计算机数学课件第二章

1、第2章 极限与连续性,知识点 函数极限 无穷大、无穷小 重要极限 连续 间断 难点 重要极限 连续,要求 熟练掌握 极限定义 极限的求法 连续定义 函数的连续性 函数的间断点 了解 无穷小量与无穷大量之间的关系,极限概念是微积分中最重要和最基本的概念之一，微积分的一些基本概念都要用极限概念来表达，并且它们的运算和性质也都要用极限的运算的性质来论证，因此必须掌握好极限的概念。,2.1 数列的极限2.1.1 数列的概念,定义1 按正整数编号，依次列起来的一系 数 叫做数列，记作 数列中的每一个数叫做数列的项，第n项叫 做数列的一般项或通项。 例如：,2.1.2 数列的极限,对于给定的数列 ，我们所

2、要研的 是，当 时， 数列的变化趋势， 即当 时， 是否无限趋近某一个确 定的数值。,1.数列极限的定义,定义2 设 是一个数列，A是一个定数。 果对于任意给定的正数 （不管它多么小），总存在正整数N，使得对于 的一切 ，不等式 都成立，则 称数A是数列 的极限。或称数列收敛于A，记作： 若 数列没有极限 就称数列是发散的。,2.数列极限定义应着重理解的几点 1）定义中 是任意给定，只有 具有任意性， 才能用不等式 表达出 与A无极限接 近的确切含义。 2）定义中的正整数N的选取与 有关,一般当给定的 越小，选取的N就越大，但定义中的N不是唯一的， 因为极限定义并不要求找到最小的N，而只要存在

3、 一个N就可以了。 3）数列极限定义，并没有直接提供求数列极限的 方法，只能根据极限定义，验证给定的数列 是否以A为极限。,3.数列以为极限的几何解释 从几何上看，数列 是数轴上的一串点 列，A是数轴上的一个确定的点。在数轴上作出 A点的 邻域，即开区间 ，因绝对 值不等式 与不等式 等价，所以当 时,所有的点都落在A点的 邻域内，而只有有限 的多个点（最多只有N个）落在邻域的外面，这 就是 的几何意义。 如图2.2 所示。,例 证明数列 的极限是0。 证明 对任意给定的 ，因为 则 取 ， 对任给的 存在 当 时，就有 成立。即,2.1.3 收敛数列的有界性,1. 数列的有界性 定义3 对于

4、数列 ，如果存在正数M，使得一 切 都满足不等式 ，则称数列 是有界的，否则称 是无界的。 2. 收敛数列的有界性 定理1 如果数列 收敛，则数列 一定有 界。（证明从略）,2.2 函数的极限 2.2.1 时， 函数的极限,1.当 时，函数的极限定义 定义4 如果任意给定的 （不论 它怎么小） 总存在正数M，使得对于适合 的一切x， 对应的函数值 都满足不等式 ， 则 称常数A是函数 当 时的极限， 记作： 或 （当 ） 2.极限的几何意义 书中图2.3所示，对任给的 ，作直线,、 ，总有一正数M存在， 使当 时函数 的图形位于这两条直 线之间。 例 证明 证明 对任给的 ，要使 成立，只须

5、为此，取 ，当 时， 有 成立，即 。,2.2.2 时，函数 的极限,1.当时，函数的极限定义。 定义5设函数 在 的邻域内（ 可除外）有 定义，A为一个常数。如果对任意给定的正数 （不论多么小），总存在正数 ，使得对于适合 不等式 的一切x，对应的函数值 都满足不等式 ，则称常数A为当 时 的极限。记作：,2.在极限定义中，应着重理解以下几点 1） 是预先给定的任意小的正数。 2）两个绝对值不等式的关系（即 与 ）。 3）函数 在 时的极限值与 在 点的函数值是两个不同的概念，两者不能 混为一谈。 3.极限 的几何意义。,例 证明 证明对任意给定的 ，要使 ，只须 取 ，对任给 存在 当 时

6、，就有 成立，所以 。,4. 函数在 点左、右极限。 定义6对于任意给定的正数 总存在正数 ， 使得对于适合不等式 （或 ）的一切x，对应的函数值 都满足不等式 。则称常数A为 函数 在 点的左（或右）极限，记作 或 （ 或 ）。,定理2 存在的充分必要条件是函数 在 点的左、右极限存在且相等。 即 例 讨论函数 当 时的极限。 解 函数的左、右极限都存在，但不相等，因而 不存在。,2.2.3 函数极限的性质,定理3 （同号性定理）如果 而且 （或 ），则必存在x0的某一邻域，当x在该邻 域内（x0点可除外），有 （或 ）。 定理4 如果 ， 且在x0的某一邻域内 （ ），恒有 （或 ），则

7、（或 ）。 注意 在定理4中，如果定理条件改为 我们 不能得出 的结论，也只能是 。,例如 函数 当 时，恒有 由极限定义可以证明 ，这时 而不是 。 与数列极限类似，对函数极限我们还有下面两 个定理： 定理5 如果 存在，则极限值是唯一的。 定理6 如果 存在，则 在 点的某 一邻域内（ ）是有界的。,2.3 无穷小与无穷大2.3.1 无穷小,当 （或 ）时，函数 的极限为 零，则称函数 当 （或 ）时为无穷小。 定义7如果对于任意给定的 总存在 （或 M0 ），使得对于适合不等式 （或 ）的一切x，对应的函数值 都满足 不等式 ，则称函数 当 （或 ） 时为无穷小。 记作： （或 ）。,注

