RayLeigh-Ritz 瑞立法 课件.ppt

1、,Rayleigh-Ritz法,目录,1.Rayleigh法 1.1 Rayleigh法-多自由度体系 1.2 Rayleigh法-连续体系 1.3 Rayleigh法-例题分析 2.Rite法 2.1 Rite法-多自由度体系 2.2 Rite法-连续体系 2.3 Rite法-例题分析,1.瑞利商 无阻尼体系振动微分方程： 对应广义坐标解： 体系最大动能为： 最大动能为： 由机械能守恒定律：,一、1.1 Rayleigh法-多自由度体系,瑞利商,-广义质量,-广义刚度,2. 瑞利法 (1) 特点：只能求解最低阶固有频率的近似值，且所求出的近似值总是大 于精确解 。 (2) 基本思想：假设一振

2、型，代入到 求得的瑞利商作为基本频率平方的近似值。 分析:假设的振型与系统的真实振型越接近，得到的频率近似值就越接 精确解。 因为基本固有频率平方的精确值是瑞利商的最小值， 所以瑞利法算出的固有频率总是大于精确值。,1.1Rayleigh法-多自由度体系,对于无阻尼体系，梁的位移可表示为： 梁的动能为： 梁的位能为：,1.2 Rayleigh法-连续体系,由机械能守恒定律： 特例：等截面、没有集中质量的梁：设m(x)=m EI(x)=EI 由最大动能 最大位能,1.2Rayleigh法-连续体系,总结： (1)一般用式 求梁的基频，就是所谓的“一阶频率的近似求解。 (2)瑞利指出，对于一个合理

3、假定的固有振型，必须满足所有的几何 边界条件（即梁端位移与转角条件），便可得到一个较好的固有 频率近似值。 (3)若假定的振型接近基谐调振型，则由上式求出的基频将高于精确 值，因为这种假定相当于引入了附加约束。,1.2Rayleigh法-连续体系,求一阶固有频率的 步骤： (1) 求体系的最大动能 = ？ (2) 求体系的最大动能 = ？ (3) =？,1.3Rayleigh法-例题分析,例1. 求图示等截面悬臂梁的一阶固有频率， 其中m(x)=m， EI(x)=EI。 解： 假定梁的一阶振型为： 则最大动能 最大位能,1.3Rayleigh法-例题分析,1.3Rayleigh法-例题分析,例

4、2. 求图示跨中承受集中重量W的等截面悬臂梁的一阶固有频率， 其中 m(x)=m， EI(x)=EI。 解：设在自由端作用集中力P, 则梁端挠度为： 梁的挠曲线形状为： 梁的最大动能为：,1.3Rayleigh法-例题分析,梁的最大动能可分为两部分计算，即梁的动能和承重物W的动能， 其中梁的动能： W的动能： 总动能：,1.3Rayleigh法-例题分析,背景知识： 在工程中，当把一个实际结构离散为多自由度体系， 动力分析往往归结为高阶次的广义特征值问题。对这类问题， 我们关心的往往不是全部特征值，而只是其中的主要部分， 即结构的前s阶 (s n) 。在这种情况下，可以用一种近似 的有效方法，

5、将n阶广义特征值问题化为s阶广义特征值问题 这就是Rayleigh-Ritz分析法。 特点： (1)求出的基频更接近精确值； (2)方程的自由度数越多，求出的低阶振型误差越小； (3)求出的固有频率近似值总是大于精确值。,二、Rite法,基本步骤： (1) 选取k个试探向量 (2)对原系统降阶，形成k个广义特征方程： 其中 (3)求原系统特征向量,2.1 Rite法-多自由度体系,设振型 为一个级数： 经过一系列推到可得： 或写成 其中 为参数列向量,2.2 Rite法-连续体系,例1. 用Rite法求简支梁固有频率及振型， 简支梁的质量均匀分布m(x)=m,EI(x)=EI。 解：选取无集中质量的梁的模态函数 为基函数 为了保证前两阶固有频率的精度，取n=3，则假设模态函数,2.3 Rite法-例题分析,计算质量系数和刚度系数 质量矩阵和刚度矩阵 得到特征值方程,2.3 Rite法-例题分析,解