第四章波动和超声波

1、2020/9/6,1,第四章 振动波动和超声波,2020/9/6,2,广义振动：任一物理量(如位移、电流等)在某一 数值附近反复变化。,机械振动：物体在其平衡位置附近作来回往复的运动。,2020/9/6,3,4.1 简 谐 振 动,谐振动与谐振动方程 用旋转矢量表示谐振动 谐振动的特征量 谐振动的能量 几种常见的简谐振动,2020/9/6,4,简谐振动是最简单最基本的线性振动。,简谐振动：一个作往复运动的物体，如果其偏离平衡位置的位移 x（或角位移）随时间t 按余弦（或正弦）规律变化的振动。,一、简谐振动的方程,2020/9/6,5,1、简谐振动的运动学方程,弹簧振子：弹簧物体系统,平衡位置：

2、弹簧处于自然状态的稳定位置,轻弹簧质量忽略不计，形变满足胡克定律,物体可看作质点,简谐振动 微分方程,简谐振动 受力特点,2020/9/6,6,其通解为：,简谐振动的微分方程,简谐振动的 运动学方程,2020/9/6,7,动力学定义当物体在跟位移成正比而方向相反的弹性力作用下，物体做简谐振动。,运动学定义谐振动物体的加速度跟位移成正比而方向相反，谐振动运动微分方程形如：,2、简谐振动的定义：,是谐振动的最基本判据。,2020/9/6,8,若初始条件为：,3、简谐振动的速度和加速度,将位移求导可得：,4、方程中的A、都为恒量， 由系统性质决定,2020/9/6,9,频率 单位时间内振动的次数。,

3、2、周期 、频率、角（圆）频率,周期T 物体完成一次全振动所需时间。,描述简谐振动的特征量有：振幅、周期、频率和相位,1、振幅 A,简谐振动物体离开平衡位置的最大位移（或角位移）的绝对值。,二、简谐振动的特征量,2020/9/6,10,0 是t =0时刻的位相初相位,3、相位和初相位0,相位，决定谐振动物体的运动状态x,v,a,对弹簧振子,角频率,称：固有周期、固有频率、固有角频率,2020/9/6,11,位相差 两振动相位之差。,a.当 =2k ,k=0,1,2,两振动步调相同,称同相,b.当 = (2k+1) , k=0,1,2. 两振动步调相反,称反相,2 超前于1 或 1 滞后于 2,

4、位相差反映了两个振动不同程度的参差错落，可比较两振动的步调。,2020/9/6,12,4、比较 x、v、a 的相和位相和步调,v 比x超前 /2 a 比x超前 ，比v超前 /2,2020/9/6,13,谐振动的位移、速度、加速度之间的位相关系,2020/9/6,14,例 1: 一弹簧振子质量为m = 2.00 10-2 kg ,弹性系数为k = 50.0 N/m.初始位移 和初始速度分别为3.00 10-2 m 和 1.32 m/s. 试求系统的: (1) 角频率; (2) 初位相; (3) 振幅; (4) 周期; (5) 频率.,解: 根据已知条件: m = 2.00 10-2 kg k =

5、 50.0 N/m x0 = 3.00 10-2 m v0 = 1.32 m/s 可得以下结论:,2020/9/6,15,(1). 弹簧振子的角频率决定于弹性系数与质量,即:,(rad/s),(2). 初位相决定于系统的初始位移和速度,即: t = 0,有 x0 = A cos = 3.00 10-2 m v0 = - A sin = -1.32 m/s,所以:,2020/9/6,16,(3). 振幅:,(4). 周期为:,(5). 频率为f = 1/T = 1/0.126 = 7.94 Hz,2020/9/6,17,现在讨论描述简谐振动的图示法。,矢端点 M 在 振动方向 (x 轴)上的投影

6、点的运动与谐振动有何关系呢?,为初相,旋转矢量从平衡位置所引的大小等于振幅的矢量.它以角频率 作逆时针匀速转动，某一时刻与振动方向(X轴)间的夹角即为相位 。,三、简谐振动的旋转矢量表示法,2020/9/6,18,1. M 点在 x 轴上投影点的运动,为简谐振动。,2. M 点的运动速度为,在x 轴上投影点P 的运动速度正是振动速度,2020/9/6,19,3. M 点的加速度,在x轴上投影点P 的加速度振动物体的加速度,振幅矢量的矢端点M在x轴上的投影点的运动为谐振动。,M点速度在x轴上投影，为谐振动的速度。,M点加速度在x轴上投影，为谐振动的加速度。,结论：,2020/9/6,20,4、谐