8、意 无穷小不是一个很小的数，而是一个 以零为极限的变量。但是零是可作为无穷 小的唯一的常数，因为如果， 则对 任给的 ，总有 ，即常数零满 足无限小的定义，除此以外，任何无论多 么小的数，都不满足无穷小的定义，都不 是无穷小。,2.3.2无穷大,定义8 如果对于任意给定的正数M（不论多 么大），总存在 （或X0 ），使得对适 合不等式 （或 ）的一切x，所对应的函数值 总满足 ，则称 当 （或 ）时，为无穷大，记作： 或,注意（1）无穷大是函数在某一变化过程中极限 不存在的一种情况，为了表示函数的这一变化 趋势，我们说函数的极限是无穷大，仍借用极 限符号表示。无穷大不是数，不能与很大的数 相混

9、淆。 （2）无穷大与无界函数的关系，当自变量 在某种变化过程中，如果函数 是无穷大， 则自变量变化到一定阶段以后 就会永远大 于任意给定的正数M（不论M多么大）。这说明， 在自变量相应范围内，函数 是无界的，反 之不一定成立。,例 试证当 时， 是无穷大量。 证明对任意给定的正数M，要使 只须 所以取值 则对于 适合 的一切x，有 。 这就证明了 。,2.3.3无穷小与无穷大之间的关系,定理7 在自变量同一变化过程中， 1）如果函数 为无穷大，则 为 无穷小。 2）如果函数 为无穷小，且 则 为无穷大。,2.3.4 具有极限的函数与无穷小的关系,定理8 在自变量的同一变化过程中， 1）具有极限

10、的函数等于极限值与一 个无穷小的和。 2）如果函数可表为常数与无穷小之 和，则该常数就是函数的极限值。 即若函数 在 （或 ）时的极限 为A，则 或简记为 。其 中 为 （或 ）时的无穷 小，反之，若上式成立，则 在 （或 ）时的极限值为A。,2.3.5 关于无穷小的几个性质,定理9 有限个无穷小的代数和仍为无穷小。 定理10 有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小。 例 证明 证明 因为当 时， 是无穷小,而函 数 是有界函数，即 由定理10可得,推论1 常数与无穷小的乘积仍为无穷小。,推论2 有限个无穷小的乘积仍为无穷小。,2.3.6 无穷小量的阶,定义9设 是同一变化过程中的两个无穷小量。 1

11、)如果 则称 是 比较高阶的无穷小量， 记为 2)如果 （c 为常数）则称 为同阶无穷 小量。 3)如果 则称 为等价无穷小量记为 。 4)如果 则称 是比 较低阶的无穷小量。,例 所以 。 所以 与 同阶。 所以 是比x 较高阶的无穷小。 注意 两个等价无穷小可以互相代换，且有下列性质： 如果当 （ ）时， 均为无穷 小量，且 而且 存在，则 。,例 当时 ，将下列函数与进行比较，哪些是高 阶无穷小？哪些是低阶无穷小？哪些是同阶无穷小？ 哪些是等价无穷小？ 1） 2） 3） 4） 解： 1）因为 故当 时， 是比 高阶的无穷小。 2）因为 故当 时， 是比 高阶的无穷小。,3）因为 故当 时

12、，（ ）与 是同阶无穷小。 4）因为 故当 时，（ ）与 是等价无穷小。,例 求 解 当 时， 所以,例 求 解 当 时， 于是 注意 用等价无穷小作代换时，一定要在乘 除运算中使用不能在加减运算中使用，如 本题若用 分别代替 和 则此极限 为零 是错误的。,2.4极限的四则运算法则,定理11两个函数 ，的代数和极限等于它 们的极限的代数和。即 定理1可推广到有限个函数的情况。例如， 若的极限都存在，则由定理11， 有 =,定理12两个函数 乘积的极限，等于他们 限的乘积，即 定理12可推广到有限个函数相乘的情况，例如， 若 极限都存在，则 推论3 若 存在，而c为常数，则 说明，求极限时，常

13、 数因子可以提到极限符号外面。 推论4 若 存在，而n为正整数， 则 。,定理13 如果分母的极限不为零，则两个函数 ，商的极限，等于它们极限的商。 定理14 如果 ，且 则 例 求 解 当 时，分母的极限为零，分子的极 限为-1，不能应用商的极限定理，但因其倒数 的极限 根据无穷小的倒 数是无穷大的定理，得,例 求 解 分子分母同除最高次项 ，再求极限， 即 例 求 解 原式=,例 求 解 原式=,例 求 解 当 时，这是无穷多项的和，因此 不能用和的极限运算法则逐项求极限，极限 的四则运算法则只是对有限项有效。对数列 变形后，再求极限。由于， =,例 求设函数 讨论当 时， 的极限是否存在

