计算机数学基础一二章3

1、1,练习,2,习题答案,3,练习,求下列函数的导数,4,凡是因变量y用自变量x的表达式表示的函数yf(x)称为显函数。前面介绍的求导法适用于显函数。但有时两个变量之间的函数关系由一个方程F(x,y)0确定，这种由方程所确定的函数称为隐函数。有些隐函数可以变换为显函数，但也有不能变换为显函数的。对隐函数求导就是把其中的一个变量看成另一个变量的函数（虽然并没有用显式表示）。,1.4.4 隐函数求导法,5,例1-31 求由方程xyyx80所确定的函数的导数。 解 方法1 变换为显函数 ，因此 （a） 方法2 原方程两边分别对求导（注意：y是x的函数），得 因此 （b）,1.4.4 隐函数求导法（续一

2、）,6,例1-32 用隐函数求导法求函数yarcsinx的导数。 解 将yarcsinx改写成xsiny ，两边对x求导，得 因为函数yarcsinx的定义域是1,1，值域是 ，因此cosy0，所以 即,1.4.4 隐函数求导法（续二）,7,仿此题可以证明 例1-33 求椭圆 在点 处的切线方程。 解 把椭圆方程两边分别对求导，有 从而有,1.4.4 隐函数求导法（续三）,8,续解 将 代入上式得 将有关数据代入切线方程（1-20）得 整理后得,1.4.4 隐函数求导法（续四）,9,补充：导数的应用,一、函数单调性的应用 由导数的几何意义知 （其中a为曲线f(x)在点x0处的切线与x轴正向的夹

3、角）。 由图可知，若f(x0)0，则曲线切线的倾角a都是锐角，函数f(x)单调递增； 若f(x0)0,则曲线切线的倾角a都是钝角，函数f(x)单调递减。 因此，可以利用导数的正负来判断函数的单调性。,10,函数单调递增。,的夹角,，斜率为正，,即,11,函数单调递减。,的夹角,，斜率为负，,即,12,上单调增加。,，,13,判断函数单调性的一般步骤：,（1）给出函数定义域；,（2）求一阶导数，用一阶导数的根和一阶导数不存在的点来划分定义区间；,（3）判定一阶导数在每个子区间上的符号。,14,实例,例1 讨论 的单调性 解：先求出f(x)函数的导数，通过考虑导数的正负来判定函数的单调性。 因为此

4、函数的定义域是R，而当 ，函数f(x)单调递减；当x2时， 函数f(x)单调递增。,15,16,例2,解：,列表,函数的定义域为,17,例3,讨论函数,的单调性。,解： 函数的定义域为：,单调减少；,单调递增；,18,例4 判断函数,的单调性。,，,，,解 在,个点处导数为0，在其余各点处均为正（或均为负），,19,例5 证明,，,证 作辅助函数,即,所以,20,练习,讨论下列函数的单调性: 证明：,21,例6 证明,证 作辅助函数,故,即,即,22,导数的应用,二、求函数的极值,23,定义 设函数,在邻域,内有定义，,，皆有,（或,（即极值点必然是驻点）,定理1 （极值的必要条件）,若对任何

5、,（或极小值）。而点,注意，这里的驻点是极值点的必要条件，但非充要条件，,另外极值点也可能出现在导数不存在的点。,24,定理2（极值第一充分条件）,在点,的某邻域,内连续可导，,时,；,时，,时,时，,设函数,（1）若,（2）若,，,25,列表：,由充分条件得知，极大值,极小值,的极值,，得驻点,例1 求,解：,函数的定义域为：,26,定理3（极值的第二充分条件）,存在,则,为极小值；,为极大值。,设,（1）若,27,例2 求,的极值,得驻点,解：,函数,的定义域为：,令,28,导数的应用,三、最大值与最小值 分析：函数f(x)的最值只可能在极值点，端点取得。而所有的驻点和不可导点一定包含了可

6、能的极值点。 求函数最值的步骤为： （1）先求出的所有驻点和不可导点 （2）计算处各驻点，不可导点，以及端点上的函数值 （3）再将这些点上的函数值进行比较,29,例3 求,上的最值。,得出驻点,又,。,在,解：令,（舍去）,30,例4 求,上的最值,，得驻点,由,。,解：令,31,例5 某人犁出的沟长度为常数,（2）若所围土地为圆形，面积会更大吗？,，宽为,，则有,，,令,得唯一驻点,，问：,解（1）设矩形长为,（1）所围成土地为怎样的矩形面积最大？,32,由,知,为唯一的最大值点,由此可见,犁沟为正方形时土地面积最大。,因,，所以周长相同时圆形土地比正方形面积要大。,（2）若土地为圆形，则,33,例6 将边长为,的一块正方形铁皮四角截去一个,，则,令,得驻点,（舍去），,，,所以截去的正方形边长为,时，容积最大。,相同的正方形，折成一个方盒，问如何截法容积最大。,解：设正方形边长为,34,这里要特别指出：若函数,在某个区间