7、振动与旋转矢量的对应关系,A,谐振动,旋转矢量A,t+,T,振幅,初相,相位,圆频率,谐振动周期,半径,初始角坐标,角坐标,角速度,圆周运动周期,2020/9/6,21,以弹簧振子为例,谐振动系统的能量 = 系统的动能Ek + 系统的势能Ep,某一时刻，谐振子速度为v，位移为x,谐振动的动能和势能是时间的周期性函数,四、简谐振动的能量,2020/9/6,22,2020/9/6,23,单摆,结论：单摆的小角度摆动振动是简谐振动。角频率,振动的周期分别为：,当 时,摆球对C点的力矩,五、几种常见的简谐振动,2020/9/6,24,铅直悬挂的弹簧振子,平衡位置弹簧伸长x0,在任意位置 x 处，合力为

8、,结论：物体受弹性力和恒力共同作用，仍作谐振动， 平衡位置为受外力为0的位置。,2020/9/6,25,例2 已知某简谐振动的 速度与时间的关系曲线如图所示，试求其振动方程。,解：方法1,设振动方程为,2020/9/6,26,故振动方程为,2020/9/6,27,4.2 简谐振动的合成,同方向同频率的2个谐振动的合成,2020/9/6,28,一、同方向、同频率谐振动的合成,合振动是简谐振动, 其频率仍为,质点同时参与同方向 同频率的谐振动 :,合振动 :,一、同方向同频率的2个简谐振动的合成,2020/9/6,29,如 A1=A2 , 则 A=0,两分振动相互加强,两分振动相互减弱,分析,20

9、20/9/6,30,4.3 阻尼振动 受迫振动 共振,阻尼振动 受迫振动与共振,2020/9/6,31,阻尼振动,能量随时间减小的振动称阻尼振动或减幅振动。,摩擦阻尼： 系统克服阻力作功使振幅受到摩擦力的作用，系统的动能转化为热能。,辐射阻尼： 振动以波的形式向外传播，使振动能量向周围辐射出去。,一、阻尼振动,2020/9/6,32,1、受迫振动 振动系统在周期性外力作用下的振动。,弱阻尼谐振子系统在策动力作用下的受迫振动的方程,令,周期性外力策动力,二、受迫振动,2020/9/6,33,稳定解,(1)频率: 等于策动力的频率 ,(2)振幅:,(3)初相:,特点:稳态时的受迫振动按简谐振动的规

10、律变化,2020/9/6,34,在一定条件下, 振幅出现极大值, 振动剧烈的现象。,a)、位移共振,(1)共振频率 :,(2)共振振幅 :,三、共振,2020/9/6,35,4.4 波动方程,机械波的产生和传播 波面与波线 波速、波长、波的周期和频率 平面简谐波,2020/9/6,36,1、机械波的形成的条件,a)、有作机械振动的物体，即波源,b)、有连续的弹性介质,2、波可分为纵波和横波,横波振动方向与传播方向垂直，如绳波、电磁波,纵波振动方向与传播方向相同，如声波。,一、机械波的产生和传播,能传播横波的介质需有切变弹性，如：固体 能传播纵波的介质需有张变或体变弹性， 如：固体、液体和气体,

11、2020/9/6,37,3、波的形成过程,2020/9/6,38,结论：机械波向外传播的是波源（及各质点）的 振动状态和能量。而不是质点的传播。,2020/9/6,39,简谐波:波源以及介质中各质点的振动都是谐振动。,任何复杂的波都可以看成若干个简谐波叠加而成。,2020/9/6,40,波场-波传播到的空间。,波面（波阵面）-波场中同一时刻振动位相相同 的点的轨迹。,波前-某时刻波源最初的振动状态传到的波面, 即最前面的波面。,波线-代表波的传播方向的射线。,各向同性均匀介质中，波线恒与波面垂直.,沿波线方向各质点的振动相位依次落后。,二、波面与波线,2020/9/6,41,平面波,球面波,2

