线性系统的时域分析法《自动控制原理》.ppt

1、第三章 线性系统的时域分析法,3-1 系统时间响应的性能指标,一典型输入信号 工程上经常碰到的典型输入信号有以下几种: (1) 阶跃信号(阶跃函数) 其数学表达式和图形为:,上式中R为常数, 当t=0时, r(0)不定, 且,当R=1时, 称为单位阶跃信号, 记为1(t). (2) 等速度信号(斜坡函数) 其数学表达式和图形为:,上式中R为常数, 当R=1时, 称为单位等速度信号.,(3) 等加速度信号(抛物线函数) 其数学表达式和图形为:,上式中R为常数, 当R=1时, 称为单位等加速度信号. (4) 脉冲信号(脉冲函数) 先看下面图型:,具有左图形状的信号被称为矩型脉动信号, 其数学表达式

2、为:,由图可见, 脉动信号 的面积为R. 当脉动,信号的宽度,时, 其高度为, 但,面积乃为R. 把宽度,时的矩型脉动信号定义为脉,冲信号, 而其面积R称为脉冲信号的脉冲强度.,当R=1时, 叫做单位脉冲信号, 用,表示, 其数学表达式为,而其面积为:,单位脉冲信号,用下图表示:,强度不为1而为R的脉冲信号用,表示.,(5) 正弦信号(正弦函数) 其数学表达式为:,(6) 信号的延迟,假如有两个信号如下左图所示,曲线,和曲线,的形状完全一样, 只不过前者比后者延迟了,时间才发生,曲线,可用如下数学式表达:,上式中,是单位阶跃信号,延迟,时间才发生, 图,形见上面右图.,二动态性能指标,系统的动

3、态性能指标, 是在系统的输入为单位阶跃 信号时, 对系统的输出进行定义的. 系统在单位阶跃信 号作用下的输出随时间的变化, 叫系统的单位阶跃响应, 常用h(t)表示. 稳定的系统, 其h(t)的变化曲线见下图:,其动态性能指标有如下几项:,(1) 延迟时间,: 响应曲线第一次达到其稳态值一半所,需的时间. 如下图所示.,(2) 上升时间,: 响应曲线无振荡时定义为响应从其稳,态值的10%上升到其稳态值的90%所 需的时间. 如上图所示.,响应曲线有振荡时定义为响应从0第一 次上升到其稳态值所需的时间. 如上 图所示.,(3) 峰值时间,: 响应超过其稳态值到达第一个峰值所 需的时间. 如下图所

4、示.,(4) 调节时间(过渡过程时间),: 响应到达并保持在稳态 值的5%或2%误差范 围内所需的最短时间. 如上图所示.,(5) 最大超调量,: 响应的最大值,与稳态值,之差, 即,如下图所示.,(6) 最大百分比超调量,: 定义为,3-2 一阶系统的动态性能分析,典型一阶系统的结构图如下所示:,其闭环传递函数为:, 当,时, 则,h(t)曲线见上右图,经分析可得下面结论:, 故叫非周期响应, 无超调.,3-3 二阶系统的时域分析,典型二阶系统的结构图如下所示,其闭环传递函数为:,具有上述形式传递函数的典型二阶系统叫无零点的二,阶系统, 其时间响应取决于,和,两个参量, 极点为:,叫无阻尼自

5、然振荡角频率, 单位为弧度/秒.,叫阻尼,系数,当,叫无阻尼,叫临界阻尼,叫欠阻尼, 下面主要讨论欠阻尼时的动态,性能,欠阻尼时系统的两个极点为:,上式中,叫衰减系数,叫阻尼,振荡角频率,两个极点在s平面上的分布如下图所示,图中,以顺时针方向为计量角度的正 方向, 当输入为单位阶跃信号 时, 输出的拉氏变换表达式为:,叫过阻,尼,对前式进行部分分式得:,对上式进行拉氏反变换得单位阶跃响应为:,由上一屏,的表达式可见, 无零点的典型二阶系统在,欠阻尼情况下, 其输出是衰减振荡的, 其曲线随,值的,不同而有一簇, 见教材P.87图3-10.,根据动态性能指标的定义, 推导各项动态性能指标的计 算公

