计算机数学基础一二章8

1、2020/9/6,1,第2章 积分学,本章主要内容 不定积分的概念与性质 不定积分的计算 定积分的概念与性质 定积分的计算与应用 广义积分,2020/9/6,2,2.3 定积分的概念与性质,本节内容 2.3.1 定积分的定义 2.3.2 定积分的几何意义 2.3.3 定积分的性质,2020/9/6,3,2.3.1 定积分的定义,曲边梯形,2020/9/6,4,2.3.1 定积分的定义 （续一）,曲边梯形的面积,2020/9/6,5,2.3.1 定积分的定义 （续二）,若记maxx1, x2, , xn，则上述条件相当于0。当0时（必然是分段数无限增大，即n），对上式取极限，就得到曲边梯形的面积

2、,2020/9/6,6,2.3.1 定积分的定义 （续三）,定义2-3 设f(x)是定义在区间a,b上的有界函数，用点 将a,b区间任意分割成n个小区间 这些小区间的长度依次为,2020/9/6,7,2.3.1 定积分的定义 （续四）,在每个小区间 xi1, xi 上任取一点 i(xi1 i xi)，作n个乘积f(i) xi的和式 记maxx1, x2, , xn，如果当0时，和式 的极限存在，并且其极限与区间a, b的分割方法以及点i的取法无关，则该极限值称为函数f(x)在区间上a, b的定积分，记做 ，即,2020/9/6,8,2.3.1 定积分的定义 （续五）,其中f(x)称为被积函数，

3、 f(x)dx称为被积表达式，x称为积分变量，a称为积分下限，b称为积分上限，a, b称为积分区间。 可见，定积分是特殊和式的极限。 如果f(x)在a, b上的定积分存在，就称f(x)在a, b上可积，否则就称f(x)在a, b上不可积。,2020/9/6,9,2.3.1 定积分的定义 （续六）,连续曲线yf(x) (f(x)0) 、x轴及两条直线xa和xb所围成的曲边梯形的面积等于函数f(x)在区间a, b 上的定积分，即,2020/9/6,10,2.3.1 定积分的定义 （续六）,定积分 是乘积和的极限。它是一个确定的值，仅取决于具体的函数关系f(x)和确定的积分区间a, b，积分变量用什

4、么字母都可以，即 定理2-4 如果函数f(x)在a, b上连续，则f(x)在a, b上一定可积。,2020/9/6,11,2.3.2 定积分的几何意义,如果规定在x轴上方的图形的面积为正，在x轴下方的图形的面积为负，那么 的几何意义就是介于曲线yf(x)、 x轴及两条直线xa和xb之间的各部分面积的代数和，如下图所示。,2020/9/6,12,2.3.2 （续）,两点补充规定： 这样的规定与定积分的几何意义相符，也满足以后介绍的定积分的各个性质。,2020/9/6,13,2.3.3 定积分的性质,性质1 如果在区间a,b上f(x)1，则 性质2 函数的和（差）的定积分等于它们的定积分的和（差）

5、，即 性质3 被积函数的常数因子可以提到积分号外，即 （k为常数）,2020/9/6,14,2.3.3 定积分的性质 （续一）,性质4 对于任意3个常数a、b、c，下式恒成立： 性质5 如果在区间a,b上f(x)0，则,2020/9/6,15,2.3.3 定积分的性质 （续二）,性质6 如果在区间a,b上f(x) g(x) ，则 性质7 （积分中值公式） 如果函数f(x)在闭区间a,b上连续，则在区间a,b上至少存在一个点，使下式成立：,2020/9/6,16,2.4 定积分的计算与应用,本节内容 2.4.1 微积分基本公式 2.4.2 定积分的变量代换法 2.4.3 定积分的分部积分法 2.

6、4.2 平面图形的面积,2020/9/6,17,2.4.1 微积分基本公式,2.3.1小节已经介绍了定积分的定义。但是，按定义计算定积分是非常麻烦的。因此，本节探讨计算定积分的简便方法。 为了讨论物体在变速直线运动中位置函数与速度函数间的联系，有必要沿物体的运动方向建立坐标轴。设时刻t时物体所在位置为s(t)，速度为v(t)。,2020/9/6,18,2.4.1 （续一）,一方面，物体在时间间隔T1,T2内经过的路程可以用速度函数v(t)在区间T1,T2上的定积分 来表达。另一方面，这段路程可以通过位置函数在区间T1,T2上的增量 ss(T2)s(T1) 来表达。,2020/9/6,19,2.

