第三章 珠算乘法.ppt

1、第三章 珠算乘法,主要内容：,第一节 乘法概述 第二节 乘积的定位 第三节 破头乘法（后乘法） 第四节 空盘前乘法 第五节 简捷乘法 第六节 乘法注意事项及检误法,第一节 乘法概述,一、珠算乘法的概念和运算规律 二、乘法口诀 三、珠算乘法的种类和运算顺序,一、珠算乘法的概念,珠算乘法是运用算盘求若干个相同加数的和的简便运算方法。 其中，相同的加数叫做被乘数，相同加数的个数叫做乘数，要乘的结果叫做积。 被乘数和乘数又都称做积的因数。我国古时称被乘数为实，称乘数为法，这种名称至今还在沿袭应用。,乘法的运算定律,乘法交换律：根据计算数字的特点交换实法位置而乘积不变的规律； 乘法结合律：对几个乘数相乘

2、可以将容易相乘的数据结合起来，其积不变的规律； 乘法分配律：是指在被乘数上增加或减少一个补数，其代数和与乘数相乘的积数等于各个加数与乘数相乘的代数和的规律。,二、乘法口诀,顺九九（小九九）口诀：乘法口诀中，两因数小数在前，大数在后及两因数相同的口诀，叫顺九九，亦称小九九，共45句。 逆九九口诀：乘法口诀中，凡大数在前小数在后组成的口诀，叫逆九九，共36句。 大九九口诀：顺九九和逆九九结合起来，共81句，叫大九九。（大九九表见书104页），其中粗折线以下的为顺九九，以上的为逆九九。,乘法口诀用法,单积：两个1位数相乘所得的积即单积。如：35=15，15即为单积。 两位数记积法：每两个1位数相乘的

3、积必须是两位数，没有数都要用0补齐。 如：64=24 15=05 30=00 口诀读法：在乘法运算中若用大九九口诀，总是先读乘数；而按小九九口诀，则总是先读较小的因数。比如75，如按大九九，读为“五七35”；57，则读为“七五35”。如按小九九，则上面两道乘法均读为“五七35”。,三、珠算乘法的种类,珠算乘法从总的分类说，有基本乘法和其它乘法； 如按计算的顺序分类，则可分为前乘法和后乘法； 若以置积的位置分类，可分为隔位乘法和不隔位乘法； 倘若按盘上置数与否又可分为两不摆、实法均摆盘或实法只置其一于盘等。,基本乘法运算顺序,珠算的基本乘法若按计算顺序可分两类，就是前(头)乘法和后(尾)乘法。

4、后乘法是从实尾乘起 前乘法是从实首起乘 我们将学习后乘法的破头乘法和前乘法的空盘前乘法两种。,第二节 乘积的定位,一、公式定位法 二、固定个位定位法,用珠算计算，定位很重要，如果算盘上没有固定的位数，同样的数就不能确定它数值的大小，如3、0.3、300等，因此，我们就先给盘上的各档定位。 那我们应该怎样定位呢？ 我们知道，一个数只要确定了小数点位置后，其位数也就被明确了。我们来看下面这个算盘定位图：,怎样认识上面这个图的位标呢？它们又分别代表什么呢？我们把红色的那个圆点定为小数点，在小数点前面的档依次为+1位、+2位、+3位；小数点后面的档依次为0位、-1位、-2位。这些位标把一个数分为以下三

5、类：,(一)数的位数,正位数：对于大于或等于1的数，若小数点前有几位，则把这个数叫做正几位数。 如： 2580是正4位； 385.5是正3位； 47.7是正2位； 3.82是正1位。 正位数可能是整数，亦可能是带小数。,负位数：对于小于1的数，若小数点后第一个非零数字之前有几个“0”，就叫做负几位的数；0.0072是负二位； 0.098765431是负一位； 0.00091是负三位； 0.0000209是负四位； 零位数：对于小于1的数，若小数点后第一个非零数字之前若没有零则称为零位数。如： 0.407是零位； 0.100001是零位。,(二)公式定位法,公式定位法是根据两个因数的位数来确定积