12、020/9/6,42,振动状态（即位相）在单位时间内传播的距离称为波速 ，也称之相速。,1、波速 u,在固体媒质中纵波波速为,G、 Y为媒质的切变弹性模量和杨氏弹性模量 为介质的密度,在固体媒质中横波波速为,在同一种固体媒质中，横波波速比纵波波速小些,三、描述波动的物理量,2020/9/6,43,在液体和气体只能传播纵波，其波速为：,B为介质的体变弹性模量 为密度,2、波的周期和频率：,波的周期：一个完整波形通过介质中某固定点所需 的时间，用T 表示。,2020/9/6,44,3、波长,波的频率：单位时间内通过介质中某固定点完整波 的数目，用 表示。,同一波线上相邻的位相差为2 的两质点的距离

13、。,（都与波源一致）,或: 振动在一个周期内传播的距离。,2020/9/6,45,. 波的周期和频率与介质无关，由波源确定;,波速与波源无关，由媒质确定。,注意几点,. 同一波在不同介质中频率不变。,. 不同频率的波在同一介质中波速相同。,描述波的特征物理量,2020/9/6,46,1、平面简谐波的波动方程,平面简谐波 简谐波的波面是平面。(可当作一维简谐波研究）,一平面简谐波在理想介质中沿x轴正向传播， x轴即为某一波线,设原点振动表达式：,y表示该处质点偏离平衡位置的位移 x为p点在x轴的坐标,四、平面简谐波,2020/9/6,47,p点的振动方程：,t 时刻p处质点的振动状态重复,时刻O

14、处质点的振动状态,O点振动状态传到p点需用,沿x轴正向传播的平面简谐波的波动方程,沿着波传播方向，各质点的振动依次落后于波源振动,为p点的振动落后于原点振动的时间,2020/9/6,48,波矢，表示在2 长度内所具有的完整波的数目。,沿x轴负向传播的平面简谐波的波动方程：,2020/9/6,49,2、波动方程的物理意义,1、如果给定x，即x=x0,x0处质点的振动初相为,x0处质点落后于原点的位相为,若x0 = 则 x0处质点落后于原点的位相为2,是波在空间上的周期性的标志,2020/9/6,50,2、如果给定 t，即 t=t0 ， 则 y=y(x),表示给定时刻波线上各质点在同一时刻的位移分

15、布,即给定了t0 时刻的波形,同一波线上任意两点的振动位相差,2020/9/6,51,3.如x,t 均变化y=y(x,t)包含了不同时刻的波形,t时刻的波形方程,t+t时刻的波形方程,在时间t内整个波形沿波的传播方向平移了一段距离x,行波,2020/9/6,52,五、举例,1.已知波动方程求各物理量,2.已知各物理量求波动方程,2020/9/6,53,例2：波源振动方程为,波速,，沿x 轴正向,求：谐波方程；,波长、频率；,处质点振动与,波源的相位差。,解：,波源,波动方程,举例,2020/9/6,54,.波长、频率,举例,2020/9/6,55,.,x = 5m 处相位,相位差,P 点比波源

16、落后20 ， 即波源完成 10 个全振动后，振动传播到P点（P 点开始振动）。,质点振动与波源的相位差。,波源的相位,波源,5m处,举例,2020/9/6,56,例3：如图所示，平面简谐波向右传播速度 u =0.08 m/s，求：.波源O点的振动方程；.谐波方程；. P 点的振动方程；. a、b 两点振动方向。,解：.设波源,举例,2020/9/6,57,t = 0 时，o点处的质点向 y 轴负向运动,.波动方程,波源的振动方程,举例,2020/9/6,58,.,P 点的振动方程,. a、b 振动方向，作出t 后的波形图可知。,举例,2020/9/6,59,4.5 波的能量 能流密度,波的能量

17、 能量密度 波的强度 能流密度 波的衰减,2020/9/6,60,1、波的能量,波不仅是振动状态的传播，而且也是伴随着振动能量的传播。,有一平面简谐波,质量为,在x处取一体积元,质点的振动速度,体积元内媒质质点动能为：,一、波的能量,2020/9/6,61,可以证明体积元内媒质质点的弹性势能为：,体积元内媒质质点的总能量为：,1）在波动的传播过程中，任意时刻的动能和势能不仅大小相等而且相位相同，同时达到最大，同时等于零。,说明,2）在波传动过程中，任意体积元的能量不守恒。,2020/9/6,62,2、能量密度：单位体积介质中所具有的波的能量。,3、平均能量密度：一个周期内能量密度的平均值。,2