7、4.1 （续二）,这表明，位置函数s(t)与速度函数v(t)有如下关系： (a) 上面从变速直线运动的路程这个特定问题中得到的关系，在一定条件下具有普遍性。详见后面的微积分基本公式。,2020/9/6,20,2.4.1 （续三）,设函数f(x)在区间a,b上可积，则对于该区间内的任意一点x， f(x)在区间a,x可积。于是积分 存在，称此积分为变上限定积分。因为对于给定的该区间内的点x ，就有一个积分值与之对应，所以该积分是上限x的函数，记为(x)。,2020/9/6,21,2.4.1 （续四）,这里积分变量和积分上限都用x表示，但它们的含义并不相同，为了区别起见，把积分变量改用表示，即,20

8、20/9/6,22,2.4.1 （续五）,定理2-5 如果函数f(x)在区间a,b上连续，则变上限定积分 在区间a,b上可导，并且它的导数是 (2-10) 即 是f(x)在区间a,b上的一个原函数。,2020/9/6,23,2.4.1 （续六）,定理2-6 如果函数f(x)在区间a,b上连续，F(x)是f(x)在区间a,b上的任一原函数，则 (2-11) 证明 已知F(x)是f(x)的一个原函数，根据定理2-5知 也是f(x)的一个原函数。,2020/9/6,24,2.4.1 （续七）,续证 再根据定理2-2知，这两个原函数之间最多相差一个常数C，因此有 F(x)(x)C 即 在上式中令xa得

9、F(a)C ，再令xb，得 即,2020/9/6,25,2.4.1 （续八）,公式(2-11)揭示了定积分与被积函数的原函数之间的内在联系，因此通常称为微积分基本公式。该公式是牛顿和莱布尼兹两人首先发现的，所以又叫牛顿-莱布尼兹公式。有了微积分基本公式(2-11)，大大方便了定积分的计算。,2020/9/6,26,2.4.1 （续九）,例2-23 计算下列各定积分 (1)(2) (3)(4) (5),2020/9/6,27,2.4.1 （续十）,例2-24 计算 。 例2-25 计算 。,2020/9/6,28,2.4.2 定积分的 换元法,定理2-7 设函数f(x)在区间a,b上连续，函数x

10、(t)满足下列条件： (1) 函数(t)在区间,上有连续的导数 (2) 当t在区间,上变化时， x(t)的值在a,b上变化，且()a ， ()b ，则有 (2-12) 公式(2-12)称为定积分的变量代换公式。,2020/9/6,29,2.4.2 （续一）,说明 （1）定理2-7的叙述意味着 。实际上当时，式(2-12)也成立（相应地，定理2-7中的区间要改为,）。如果在区间,（或,）上是单调函数，式(2-12)总是成立的，一般情况正是如此。,2020/9/6,30,2.4.2 （续二）,（2）式(2-12)与不定积分的第二类变量代换法类似，如果将该公式左右调换使用与不定积分的第一类变量代换法

11、类似。 （3）为避免应用式(2-12)时出错，应保证x(t)在积分区间上是单调函数。 （4）计算定积分的结果是一个值，因此用变量代换法计算定积分不必将积分变量转换回原来的变量，但换元的同时必须换限。,2020/9/6,31,2.4.1 （续三）,例2-26 计算 。 例2-27 计算 。 例2-28 计算 。,2020/9/6,32,2.4.1 （续四）,例2-29 证明 （1）函数f(x)在闭区间a,a上连续，并且为偶函数，则 （2）函数f(x)在闭区间a,a上连续，并且为奇函数，则,2020/9/6,33,2.4.1 （续五）,证 因为 对积分 进行换元xt，则有 于是,2020/9/6,

12、34,2.4.1 （续六）,续证 由此可得如下结果： （1）若f(x)为偶函数，即f(x)f(x)，则 f(x)f(x)2f(x) 因此,2020/9/6,35,2.4.1 （续七）,续证 （2）若f(x)为奇函数，即f(x)f(x)，则 f(x)f(x)0 因此,2020/9/6,36,2.4.1 （续八）,在计算偶函数和奇函数在对称于原点的区间上的定积分时，利用上述结果常能带来很大的方便。 例2-30 计算 （1） （2）,2020/9/6,37,2.4.3 定积分的 分部积分法,设函数u(x)与v(x)在区间a,b上具有连续的导数与，则由，即两边求定积分得 (2-13) (2-14) 例2-31 计算 。 例2-32 计算 。,2020/9/6,38,2.4