其中(x2x)3中含x5的项为Cx4xCx5.所以x5y2的系数为CC30.故选C.方法二利用组

2、合知识求解.(x2xy)5为5个x2xy之积，其中有两个取y，两个取x2，一个取x即可，所以x5y2的系数为CCC30.故选C.2.(2016四川)设i为虚数单位，则(xi)6的展开式中含x4的项为()A.15x4 B.15x4 C.20ix4 D.20ix4答案A解析由题可知，含x4的项为Cx4i215x4.选A.3.(2015安徽)7的展开式中x5的系数是_(用数字填写答案).答案35解析7的展开式的第k1项为Tk1C(x3)7kkCx214k，令214k5，得k4，T5Cx535x5.4.(2016上海)在()n的二次项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_.答案112解析

3、2n256，n8，通项Tk1C()kC(2)k.取k2，常数项为C(2)2112.高考必会题型题型一求展开项例1(1)(x22)3展开式中的常数项为()A.8 B.12 C.20 D.20(2)(2016山东)若5的展开式中x5的系数为80，则实数a_.答案(1)C(2)2解析(1)二项式(x22)3可化为(x)6，展开式的通项公式为Tk1C(1)kx62k.令x的幂指数62k0，解得k3，故展开式中的常数项为C20，故选C.(2)Tk1C(ax2)5kka5kC，10k5，解得k2，a3C80，解得a2.点评应用通项公式要注意四点(1)Tk1是展开式中的第k1项，而不是第k项；(2)公式中a

4、，b的指数和为n，且a，b不能随便颠倒位置；(3)要将通项中的系数和字母分离开，以便于解决问题；(4)对二项式(ab)n展开式的通项公式要特别注意符号问题.变式训练1(1)(9x)n(nN*)的展开式的第3项的二项式系数为36，则其展开式中的常数项为()A.252 B.252 C.84 D.84(2)(1x)(12)5展开式中x2的系数为_.答案(1)C(2)60解析(1)第3项的二项式系数为C36，n9，其通项公式为Tk1()kC(9x)9k()k99kC，当9k0，k6时，为常数项，常数项为()6996C84.(2)因为(12)5展开式的通项公式为Tk1C2k，所以(1x)(12)5展开式

5、中x2的系数为1C24C2260.题型二赋值法求系数之和例2(1)对任意的实数x，有(2x3)6a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5a6x6，则a12a23a34a45a56a6等于()A.12 B.6 C.6 D.12(2)若(2x1)2 013a0a1xa2x2a2 013x2 013(xR)，则等于()A. B. C. D.答案(1)A(2)D解析(1)由(2x3)6a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5a6x6，两侧求导，得a12a2x3a3x24a4x35a5x46a6x512(2x3)5，令x1，则a12a23a34a45a56a612(213)512，故选A.(2)因为

6、(2x1)2 013a0a1xa2x2a2 013x2 013(xR)，令x0，则a01，a12C(1)2 0122C；令x，则a00，所以(a1)(a0a1)(21)2 013.点评(1)“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(axb)n、(ax2bxc)m (a，bR)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x1即可；对形如(axby)n (a，bR)的式子求其展开式各项系数之和，只需令xy1即可.(2)若f(x)a0a1xa2x2anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0a2a4，偶数项系数之和为a1a3a5.变式训练2(1)已知(1

7、x)(1x)2(1x)3(1x)na0a1xa2x2anxn，且a0a1a2an126，那么()n的展开式中的常数项为()A.15 B.15 C.20 D.20(2)若(15x)9a0a1xa2x2a9x9，那么|a0|a1|a2|a9|的值是()A.1 B.49 C.59 D.69答案(1)D(2)D解析(1)令x1，得a0a1a2an2222n22n121262n11282n127n6，又Tk1C()6k()kC(1)kx3k，所以由3k0得k3，则常数项为C20.(2)(15x)9展开式的通项公式为Tk1C(5x)k(5)kCxk，所以当x的指数为奇数时，其系数为负，所以在(15x)9a