18、020/9/6,63,能流密度（波的强度）：单位时间通过垂直于波动 传播方向的单位面积的平均能量。,二、能流密度,2020/9/6,64,1、波的衰减：,波在实际介质中传播时，由于波动能量总有一部分会被介质吸收，波的机械能不断减少，波强亦随距离的增加而逐渐减弱的现象为波的衰减。,三、波的衰减,2020/9/6,65,波通过厚度为dx的介质,波强的衰减规律：,2、波衰减的规律：,2020/9/6,66,4.6 波的干涉,波的叠加原理 波的干涉 驻波,2020/9/6,67,几列波在同一介质中传播时，在相遇前和相遇后都保持原来的特性（频率、波长、振动方向、传播方向等）不变，与各波单独传播时一样，而

19、在相遇处各质点的振动则是各列波在该处激起的振动的合成。,波传播的独立性原理或波的叠加原理：,说明： 振动的叠加仅发生在单一质点上 波的叠加发生在两波相遇范围内的许多质点上,能分辨不同的声音正是这个原因,一、波的叠加原理,2020/9/6,68,两列波若频率相同、振动方向相同、在相遇点的位相相同或位相差恒定，则合成波场中会出现某些点的振动始终加强，另一点的振动始终减弱（或完全抵消），这种现象称为波的干涉。,1、相干条件,具有恒定的相位差;,振动方向相同.,两波源具有相同的频率;,满足相干条件的波源称为相干波源。,二、波的干涉,2020/9/6,69,传播到p点引起的振动分别为：,在p点的振动为同

20、方向同频率振动的合成。,设有两个相干波源S1和S2 发出的简谐波在空间p点相遇。,合成振动为：,2、相干情况：,2020/9/6,70,其中：,对空间不同的位置，都有恒定的，因而合强度在空间形成稳定的分布，即有干涉现象。,2020/9/6,71,相长干涉的条件：,相消干涉的条件：,2020/9/6,72,当两相干波源为同相波源时，相干条件写为,相长干涉,相消干涉, 称为波程差,说明： 当两相干波源为同相波源时，在两列波的叠加空间内波程差等于波长整数倍的各点，合振幅最大（加强） 波程差等于半波长奇数倍的各点，合振幅最小（减弱）或为0（抵消）,2020/9/6,73,例：位于A、B两点的两个波源振

21、幅相等，频率都是100赫兹，相位差为，其A、B相距30米，波速为400米/秒，求:A、B连线之间因相干干涉而静止的各点的位置。,解：如图所示，取A点为坐标原点，A、B连线为X轴， 取A点的振动方程 :,在X轴上A点发出的行波方程：,B点的振动方程 :,2020/9/6,74,B点的振动方程 :,在X轴上B点发出的行波方程：,因为两波同频率，同振幅，同方向振动，所以相干为静止的点满足：,2020/9/6,75,相干相消的点需满足：,因为：,2020/9/6,76,2、驻波的波动方程：,1、驻波的形成： 驻波是两列振幅、频率相同，在同一直线上传播方向相反的简谐波的叠加。,三、驻波,2020/9/6

22、,77,函数不满足,它不是行波,它表示各点都在作简谐振动，各点振动的频率相同，是原来波的频率。但各点振幅随位置的不同而不同。,驻波的特点：不是振动的传播，而是媒质中各质点都作稳定的振动。,2020/9/6,78,3、波腹与波节 、驻波振幅分布特点,2020/9/6,79,相邻波腹间的距离为：,相邻波节间的距离为：,相邻波腹与波节间的距离为：,因此可用测量波腹间的距离，来确定波长。,2020/9/6,80,4、驻波的位相的分布特点,在波节两侧点的振动相位相反。同时达到反向最大或同时达到反向最小。速度方向相反。,两个波节之间的点其振动相位相同。同时达到最大或同时达到最小。速度方向相同。,2020/

