24.2.2.3切线长定理.ppt

1、切线长定理,宣威市羊场镇初级中学 张荣芝,1、圆的切线的定义是什么？,一、活动准备,2、圆的切线有哪些判定方法？,3、你能过圆上一点作出圆的切线吗？ 能说出作图的步骤吗？理论依据是 什么？,O,作图的步骤： 1、连接OA; 2、过点A作直线lOA.,二、活动一,1、你能过圆外一点作出圆的切线吗？,O,2、能说出作图的步骤吗？,3、理论依据是什么？,4、过圆外一点能作几条圆的切线吗？,过圆外一点作圆的切线，这点和切点之的线段的长，叫做这点到圆的切线长。,O,思考：切线与切线长有区别吗？,经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做切线长。,数学探究,O,切线长和切线的区别和联系: 切线是

2、直线，不可以度量；切线长是指切线上的一条线段的长，可以度量。,如图，纸上有一O ，PA为O的一条 切线，沿着直线PO对折，设圆上与点A 重合的点为B。,1.OB是O的一条半径吗？,2.PB是O的切线吗？,3.PA、PB有何关系？,4.APO和BPO有何关系？,数学探究,问题：,已知：,求证：,如图，P为 O外一点，PA、PB为 O的切线，A、B为切点，连结PO,切线长定理 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。,O,RtAOPRtBOP,O,P,A,B, PA=PB PO平分APB,1,2,连结OA、OB、,PA、PB与O相切，点A、B是切点,1

3、 =2,OAAP，OBBP,OAP=OBP=90,OA=OB，OP=OP,PA=PB,PA、PB分别切O于A、B,PA = PB,OPA=OPB,从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。,切线长定理,几何语言:,反思：切线长定理为证明线段相等、角相等提 供了新的方法,数学探究,思考：连结AB，则AB与PO有怎样的位置关系？ 为什么？,你还能得出什么结论？,E,例.PA、PB是O的两条切线，A、B为切点，直线OP交于O于点D、E，交AB于C。,B,A,P,O,C,E,D,（1）写出图中所有的垂直关系,OAPA，OB PB，AB OP,（3）写出图中所有的

4、全等三角形,AOP BOP， AOC BOC， ACP BCP,（4）写出图中所有的等腰三角形,ABP AOB,（5）若PA=4、PD=2，求半径OA,（2）写出图中与OAC相等的角,OAC=OBC=APC=BPC,已知：如图PA、PB是 O的两条切线，A、B为切点。直线OP交 O于D、E，交AB于C。,60,我们学过的切线，有 性质： 1、切线和圆只有一个公共点； 2、切线和圆心的距离等于圆的半径； 3、切线垂直于过切点的半径； 4、经过圆心垂直于切线的直线必过切点； 5、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。,6、从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角

5、。,六个,。,P,B,A,O,（3）连结圆心和圆外一点,（2）连结两切点,（1）分别连结圆心和切点,反思：在解决有关圆的切线长的问题时，往往需要我们构建基本图形。,反思：在解决有关圆的切线长问题时，往往需要我们构建基本图形。,1.切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。,小结：,PA、PB分别切O于A、B,PA = PB ,OPA=OPB,OP垂直平分AB,切线长定理为证明线段相等，角相等，弧相等，垂直关系提供了理论依据。必须掌握并能灵活应用。,一、判断 （1）过任意一点总可以作圆的两条切线（ ） （2）从圆外一点引圆的两条切线，它们的长相

6、等。,练习,(1)如图PA、PB切圆于A、B两点， 连结PO，则 度。,P,B,O,A,二、填空,25,（3）如图，PA、PB、DE分别切O于A、B、C，DE分别交PA，PB于D、E，已知P到O的切线长为8CM，则 PDE的周长为（ ）,A,A 16cm,D 8cm,C 12cm,B 14cm,D,C,B,E,A,P,1、已知，如图，PA、PB是O的两条切线，A、B为切点.直线 OP 交 O 于点 D、E，交 AB 于 C. （1）写出图中所有的垂直关系； （2）如果 PA = 4 cm , PD = 2 cm , 求半径 OA的长.,例2、如图，过半径为6cm的O外一点P作圆的切线PA、PB