6、的位数的定位方法。 设被乘数和乘数的位数各为m和n，积的位数为p，那么： 1凡乘积的首位数小于被乘数及乘数首位数时（被乘数首位非零数字与乘数首位非零数字相乘进位），则积的位数等于被乘数的位数与乘数位数之和。即： pm+n 公式1,积的定位规则：,积首偏小，位数相加,例1 790.36得积数有效数字2844 积首偏小，故用公式1定位：2+02，结果为28.44。 例2 47.960.007得积数有效数字33572 积首偏小，故用公式1定位：2+(一2)0，积为零位，结果为0.33572,2凡乘积的首位数大于被乘数及乘数首位数时（即被乘数首位非零数字与乘数首位非零数字相乘不进位），则积的位数等于被

7、乘数的位数与乘数位数之和再减1。 pm+n1 公式2,积的定位规则,积首偏大，位数相加减一,例3 43210 得积数有效数字903 积首偏大，故用公式2定位：2+3-14，结果为9030。 例4 240.035 得积数有效数字84 积首偏大，故用公式2定位：2+(一1)-10，积为零位，结果为0.84,3两种特殊情况： （1）在某些情况下，积的首位数与被乘数或乘数首位数的其中之一相同，则可与另一首位数相比较，如果是；如果是“一齐一大”则属“偏大”，按上述规则定位。,【例5】1.28.9得积数有效数字1068 积的首位数与被乘数或乘数首位数是“一齐一小”属“偏小”，用公式1定位：1+1=2，结果

8、为10.68。 【例6】211.3得积数有效数字273 积的首位数与被乘数或乘数首位数是“一齐一大”属“偏大”，用公式2定位：2+1-1=2，结果为27.3。,（2）如乘积的首位数与被乘数及乘数首位数相等时，则依次在第2位、第3位等比较，按上述规定定位。,【例7】9.89.7得积数有效数字9506 积的首位数与被乘数或乘数首位数是相同，比较第2位属“偏小”，用公式1定位：1+1=2，结果为95.06。 【例8】120.014得积数有效数字168 积的首位数与被乘数或乘数首位数相同，比较第2位属“偏大”，用公式2定位：2+（-1）-1=0，结果为0.168。,固定个位档定位法,固定个位档定位法是

9、在算盘上先定出个位档，然后按法、实的位数，确定实首在盘上所置的档次，以得出积的位数。 在算前先将算盘编上档序号：选择任一记位点的档为个位档(即正1位档)，向左依次为正2位档、正3位档、正4位档，向右依次为0位档、负1位档、负2位档、负3位档。,定位法则： 1置数挨位后乘法(如破头乘) 置被乘数最高位的档次m+n。 2置数隔位后乘法 置被乘数最高位的档次m+n+1。 3空盘前乘法 置法、实两首位数积的十位数的档次m+n。 按上述法则计算结束后，积的个位一定落在正1位档上，读出即可。这种方法有利于省乘法计算。,连乘定位,连乘是作a1a2a3an的计算。作连乘计算，主要是定位问题，上述方法均可推广到

10、连乘上去，我们在这里介绍公式定位法和固定个位档定位法。,(一)用公式定位法(盘上公式法),此法可用于作第一乘积时为空盘前乘或破头乘，而破头乘的被乘数首位数置于算盘第一档。 设ai的位数为mi，作完连乘后，算盘左端空档为a，则求积的公式为： pmiam1+m2+m3+mna。 可以概括为 “位数相加，前空几(档)减几。,(二)用固定个位档定位法,如前述固定个位档定位法，先给算盘编上档序号，再按下面法则置第一因数。算出结果，积的个位就落在个位档上。 置数后乘： 第一因数置数档次的计算法则： 1挨位后乘(如破头乘) pmim1+m2+m3+mn 2隔位后乘 pmi+(n一1)(n为因数的个数) 3空

