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文档简介
1、全国高中数学联赛模拟题一 试一、填空题(本题满分64分,每小题8分)1在数列中,且,则 2设a,b,c是正整数,且成等比数列,是一个完全平方数,则 3一列数满足对于任意正整数n,都有,则 4设,变量满足,且的最小值为,则_5正整数,具有如下性质:从集合中任取一个元素m,则m整除n的概率是,则n的最大值是 .6集合1,2,2011的元素和为奇数的非空子集的个数为 .7一个直径的半圆,过作这个圆所在平面的垂线,在垂线上取一点,使,为半圆上一个动点,分别为在上的射影当三棱锥的体积最大时,_8直线交抛物线于两点,若中点的横坐标为,则 .二、解答题(第9题16分,第10、11题各20分,共56分)9.(
2、本小题满分16分)设,证明不等式10.(本小题满分20分)已知双曲线:(,)的离心率为2,过点()斜率为1的直线交双曲线于、两点,且,(1)求双曲线方程;(2)设为双曲线右支上动点,为双曲线的右焦点,在轴负半轴上是否存在定点使得?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由 11.(本小题满分20分) 设是不同的正实数.证明:是一个等比数列的充分必要条件是:对所有整数,都有.加 试1. (本题满分40分)实数a使得对于任意实数,不等式都成立,求a的最大值2. (本题满分40分)在直角三角形ABC中,它的内切圆分别与边BC,CA,AB相切与点D,E,F,连接AD,与内切圆相交于另一点P,连接PC,
3、PE,PF已知,求证:3(本题满分50分)对正整数n,记为数的十进制表示的数码和(1) 求的最小值; (2) 是否存在一个正整数n,使得=100? 4(本题满分50分)求满足如下条件的最小正整数n,在圆O的圆周上任取n个点,则在个角中,至少有2011个不超过参考答案一 试1. 0因为,所以,自第8项起,每三个相邻的项周期地取值1,1,0,故=02 111由题意,所以,故,于是,36a是平方数,所以,a只可能为11,20,27,32,35,而a是的约数,故进而,所以,3当时,有,两式相减,得 ,所以 故 4 由及得:,设若,即,则在处取最小值,因此,若,即,则在处取最小值,因此,(舍去)5 81
4、.由题设知,n恰有5个约数.设n的质因数分解是,则n的约数个数为,所以5,故n具有的形式,而,故n的最大值为81.6 22010令f(x)=(1+x)(1+x2)(1+x3)(1+x2011),问题中要求的答案为f(x)的展开式中,x的奇次项的系数和故所求的答案为(f(1)f(1)=22010.7易知,所以,从而,所以,因此,由得:,而,为斜边长为的直角三角形,面积最大在时取到,此时,8 设,由,即,所以,因此,即,因直线过和,则,于是,再由,解得,所以9.注意到,所以 ,所以 同理,因为,所以10.(1)由双曲线离心率为2知,双曲线方程化为又直线方程为由,得 设,则,因为 ,所以 ,结合,解
5、得,代入,得,化简得又且所以此时,代入,整理得,显然该方程有两个不同的实根符合要求故双曲线的方程为 (2)假设点存在,设由(1)知,双曲线右焦点为设()为双曲线右支上一点当时,因为,所以 将代入,并整理得,于是 ,解得当时,而时,符合所以符合要求满足条件的点存在,其坐标为 11.必要性:若是一个等比数列,设,则 .充分性:当n2时,两边都等于1.当n3时,有,化简得,所以,成等比数列.假设成等比数列(),记,则,因为,所以,即,从而成等比数列.由数学归纳法知,是一个等比数列.加 试 1 a的最大值为因为当时,得又当时,不等式恒成立事实上 ,所以,a的最大值为2连接DE,DF,则BDF是等腰直角
6、三角形于是,故又,所以PFD PDC,所以 又由,所以,AFP ADF,AEP ADE,于是 ,故由得 因为,结合得,EPD EDC,所以,EPD也是等腰三角形,于是,所以,3(1)由于是大于3的奇数,故若,则只能为首位和末位为1,其余数码为0的一个数,即=,k是大于1的整数于是,由于,所以于是,矛盾!故 又当n=8时,=201,所以综上所述,的最小值为3.(2)事实上,令,则,他的数码和为由于100=911+1,所以,取,则=100.4首先,当n90时,如图,设AB是圆O的直径,在点A和B的附近分别取45个点,此时,只有个角不超过,所以,n90不满足题意当n91时,下面证明至少有2011个角
7、不超过把圆周上的91个点看作一个图的91个顶点,若,则在它们对应的顶点之间连一条边,这样就得到一个图G 设图G中有e条边,易知,图中没有三角形若e0,则有个角不超过,命题得证若,不妨设顶点之间有边相连,因为图中没有三角形,所以,对于顶点,它至多与中的一个有边相连,所以,其中表示顶点v的度,即顶点v处引出的边数因为,而对于图G中的每一条边的两个顶点,都有,于是,上式对每一条边求和可得,由柯西不等式,所以 ,故,所以,91个顶点中,至少有个点对,它们之间没有边相连,从而,它们对应的顶点所对应的角不超过 综上所述,n但最小值为91目 录第1讲 集合与函数综合问题 第2讲 三角函数与反三角函数 第3讲 等差数列与等比数列 第4讲 递归数列 第5讲 不等式 第6讲 数学归纳法 第7讲 复数 第8讲 平面几何问题(1) 第9讲 平面几何问题(2) 第10讲 立体几何 第11讲
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