8、0a1xa2x2a9x9中令x1，得|a0|a1|a2|a9|a0a1a2a3a8a969，故选D.高考题型精练1.若(2x)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，则(a0a2a4)2(a1a3)2的值为()A.1 B.1 C.0 D.2答案A解析令x1，得(2)4a0a1a2a3a4，又令x1，得(2)4a0a1a2a3a4，所以(a0a2a4)2(a1a3)2(a0a2a4a1a3)(a0a2a4a1a3)(2)4(2)4141.2.设nN*，则5C52C53C5nC除以7的余数为()A.0或5 B.1或3 C.4或6 D.0或2答案A解析5C52C53C5nCC5C52C53C5nCC(

9、15)n1(71)n17M(1)n1，MZ，当n为奇数时，余数为5，当n为偶数时，余数为0.3.设k(sin xcos x)dx，若(1kx)8a0a1xa2x2a8x8，则a1a2a8等于()A.1 B.0 C.1 D.256答案B解析k(sin xcos x)dxsin xdxcos xdxcos xsin x2，所以(1kx)8(12x)8a0a1xa2x2a8x8，令x1，得a0a1a2a8(12)81，令x0，得a01，所以a1a2a8(a0a1a2a8)a0110，故选B.4.设m为正整数，(xy)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(xy)2m1展开式的二项式系数的最大值为b，若

10、13a7b，则m等于()A.5 B.6 C.7 D.8答案B解析(xy)2m展开式中二项式系数的最大值为C，aC.同理，bC.13a7b，13C7C，137，m6.5.()5展开式的第三项为10，则y关于x的函数图象大致为()答案D解析由题意得，展开式的第三项为T3C()3()210xy，所以10xy10，所以y，且x0，故选D.6.设aZ，且0a13，若512 016a能被13整除，则a的值为()A.0 B.1 C.11 D.12答案D解析512 016a(521)2 016aC522 016C522 015C52(1)2 015C(1)2 016a.因为52能被13整除，所以只需C(1)2

11、 016a能被13整除，即a1能被13整除，因为0a13，所以a12.7.设f(x)是6展开式的中间项，若f(x)mx在区间上恒成立，则实数m的取值范围是()A.(，5) B.(，5 C.(5，) D.5，)答案D解析由于Tk1Ckx123k，故展开式中间的一项为T31C3x3x3，f(x)mxx3mx在上恒成立，即mx2，又x25，故实数m的取值范围是m5.8.(x2x1)10展开式中x3项的系数为_.答案210解析(x2x1)101(x2x)10的展开式的通项公式为Tk1C(x2x)k，对于(x2x)k通项公式为Tm1Cx2k2m(x)m(1)mCx2km，令2km3且mk10，mN，kN

12、，得k2，m1或k3，m3，(x2x1)10的展开式x3系数为CC(1)CC(1)3210.9.已知(2x1)na0a1xa2x2anxn，且n是偶数，则a0a1a2a3an_.答案解析由a0a1xa2x2anxn(2x1)n，在区间0，1上，两边取积分可得：a0a1x2a2x3anxn1(2x1)ndx(2x1)n1，即a0a1a2a3an.10.设an(n2，3，4，)是(3)n的展开式中x的一次项的系数，则_.答案17解析令Tk1C3nk()kC(1)k3nk，令1，得k2，(3)n的展开式中x的一次项的系数为anC(1)23n2C3n2，又C，则32()9()18(1)()()18(1

13、)17.11.已知在()n的展开式中，第6项为常数项.(1)求n；(2)求含x2项的系数；(3)求展开式中所有的有理项.解(1)根据题意，可得()n的展开式的通项为Tk1C(x)nk(x)k()kC，又由第6项为常数项，则当k5时，0，即0，解可得n10.(2)由(1)可得，Tk1()kC，令2，可得k2，所以含x2项的系数为()2C.(3)由(1)可得，Tk1()kC，若Tk1为有理项，则有Z，且0k10，分析可得当k2，5，8时，为整数，则展开式中的有理项分别为x2，x2.12.已知n.(1)若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项.解(1)因为CC2C，所以n221n980，解得n7或n14.当n7