6、式.,(1) 延迟时间,: 由定义, 令, 下面由, 代入上式,利用计算方法中的曲线拟合法, 可得:,其关系曲线见教材P.88图3-12.,(2) 上升时间,: 因输出有振荡, 由定义, 令,得:,因在,时刻,所以由,得:,(3) 峰值时间,: 由定义, 令,得:,所以,(4) 最大超调量,:由定义,(5) 最大百分比超调量,:由定义,(6) 调节时间(过渡过程时间),:由定义, 因为误差信号,是幅值衰减的正弦曲线, 如 右图所示.,而幅值表达式,是幅值衰减的正弦曲线的按,指数规律衰减的包络线,如下图红色虚线所示.,由图可见, 只要误差 曲线的包络线,即到达调节时间, 则 对上式求解得:,当,

7、时,. 当误差带,时, 同理可得,三二阶系统性能的改善,下图闭环是一典型的二阶系统,而其开环为一型, 故,其速度误差系数,若欲使,则,而使,有二条途经: 一是使,上升, 从而导致,均下降, 但使有阻尼振荡频率,上升, 但不能使,下降. 二是使,下降, 则,虽上,升, 但导致,均上升, 使动态性能变坏. 可,见, 单靠调整系统本身的固有参数, 已无法同时满足系统对 稳态和动态性能的要求, 必须另加装置, 采用其它控制方法 来改善系统的动态性能和稳态性能.,(1) 比例微分控制,比例微分控制的结构图如下所示:,由上图可得, 其开环传递函数,而其闭环传递函数,令, 则,为一带有零,点的二阶系统, 其

8、动态性能指标的求取公式请见教材 P.97P.98, 下面仅定性讨论比例微分控制对系统性能 的影响.,若欲使系统的稳态误差值,下降, 可使,下降, 则,上升, 满足系统对稳态误差值的要求. 因,下降而导致,的下降可通过调整参数,给以弥补,从而使系统同时满足预定的稳态和动态性能的要求. (2)测速反馈控制 测速反馈控制的结构图如下所示:,由上图可得, 其开环传递函数,而其闭环传递函数,令, 则,为一不带零点,的典型二阶系统, 其动态性能指标的求取公式前已介绍 测速反馈使系统的速度误差系数降低, 从而导致稳态误,差上升, 但这一缺点可通过减小原系统的阻尼系数,给以弥补, 使测速反馈后系统的,满足动态

9、性能的要求.,3-4 高阶系统的时域分析,1. 高阶系统的单位阶跃响应,高阶系统闭环传递函数的一般形式为,把上式的分子及分母因式分解得:,上式中,在单位阶跃信号作用下, 输出的拉氏变换式为,上式中待定系数,而,和,是与,在闭环复数极点,处的留数有关的常系数. 将,进行拉氏反变换, 则,2. 高阶系统的闭环主导极点,由,的推导过程可见, 其第二和第三项由闭环极点所产生,叫,的动态分量, 其各系数的大小与闭环零点和极点有关,而动态分量中各项的类型仅与闭环极点有关. 当闭环稳定时 所有的闭环极点都在s的左半平面上, 动态分量随时间的增长 而衰减. 闭环极点离虚轴越近, 即其实部的绝对值越小, 则它

10、所对应的动态分量中这一项就衰减得越慢, 对动态性能的影 响就越大, 闭环极点离虚轴越远, 即其实部的绝对值越大, 则它所对应的动态分量中这一项就衰减得越快, 对动态性能 的影响就越小.,由上面分析, 可得如下闭环主导极点的概念: 在所有的闭,环极点中, 距虚轴最近的极点且其周围没有闭环零点, 而 其它闭环极点又远离虚轴, 这样的闭环极点就叫作闭环主 导极点. 闭环主导极点可以是实数极点, 也可以是复数极点, 一般总希望闭环主导极点为一对共轭复数极点, 从而可将 高阶系统近似成二阶系统, 用二阶系统的动态性能指标 的计算公式来估算高阶系统的动态性能. 也可在闭环主 导极点的概念下, 考虑到高阶系