7、，连结PO交O于F，过F作O切线分别交PA、PB于D、E，如果PO10cm， 求PED的周长。,（5）如果PA=4cm，PD=2cm，试求半径OA的长。,x,即：,解得： x=,3cm,半径OA的长为3cm,例1、如图，PA、PB是O的切线，A、B为切点，OAB30 （1）求APB的度数； （2）当OA3时，求AP的长,练习 如图，从O外一点P作O的两条切线，分别切O于A 、B，在AB上任取一点C作O的切线分别交PA 、PB于D 、E （1）若PA=2，则PDE的周长为_；若PA=a，则PDE的周长为_。 （2）连结OD 、OE，若P=40 ，则DOE=_;若P=k,DOE=_ 度 。,E,O

8、,C,B,D,P,A,4,2a,70 ,随堂训练,(2)观察OP与BC的位置关系，并给予证明。,(1)若OA=3cm, APB=60，则PA=_.,如图，AC为O的直径，PA、PB分别切O于点A、B，OP交O于点M，连结BC。,试一试：已知：如图，P为O外一点，PA，PB为O的切线，A和B是切点，BC是直径。C50， 求APB的度数 求证：ACOP。,试一试：如图1，一个圆球放置在V形架中。图2是它的平面示意图，CA和CB都是O的切线，切点分别是A、B。如果O的半径为 cm，且AB=6cm，求ACB。,思考：当切点F在弧AB上运动时，问PED的周长、DOE的度数是否发生变化，请说明理由。,思考

9、,如图,一张三角形的铁皮,如何在它上面截下 一块圆形的用料,并且使圆的面积尽可能大呢?,I,D,o,o,三角形的内切圆：,与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,三角形的内心：,三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心,三角形的内心是三角形三 条角平分线的交点，它到 三角形三边的距离相等。,数学探究,问题：如图ABC，要求画ABC的内切圆，如何画？,已知：ABC 求作：和ABC的各边都相切的圆,B,C,A,I,D,作法：1、作B、C的平分线BM、CN，交点为I 2、过点I作IDBC，垂足为D 3、以I为圆心，ID为半径作I I就是所求的圆,N,M,O,三角形的外接圆：,三角形的内切圆：,I,D,

10、明确,1.一个三角形有且只有一个内切圆；,2.一个圆有无数个外切三角形；,3.三角形的内心就是三角形三条内角平 分线的交点；,4. 三角形的内心到三角形三边的距离相等。,试说明圆的外切四边形的两组 对边的和相等,例3、 已知四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA分别与O相切于P、Q、M、N， 求证：AB+CD=AD+BC。,A,B,D,L,M,N,P,O,结论：圆的外切四边形的两组对边和相等。,已知：四边形ABCD的边 AB，BC，CD，DA和圆O分别相切于L，M，N，P。探索圆外切四边形边的关系。,C,（1）找出图中所有相等的线段,（2）填空：AB+CD AD+BC（,=),=,DN=DP

11、，AP=AL，BL=BM，CN=CM,比较圆的内接四边形的性质：,圆的内接四边形：角的关系,圆的外切四边形：边的关系,1、四边形ABCD外切于O,（1）若AB：BC：CD：DA=2：3：n：4 则n=_,（2）若AB：BC：CD=5：4：7，周长为48 则最长的边为_,2、,圆内接平行四边形是矩形,圆外切平行四边形是_,练习二,A,B,C,D,O,3、,圆内接梯形为等腰梯形,4、（1）已知圆外切等腰梯形的中位线长 为3cm，则腰长为_,（2）若圆外切等腰梯形，两腰之比为9：11 差为6cm，则中位线为_ 若S梯=150cm，则内切圆的直径为_,同学们要好好学习 老师期盼你们快快进步！,如图，

12、ABC的内切圆分别和BC，AC，AB切于D，E，F；如果AF=2cm,BD=7cm,CE=4cm,则BC= cm, AC= AB=,11,6cm,9cm,B,D,A,C,F,E,2,7,4,练习四 已知：ABC是O外切三角形，切点为D，E，F。若BC14 cm ，AC9cm，AB13cm。求AF，BD，CE。 ,A,B,C,D,E,F,x,x,y,y,z,z,解:设AF=Xcm,BD=Ycm,CE=Zcm则AE=AF=Xcm,DC=BD=Ycm,AE=EC=Zcm,依题意得方程组,已知:如图,O是RtABC的内切圆,C是直角,三边长分别是a,b,c. 求O的半径r.,（1）Rt的三边长与其内切

