高考数学(理)二轮复习 第2部分 专题5 第3讲圆锥曲线中的最值、范围、证明问题

1、第3讲圆锥曲线中的最值、范围、证明问题(大题)热点一最值问题求圆锥曲线中三角形面积的最值的关键(1)公式意识，把求三角形的面积转化为求距离、求角等；(2)方程思想，即引入参数，寻找关于参数的方程；(3)不等式意识，寻找关于参数的不等式，利用基本不等式等求最值.例1(2019邯郸模拟)已知椭圆e：1(ab0)的左、右焦点分别为f1，f2，p为e上的一个动点，且|pf2|的最大值为2，e的离心率与椭圆：1的离心率相等.(1)求e的方程；(2)直线l与e交于m，n两点(m，n在x轴的同侧)，当f1mf2n时，求四边形f1f2nm面积的最大值.解(1)依题意可知解得则b2a2c21，故e的方程为y21

2、.(2)延长mf1交e于点m，由(1)可知f1(，0)，f2(，0)，设m(x1，y1)，m(x2，y2)，设mf1的方程为xmy，由得(m24)y22my10，故设f1m与f2n的距离为d，四边形f1f2nm的面积为s，则s(|f1m|f2n|)d(|f1m|f1m|)d|mm|d，而|f1f2|y1y2|2，当且仅当，即m时，等号成立，故四边形f1f2nm面积的最大值为2.跟踪演练1(2019焦作模拟)已知椭圆c：y21，点a，b(1,2).(1)若直线l1与椭圆c交于m，n两点，且a为线段mn的中点，求直线mn的斜率；(2)若直线l2：y2xt(t0)与椭圆c交于p，q两点，求bpq的面

3、积的最大值.解(1)设m(x1，y1)，n(x2，y2)，故y1，y1.将两式相减，可得y0，即(y1y2)(y1y2)0，因为a为线段mn的中点，所以x1x22，y1y21.得(x1x2)(y1y2)0，即1，故直线mn的斜率kmn1.(2)联立可得9x28tx(2t22)0，由0可得64t236(2t22)0，解得0t20，sbpq|t|，当且仅当t2，即t时取等号.故bpq的面积的最大值为.热点二范围问题圆锥曲线的范围问题的常见解法(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系或不等关系或已

4、知参数与新参数之间的等量关系等，则可利用这些关系去求参数的范围.例2(2019江西九校联考)已知椭圆e：1(ab0)的右焦点f(1,0)，a，b，c是椭圆上任意三点，a，b关于原点对称且满足kackbc.(1)求椭圆e的方程；(2)若斜率为k的直线与圆：x2y21相切，与椭圆e相交于不同的两点p，q，求|pq|时，k的取值范围.解(1)由题可设a(xa，ya)，b(xa，ya)，c(xc，yc)，所以两式相减得0，.即kackbc，所以a22b2，又c1，a2b2c2，所以a22，b21，所以椭圆e的标准方程为y21.(2)设直线方程为ykxm，交椭圆于点p(x1，y1)，q(x2，y2).联

5、立方程得(12k2)x24kmx2m220，8(2k21m2)0，得2k21m2，x1x2，x1x2.所以|pq|，因为直线ykxm与圆x2y21相切，所以d1|m|，即m21k2，代入2k21m2，得k0.所以|pq|2，因为|pq|，所以2，化简得k4k260，即(k23)(k22)0，解得k22或k23(舍).所以k或k，故k的取值范围为(，).跟踪演练2(2019合肥质检)已知抛物线c：x22py(p0)上一点m(m,9)到其焦点f的距离为10.(1)求抛物线c的方程；(2)设过焦点f的直线l与抛物线c交于a，b两点，且抛物线在a，b两点处的切线分别交x轴于p，q两点，求|ap|bq|

6、的取值范围.解(1)已知m(m,9)到焦点f的距离为10，则点m到准线的距离为10.抛物线的准线为y，910，解得p2，抛物线的方程为x24y.(2)由已知可判断直线l的斜率存在，设斜率为k，因为f(0,1)，则l：ykx1.设a，b，由消去y，得x24kx40，x1x24k，x1x24.由于抛物线c也是函数yx2的图象，且yx，则pa：yx1(xx1).令y0，解得xx1，p，从而|ap|.同理可得，|bq|，|ap|bq|)2.k20，|ap|bq|的取值范围为2，).热点三证明问题圆锥曲线的证明问题，常表现为证明相等、定值、过定点、点在曲线上等，一般是以直线与圆锥曲线为载体，综合使用圆锥