11、统其它闭环非主导极点 及闭环零点对动态性能的影响, 而导出高阶系统单位阶 跃响应的近似表达式, 进而推导出计算高阶系统动态性 能指标的近似计算公式. 设高阶系统的闭环传递系数为,1, 且其一对共轭复数主导极点为:,则,对上式进行拉氏反变换, 得高阶系统单位阶跃响应的近 似表达式为:,当高阶系统闭环非主导极点实部的模比主导复数极点实部 的模大三倍以上时, 可由上式并根据动态性能指标的定义 导出近似计算公式. (1) 峰值时间 由上式对时间求导, 并令其导函数为零得:,因而有:,上式中,(2) 最大百分比超调量,根据最大百分比超调量的定义, 且, 则,上式中,由,及,得,则,将式(2),(3)代入

12、式(1)得,因为,互为共轭复数极点, 所以,最后可得,P叫闭环非主导极点影响修正系数, Q叫闭环零点影响修正 系数.,(3) 调节时间的计算,根据调节时间的定义, 有,由,得,上式中,是余弦函数的幅值, 且随时间的增长,而衰减, 故由上式可得,由前面的推导可知:,则,对左式两边取对数,解得,3-5 线性系统的稳定性分析,一 线性系统稳定的定义及充分必要条件,定义: 若线性控制系统在初始扰动,的作用下, 其输出,随着时间的推移逐渐衰减并趋向于零, 则该系,统为渐近稳定, 简称稳定; 反之, 称该系统不稳定.,上述定义可用数学语言表示为:,上式中,为特征方程,的实数根,为特征方程,的共轭复数根,为

13、特征多项,式,中S的最高次方, 即系统的阶数. 将系统的传递函数,进行部分分式, 得:,上式中,因为,为复数,所以,与,也是复数,又因为,为共轭复数,所以,与,也是共轭复数, 把上式中后两项合并, 得:,令,均为实数,则,因为系统的单位脉冲响应函数,故对上式进,行拉氏反变换得:,系统稳定的充分必要条件是: 系统特征方程的所有根都 具有负实部, 或者说, 系统传递函数的极点均在根平面的左 半 S 复数开平面上(不包括虚轴). 需指出的是, 系统的稳定与否, 仅与系统本身的结构和 参数有关, 而与输入信号的形式和大小无关. 二 线性系统稳定性的初步签定,线性系统特征方程的一般形式可表为:,由上两式

14、可见, 只有当,即所有极点,均在极点平面的左半平面上, 将上面,第二个等式展开后, 第一个等式S各次方前的系数必都为 大于零的正数. 由此可得系统稳定的必要条件为: 系统特,征多项式,的所有系数,均大于零.,必要条件只起否定作用, 也即只要不满足必要条件, 系 统必不稳定, 必要条件不起保证作用, 也即满足必要条件, 系统不一定稳定. 三 赫尔维茨稳定判据 n阶系统的特征方程为:,构造,的系数主行列式:,赫尔维茨稳定判据的内容为: n阶特征方程的根全部具有负 实部的充要条件是, 特征方程,的各项系数为正, 且,的系,数行列式的各阶主子式均大于,零, 即,而,教材P.112给出了n=4时, 赫尔

15、维茨稳定判据的简单表示形 式.,例:设闭环系统的特征方程为:,试确定使系统稳定的K的取值范围. 解:构造特征方程的系数行列式.,时系统稳定.,四 劳思稳定判据 n阶系统的特征方程为:,式中, 构造如下劳思行列表:,表中, 最左边一列和最上,面两行构成劳思行列表的 表头, 表中其它各行各列 的元素值按如下公式计算:,以下各行各列的元素值可依上,几式的规律依次算得. 则线性系统稳定的充要条件是,劳思表中第一列各值均大于零. 如劳思表第一列中出现小于零 的数值, 系统就不稳定, 且第一列各数值符号的改变次数, 就 是系统特征方程的正实部根的数目, 即系统在极点平面的右半 平面上的极点个数.,例1:

16、设系统的特征方程为,用劳思稳定判据判别系统是否稳定?,解:,因为第一列有-25, 且正负号改变 两次, 所以系统不稳定, 且有两个 根在s的右半平面上.,例2: 设系统的特征方程为,用劳思稳定判据判别系统是否稳定?,解:,因为第一列有-0.5, 且正负号改变 两次, 所以系统不稳定, 且有两个 根在s的右半平面上.,两种特殊情况的处理.,第一种特殊情况是在计算各行各列元素值的过程中 出现某一行第一列的元素值为零, 而这一行其它各列的 元素值不全为零.,例3: 设系统的特征方程为,解:,用一大于零的无穷小量,代替第三行第一列的零参 与以下各行各列元素值的 计算.,因为,是大于零的无穷小量, 所以