23、9/6,81,5、驻波能量,驻波振动中无位相传播，也无能量的传播,一个波段内不断地进行动能与势能的相互转换， 并不断地分别集中在波腹和波节附近而不向外传播。,2020/9/6,82,当波从波疏媒质垂直入射到波密媒质界面上反射时，有半波损失，形成的驻波在界面处是波节。,入射波在反射时发生反向的现象称为半波损失。,当波从波密媒质垂直入射到波疏媒质界面上反射时，无半波损失，界面处出现波腹。,较大的媒质称为波密媒质； 较小的媒质称为波疏媒质.,四、半波损失,2020/9/6,83,4.7 声 波,频率在20Hz20KHz的振动称为声振动，所产生的 波能引起人的听觉，称声波。频率小于20Hz的声波为次

24、声波，频率大于20KHz的声波为超声波,一、声波的物理性质 声速：声波的传播速度。,声波是纵波，可以在固体、液体和气体等介质中传播。,声速决定于介质的性质和温度。,常温下空气中的声速为343m/s，在固体和液体中声速 要大得多,2020/9/6,84,2、声阻抗：声学中表征介质性质的物理量。,声阻抗可描述介质是声波的波疏或波密介质， u大则为波密介质，u小则为波疏介质。,2020/9/6,85,1、声强：声波的强度，即通过垂直于声波传播方向 单位面积单位时间内的能量。,二、声强级与听觉区域 响度级：,表达式：,2020/9/6,86,痛阈：人能忍受的最高声强。,听觉阈： 由20Hz、20KHz

25、，听阈，痛阈围成的区域范围。见P60,2、听觉阈：,引起人听觉的声波不仅有频率范围，还有声强范围。,听阈：能引起听觉的最低声强。,2020/9/6,87,3、声强级：,用声强表示声音强度范围较大。 如：1000Hz的声音听阈为10-12W/m2,痛阈为1W/m2 相差 12个数量级，表示起来不方便，声学上常采用对数标 度描述声强的等级，称为声强级，用L表示：,其中I0 = 10-12 Wm-2 为参考声强,2020/9/6,88,通常声强难以测定，声强级也可用声压来表示：,其中 P0 = 210-5 Nm-2 为参考声压,2020/9/6,89,例. 一台机器所产生的噪音强度为10-7 Wm-

26、2, 试计算: (1) 一台机器的声强级为多少？ (2) 两台机器同时开动时的声强级为多少？,解：,2020/9/6,90,4、响度级、等响曲线：,响度：人耳对声强大小的主观感受。,相同声强级不同频率时响度相同也可能不同,相同频率不同强度时响度不同,频率、响度、声强无一般规律可循，无直接联 系，完全由实验测得，将1000Hz的声音作为基准， 对于不同频率的声音变化其强度值，直至听起来感 觉与1000Hz的声音一样响，则为同一响度，同一响 度的声音为同一响度级，完全取决于人耳的感觉。,2020/9/6,91,2020/9/6,92,响度级 频率为1000Hz的声音其响度级与声强级有相同的量值。,

27、见书等响曲线图，每一曲线代表响度相同的各 声音，为等响曲线，利用等响曲线，将响度用响度级 表示。,2020/9/6,93,三、声波的多普勒效应,接收频率接收器(观察者)在单位时间内接收到的完整波的数目,多普勒效应当波源或观察者，或者两者同时相对于介质有相对运动时，观察者接收到的波的频率与波源的振动频率不同.,在波源和观察者均相对于介质为静止时，没有多普勒频移.,2020/9/6,94,(1) 波源不动，观察者以 相对于介质运动,观察者接收的频率,观察者向着波源运动,观察者远离波源运动,2020/9/6,95,(2) 观察者不动，波源以速度 相对于介质运动,2020/9/6,96,波源向着观察者运动,观察者接收的频率,波源远离观察者运动,2020/9/6,97,(3) 波源和观察者同时相对于介质运动,若波源与观察者不沿二者连线运动,2020/9/6,98,卫星跟踪系统等.,交通上测量车速；,医学上用于测量血流速度；,天文学家利用电磁波红移说明大爆炸理论；,用于贵重物品、机密室的防盗系统；,多普勒效应的应用,2020/9/6,99,4.8 超声波及其医学应用,超声