7、曲线的性质及位置关系进行论证.例3(2019南开模拟)已知椭圆c：1(ab0)的离心率为，以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆与直线xy0相切.(1)求椭圆c的方程；(2)过椭圆的右焦点f的直线l1与椭圆交于a，b，过f与l1垂直的直线l2与椭圆交于c，d，与l3：x4交于p，求证：直线pa，pf，pb的斜率kpa，kpf，kpb成等差数列.(1)解由题意知e，所以，即a2b2又因为以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆x2y2b2与直线xy0相切，所以圆心到直线的距离db，所以a24，b23，故椭圆c的方程为1.(2)证明由题意，知当直线l1的斜率存在且不为0时，设直线l1的方程为yk

8、(x1).由得(4k23)x28k2x4k2120.设a(x1，y1)，b(x2，y2)，利用根与系数的关系，得x1x2，x1x2，由题意知直线l2的斜率为，则直线l2的方程为y(x1)，令x4，得p点的坐标为，kpakpbkkk2kpf，即kpakpb2kpf，当直线l1的斜率不存在时，kpakpb0，kpf0，满足题意，所以kpa，kpf，kpb成等差数列.跟踪演练3(2019深圳调研)在平面直角坐标系xoy中，椭圆c的中心在坐标原点o，其右焦点为f(1,0)，且点在椭圆c上.(1)求椭圆c的方程；(2)设椭圆的左、右顶点分别为a，b，m是椭圆上异于a，b的任意一点，直线mf交椭圆c于另一

9、点n，直线mb交直线x4于q点，求证：a，n，q三点在同一条直线上.(1)解方法一设椭圆c的方程为1(ab0)，一个焦点坐标为f(1,0)，另一个焦点坐标为(1,0)，由椭圆定义可知，2a4，a2，b2a2c23，椭圆c的方程为1.方法二不妨设椭圆c的方程为1(mn0).一个焦点坐标为f(1,0)，mn1，又点p在椭圆c上，1，联立方程，解得m4，n3，椭圆c的方程为1.(2)证明设m(x1，y1)，n(x2，y2)，可设直线mn的方程为xmy1，由方程组消去x，并整理，得(3m24)y26my90，(6m)236(3m24)0，y1y2，y1y2，直线bm的方程可表示为y(x2)，将此方程与

10、直线x4联立，可求得点q的坐标为，(x22，y2)，6y2(x22)0，又向量和有公共点a，故a，n，q三点在同一条直线上.真题体验(2019全国，理，21)已知点a(2,0)，b(2,0)，动点m(x，y)满足直线am与bm的斜率之积为.记m的轨迹为曲线c.(1)求c的方程，并说明c是什么曲线；(2)过坐标原点的直线交c于p，q两点，点p在第一象限，pex轴，垂足为e，连接qe并延长交c于点g.证明：pqg是直角三角形；求pqg面积的最大值.(1)解由题设得，化简得1(|x|2)，所以c为中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，不含左右顶点.(2)证明设直线pq的斜率为k，则其方程为ykx(k0

11、).由得x .记u，则p(u，uk)，q(u，uk)，e(u,0).于是直线qg的斜率为，方程为y(xu).由得(2k2)x22uk2xk2u280.设g(xg，yg)，则u和xg是方程的解，故xg，由此得yg.从而直线pg的斜率为，因为kpqkpg1.所以pqpg，即pqg是直角三角形.解由得|pq|2u，|pg|，所以pqg的面积s|pq|pg|.设tk，则由k0得t2，当且仅当k1时取等号.因为s在2，)上单调递减，所以当t2，即k1时，s取得最大值，最大值为.因此，pqg面积的最大值为.押题预测已知椭圆w：1(ab0)的离心率为，点p(a，)，f1，f2分别是椭圆w的左、右焦点，pf1

12、f2为等腰三角形.(1)求椭圆w的方程；(2)过左焦点f1作直线l1交椭圆于a，b两点，其中a(0,1)，另一条过f1的直线l2交椭圆于c，d两点(不与a，b重合)，且d点不与点(0，1)重合.过f1作x轴的垂线分别交直线ad，bc于e，g.求b点坐标；求证：|ef1|f1g|.解(1)由已知e，a2b2c2，得bc，ac， pf1f2为等腰三角形，|f1f2|f2p|，则(2c)2(ac)2()2，代入ac，解得c1，a22，b21，椭圆w的方程为y21.(2)由题意可得直线l1的方程为yx1.与椭圆方程联立，由可求b.当l2与x轴垂直时，d，c两点与e，g两点重合，由椭圆的对称性，|ef1