17、,系统不稳定, 且有两个根在s的右半平面上. 教材 P.115介绍了处理第一种特殊情况的另一种方法.,第二种特殊情况是在计算各行各列元素值的过程中出现,某一行的元素值全为零.,例4: 设系统的特征方程为,再往下计算,这一行就全为,零, 则由,这一行各元素,为系数构造一辅助方程:,然后F(s)对s求一次导得,用8,24,替换,这一行的零元素, 再往下计算.,第一列的元素都大,于零, 没有正实部的特征根, 但由于有全零行, 必有纯虚 根, 而纯虚根的值可令辅助方程F(s)=0求得.,令,得,则,五 劳思稳定判据的应用,例5: 设系统的特征方程为,试确定使系统稳定的K的取值范围.,解:,欲使系统稳定

18、, 第一列的元素应全大于零, 则,例6: 设系统的特征方程为,试在以K为横坐标,T为纵坐标的K-T平面上确定使系 统稳定的区域.,解:,下面分二种情况讨论: 当,时,当,时,在K-T平面上作出,曲线如下图所示,再作出,曲线,由右图可见, 在K-T平面 上使系统稳定的区域为 两个影阴区.,3-6 线性系统的稳态误差计算,一基本概念 控制系统的稳态误差, 是系统控制准确度(即精度)的 一种度量, 通常叫作稳态性能. 在具体介绍稳态误差的计算方法前, 先明确以下几个基本 概念:,1) 只有当系统本身是稳定的前提下, 讨论系统的稳态误,差才有意义. 2) 系统的稳态误差除了与系统本身的结构和参数有关外

19、 还与系统输入信号的形式和大小有关. 3) 系统的稳态性能与系统的稳定性和瞬态响应性能一般 来说是有矛盾的. 误差的定义: 系统的输入信号与主反馈信号之差. 见右图:,误差传递函数为:,则误差信号的拉氏变换表达式,假设,是,的极点, 也即闭环,极点.,是,的极点.,则:,式中的第一项由,的极点所,引起, 叫做e(t) 的瞬态分量, 第,二项由,的极点所引起, 叫做e(t)的稳态分量. 如果,系统是稳定的, 则所有的,均在s的左半平面上, 即,则当,时, e(t)的瞬态分量趋于零, 只剩下稳态分量.,定义: 当,时, e(t)剩下的稳态分量, 叫系统的稳态误差.,表示为:,当,时,可能是一个确定

20、的数, 也可能是一个不确,定的数, 即仍然是 t 的函数. 当,为一个确定,的数时, 用,表示,叫稳态误差值. 当,仍然,是 t 的函数, 则,叫稳态误差函数. 显然,稳态误差函,数表现了稳态误差随时间变化的规律.,稳态误差值,有两种基本的求法. 第一种是先求出,然后令,可得, 但当,表达式较为复杂时, 求,的解析式较困难, 一般并不采用. 第二种是对,采用拉氏变换的终值定理, 即:,但终值定理有一个使用条件, 即要求,表达式在s右半,平面及虚轴上解析, 即,表达式的所有极点都在s的,左半平面上. 否则, 用终值定理得出的,与令,的,时得到的值不一致. 但对于工程实际上来说, 当,在s平面的原点上有极点时, 仍可用终值定理.,例: 设单位反馈控制系统的开环传递函数为,试求当输入信号分别为,和,时控制系统的稳态误差值.,解:,可见, 虽然,在s平面的原点上有极点s=0, 仍可用终值,定理.,二静态误差系数,1. 控制系统按积分环节数分类,上式中K叫系统的开环增益(也叫系统的开环传递系数). v 为开环系统在s平面坐标原点上的极点个数, 因1/ s是理想 积分环节的传递函数, 所以v也表示了系统的开环传递函数 中串接的积分环节个数. 规定: v =0, 叫0型系统, v =1, 叫 1型系统, v =2, 叫2型系统, 依此类推.,由上式可见,与系统的型号