14、。 解 是分段函数 的分界点，在 两 侧， 是由两个不同的解析式子表示，当 时，两侧要分别考虑，所以必须分别求 的 左、右极限。 当 时， 故 当 时， 故 左、右极限都存在，但不相等，所以 不存在。,2.5 极限存在准则与两个重要极限2.5.1 准则（两头夹定理）,定理15（准则）设函数 在 的 某个邻域内（ 点可除外）满足条件： 1） 2） ， 则 。,例 证明 证明次式等价于证明 当 时，有下列不等式成立： （因为，当 时 。 ） 即 时，0的极限是0， 的极限也是0， 由夹挤定理得， 故,2.5.2 准则单调有界数列必定有极限,定理16（准则）如果单调数列有界，则它 的极限必存在。 2

15、.5.3 两个重要极限 1. 例 求 解,例 求 解 原式=,例 求 解1 令 所以 解2 原式=,2. 其中e是无理数，证明略。 例 求 （ ） 解：原式=,例 求 解法原式= 解法令 则 所以,例 求 解法 令 则 当 时， 所以 解法 原式=,2.6函数的连续性与间断点2.6.1 函数的连续性,1.增量（改变量） 设变量 从它的一个初值 变到终值 则初值与终值之差 称作变量 的增量或改变量，记作 ，即 2.函数连续的定义,定义10 设函数 在点 的某一邻域内与定 义，如果当自变量的增量 趋向于零时， 对应地函数增量 也趋向于 零，即 则称函数 在点 处连续。 设 ，当 时，有 ，于是 定

16、义1又可写为 即,定义11 设函数 在点 的某一邻域内有定义 如果 当 时的极限存在，且等于它 在 点处的函数值 ，即 则称 在点 处连续。 定义12 设函数 在点 处的某一邻域内有定 义，如果任意给定的 ，总存在 使得对 于适合不等式 的一切 ，所对应的函数 值 都满足不等式 则称 在 点处连续。,3.左连续与右连续 设函数 在区间 内有定义，如果左 极限 存在，且等于 ，即 就说函数 在 b点处左连续。 设函数 在区间 内有定义，如果右 极限 存在，且等于 ，即 就说函数 在 a点处左连续。,4.函数在一点处连续的条件 1） 在 处有定义； 2）当 时， 的极限 存在； 3）极限值等于函数

17、 在 点处的函数 值 。 如果上述三个条件中，有一个不满 足，函数 在点 也不连续。,例 讨论函数 在 处是否 连续。 解：因为 ，即 在 处有定义 而 故 在 点处极限存在，即 且有 ， 所以函数 在 点处是连续的。,例 讨论函数 在 处的连续性 解：当 时，函数有定义， 而 即 处的左右极限存在，但不相等， 故在 点处极限不存在，所以函数 在 点处不连续。,例 已知函数 在点 连续， 问a，b应满足什么样的关系？ 解 因为 在 点处连续，有 及 当 即 时， 在点 处连续。,5.连续与极限的关系 如果函数 在点 处连续，当 时 的极限一定存在；反之，则不一定成立。,2.6.2 函数的间断点

18、,1.函数的间断点 2.间断点的分类 1）第一类间断点 如果 是函数 的间断点，且 在 点的左、右极限 和 都存在， 则称 是函数 的第一类间断点。 2）第二类间断点。 如果函数 在 点的左、右极限至少 有一个不存在,则称 点为第二类间断点。,例 讨论函数 在 处的连 续性，并确定其类型。 解 在 点有定义，即 在 点处的左右极限存在但不相等， 函数 在 点间断。且为第一类不 可去间断点。（见图2.11）,例 讨论函数 在点 处的连续性，并确定 其类型。 解 因为 ，在 处没有定义，所以 在 处间断，但 故 点是函数 的第一类可去间断点，如果 补充定义，令 在 处为 ，那么得到一 个新的函数：

19、 该函数在 点处是连续的。,例 研究函数 在 点是否连续。 解：当 时， 的左、右极限都 不存在，所以 在 点处间断， 且为 第二类间断点。 （见图2.13所示）,2.7连续函数的和、差、积、商的连续性2.7.1 连续函数的和、差、积、商的连续性,定理17如果函数 在 点处连续，则它们的 和、差、积、商（分母不为零）在 点也连续。 2.7.2 反函数的连续性 定理18 如果函数 ，在某区间上是单调增加 （或单调减少）的连续函数，则它的反函数 也是在对应的区间上单调增加（或单调减少）的连续函数。,2.7.3复合函数的连续性,1.复合函数的极限 定理19 设函数 ，当 时的极限存 在且等于a，即 ，而函数 在点 处连续，则复合函数 当 时的极限存在，且等于 即 。,例 求 解：函数 可看成是由 复合而成，而 在 点处函数 连续，由定理19 可得,2.复合函数的连续性 定理20 设函数 ，在 点连续，即 而函数 在点 处连续，则复合函数 ，在 点 处连续。 即,2.7.4 初等函数的连续性,1.基本初等函数在它们的定义域内都是连续的 2.初等函数在其定义域内都是连续的