13、|f1g|.当l2不与x轴垂直时，设c(x1，y1)，d(x2，y2)，l2的方程为yk(x1)(k1).由消去y，整理得(2k21)x24k2x2k220，则x1x2，x1x2.由已知，x20，则直线ad的方程为y1x，令x1，得点e的纵坐标ye.把y2k(x21)代入，得ye.由已知，x1，则直线bc的方程为y，令x1，得点g 的纵坐标yg.把y1k(x11)代入，得yg.yeyg，把x1x2，x1x2代入到2x1x23(x1x2)4中，2x1x23(x1x2)42340.即yeyg0，即|ef1|f1g|.a组专题通关1.(2019吉林调研)已知a，b为椭圆e：1(ab0)的上、下顶点，

14、|ab|2，且离心率为.(1)求椭圆e的方程；(2)若点p(x0，y0)(x00)为直线y2上任意一点，pa，pb交椭圆于c，d两点，求四边形acbd面积的最大值.解(1)依题意|ab|2b2，则b1，又由解得a2，故椭圆e的方程为y21.(2)设c(x1，y1)，d(x2，y2)，p(t,2)(不妨设t0)，则直线pa的方程为yx1，代入椭圆方程化简得x2x0，解得xa0，x1，同理xb0，x2，s四边形acbdsacbsadb|ab|x2x1|，令ut4，当且仅当t2时，取等号，则四边形acbd面积为g(u)32，又g(u)在4，)上单调递减，(sabcd)maxg(4)2.2.已知椭圆c

15、：1(ab0)的短轴长为2，离心率为.(1)求椭圆c的标准方程；(2)若过点(3,0)的直线l与椭圆c交于不同的两点m，n，o为坐标原点，求的取值范围.解(1)因为椭圆c的短轴长为2，所以2b2，所以b1，又椭圆c的离心率为，所以，解得a2，所以椭圆c的标准方程为y21.(2)由题意直线l的斜率存在，可设其方程为yk(x3)，m(x1，y1)，n(x2，y2)，将yk(x3)代入y21，消去y可得(14k2)x224k2x36k240，所以(24k2)24(14k2)(36k24)0，即k2，且x1x2，x1x2，所以x1x2y1y2x1x2k(x13)k(x23)(1k2)x1x23k2(x

16、1x2)9k2(1k2)3k29k24，因为0k2，所以0，所以440)的焦点为f，其准线l：x1与x轴的交点为k，过点k的直线l与抛物线c交于a，b两点.(1)求抛物线c的方程；(2)点a关于x轴的对称点为d，证明：存在实数t(0,1)，使得t(1t).(1)解因为抛物线c：y22px(p0)的准线为直线l：x1，所以1，解得p2.所以抛物线c的方程为y24x.(2)证明易知点k的坐标为(1,0)，据题意可设直线l的方程为xmy1，a(x1，y1)，b(x2，y2).联立整理得y24my40，所以16m2160，得m21，故因为点a(x1，y1)关于x轴的对称点为d，所以d(x1，y1).则

17、直线bd的方程为yy2(xx2)，得yy2(xx2)，得yy2(xx2)，即yy2.令y0，得0y2，得xy21.所以直线bd恒过定点(1,0).所以点f(1,0)在直线bd上，所以不妨令t(t(0,1).因为，所以t，所以t()，所以(1t)t.所以存在实数t(0,1)，使得t(1t)，命题得证.b组能力提高4.(2019泰安质检)已知椭圆c：1(ab0)的离心率e，且经过点.(1)求椭圆c的方程；(2)过点p(2,0)且不与x轴重合的直线l与椭圆c交于不同的两点a(x1，y1)，b(x2，y2)，过右焦点f的直线af，bf分别交椭圆c于点m，n，设，r，求的取值范围.解(1)由题意可得解得

18、a22，b21，则椭圆方程为y21.(2)a(x1，y1)，b(x2，y2)，设m(x3，y3)，则(1x1，y1)，(x31，y3)，由，可得y1y3，则，当am与x轴不垂直时，直线am的方程为y(x1)，即x，代入曲线c的方程y21，整理可得(32x1)y22y1(x11)yy0，y1y3，32x1，当am与x轴垂直时，a点横坐标为x11，1，显然32x1也成立，32x1，同理可得32x2，由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为yk(x2)，k0，联立消去y整理得(2k21)x28k2x8k220，由(8k2)24(2k21)(8k22)0，解得0k2b0)，其中长轴长是短轴长的倍，过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的弦长为2.(1)求椭圆e的方程；(2)点p是椭圆e上动点，且横坐标大于2，点b，c在y轴上，(x1)2y21内切于pbc，试判断点p的横坐标为何值时pbc的面积s最小.解(1