13、圆半径间的关系,13,探究三,求直角三角形内切圆的半径,A,B,C,E,D,F,O,如图，RtABC中，C90,BCa,ACb, ABc,O为RtABC的内切圆. 求：RtABC的内切圆的半径 r.,设AD= x , BE= y ,CE r, O与RtABC的三边都相切,ADAF,BEBF,CECD,解：设RtABC的内切圆与三边相切于D、E、F，连结OD、OE、OF则OAAC，OEBC，OFAB。,结论,A,B,C,E,D,F,O,如图，RtABC中，C90,BC3,AC4, O为RtABC的内切圆. （1）求RtABC的内切圆的半径 . （2）若移动点O的位置，使O保持与ABC的边AC、B

14、C都相切，求O的半径r的取值范围。,设AD= x , BE= y ,CE r, O与RtABC的三边都相切,ADAF,BEBF,CECD,解：（1）设RtABC的内切圆与三边相切于D、E、F，连结OD、OE、OF则OAAC，OEBC，OFAB。,解得,r1,在RtABC中，BC3,AC4, AB5,由已知可得四边形ODCE为正方形，CDCEOD, RtABC的内切圆的半径为1。,（2）如图所示，设与BC、AC相切的最大圆与BC、AC的切点分别为B、D,连结OB、OD,则四边形BODC为正方形。,A,B,O,D,C,OBBC3,半径r的取值范围为0r3,点评,几何问题代数化是解决几何问题的一种重

15、要方法。,例.如图，ABC中,C =90 ,它的 内切圆O分别与边AB、BC、CA相切 于点D、E、F，且BD=12，AD=8， 求O的半径r.,探究三,求一般三角形内切圆的半径,(2)已知:如图,ABC的面积为S,三边长分别为a,b,c. 求内切圆O的半径r.,B,D,E,F,O,C,A,如图，ABC的内切圆的半径为r, ABC的周长为l,求ABC的面积S.,解：设ABC的内切圆与三边相切于D、E、F，,连结OA、OB、OC、OD、OE、OF，,则ODAB，OEBC，OFAC.,SABCSAOBSBOC SAOC, ABOD BCOE ACOF, lr,设ABC的三边为a、b、c，面积为S，

16、 则ABC的内切圆的半径 r,结论,三角形的内切圆的有关计算,14,小练习,1.边长为3、4、5的三角形的内切圆的半径为,2. 边长为5、5、6的三角形的内切圆的半径为,3. 已知:ABC的面积S=4cm,周长等于 10cm.求内切圆O的半径r.,基础题：,1.既有外接圆,又内切圆的平行四边形是_. 2.直角三角形的外接圆半径为5cm,内切圆半径为1cm, 则此三角形的周长是_. 3.O是边长为2cm的正方形ABCD的内切圆,EF切O 于P点，交AB、BC于E、F，则BEF的周长是_.,E,F,H,G,正方形,22cm,2cm,选做题：如图，AB是O的直径， AD、DC、BC是切线，点A、E、

17、B 为切点，若BC=9，AD=4，求OE的长.,例：如图， ABC的内切圆O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AF、BD、CE的长。,x,13x,x,13x,9x,9x,例题选讲,1、如图，ABC中, ABC=50，ACB=75 ,点O 是ABC的内心，求 BOC的度数。,随堂训练,变式：ABC中, A=40，点O是ABC的内心，求 BOC的度数。, BOC= 90+ A,2、ABC的内切圆半径为 r , ABC的周长为 l ,求ABC的面积。（提示：设内心为O，连接OA、OB、OC。）,O,A,C,B,r,r,r,知识拓展,若ABC的

18、内切圆半径为 r , 周长为 l , 则SABC= lr,同学们要好好学习 老师期盼你们快快进步！,切线长定理 拓展,回顾反思,1.切线长定理,从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。,回顾反思,2.三角形的内切圆、内心、内心的性质,知识拓展,拓展一：直角三角形的外接圆与内切圆,1.直角三角形外接圆的圆心(外心)在_，半径为_.,2.直角三角形内切圆的圆心(内心)在_，半径r=_.,a,b,c,斜边中点,斜边的一半,三角形内部,知识拓展,3.已知：如图,PA、PB是O的切线，切点分别是A、B，Q为O上一点，过Q点作O的切线，交PA、PB于E、F点，已知PA=12cm，P=70,求：PEF的周长和EOF的大小。,知识拓展,4.RtABC中,C=90,a=3,b=4,则内切圆的半径是_.,1,5.直角三角形的外接圆半径为5cm,内切圆半径为1cm,则此三角