11、盘前乘： 置第一乘积的档次计算法则： pmiml+m2+m3+mn,第三节 破头乘法,一、破头乘法的含义 二、破头乘法的特点 三、破头乘法的运算程序 四、一位乘法 五、多位乘法 六、破头乘法注意事项,破头乘法的含义,多位数相乘时，被乘数的末位数一开始就同乘数的最高位数字(头位数)相乘，同时，被乘数的那一位数因改拨为乘积的十位数而要去掉，所以叫破头乘法。,破头乘法的特点,因按乘数的自然顺序相乘，故乘积自左而右拨珠，适合看数及拨珠习惯，便于运算。 但因一开始就将被乘数的那一位数破掉，继续乘时，容易忘记该数，这是学习破头乘的难点。 解决这个难点的办法就是使用“大九九”口诀。将被乘数的那一位数读在前面

12、，加深印象，用“大九九”口诀一读到底，就不会产生错误。,破头乘法的运算程序：,第一步：用被乘数的末位数乘乘数的首位数，把被乘数的末位数改为积的十位数，个位数加在下一档上。 第二步：用被乘数的末位数(已破掉)记在心中，去乘乘数的第二位、第三位，直到末位数。依次错位(叠位)相加。 第三步：用被乘数的倒数第二位数完成上面第一、二步骤。 第四步：同样对被乘数倒数第三位、第四位，直至首位，进行第三个步骤。,一位乘法,【例1】7360= 根据固定个位定位法定位：p=m+n=2+2=4 置被乘数首位在正4位档： 7 3 运算36 1 8 76 4 2 4 3 8 0,4 380,一位乘法,【例2】2390.

13、0004= 根据固定个位定位法定位：p=m+n=3+（-3）=0 置被乘数首位在0位档： 2 3 9 运算94 3 6 34 1 2 24 0 8 0.0 9 5 6,0.0956,一位乘法,【例3】0.081093= 根据固定个位定位法定位：p=m+n=（-1）+4=3 置被乘数首位在正3位档： 8 运算81 0 8 80 0 0 89 7 2 83 2 4 8 7.4 4,87.44,乘数夹0的乘法方法概括： 乘到0时，有一个零手指向右移一档，有二个零手指向右移二档，以此类推。,学生练习：,194 8536= 15.78300= 0.7 10 905= 235 9860.008= 9005

14、634= 6004.0503= 0.07867 314=,1 169 118 4 734 7 633.5 1 887.888 5 070 600 24 30.18 60 711.98,一位数乘法练习题及答案：,多位乘法,【例1】92.50.35= 根据固定个位定位法定位：p=m+n=2+0=2 置被乘数首位在正2位档： 9 2 5 运算53 1 5 55 2 5 23 0 6 25 1 0 93 2 7 95 4 5 3 2.3 7 5,32.375,【例2】40.38572= 根据固定个位定位法定位：p=m+n=2+3=5 置被乘数首位在正5位档： 4 0 3 8 运算85 4 0 87 5

15、 6 82 1 6 35 1 5 37 2 1 32 0 6 45 2 0 47 2 8 42 0 8 2 3 0 9 7.3 6,23 097.36,被乘数夹0的乘法方法概括： 被乘数含零，跳过不乘，下一部分积直接对位相加。,【例3】2087.004= 根据固定个位定位法定位：p=m+n=3+1=4 置被乘数首位在正4位档： 2 0 8 运算87 5 6 80 0 0 80 0 0 84 3 2 27 1 4 20 0 0 20 0 0 24 0 8 1 4 5 6.8 3 2,1 456.832,学生练习：,64056= 30745= 0.80569= 40.276.51= 280.53

16、096= 7 36082.09= 5 0642 075=,35 840 13 815 55.545 262.1577 868 428 604 182.4 10 507 800,多位数乘法练习题及答案：,破头乘法注意事项：,1、要熟记并正确运用大九九口诀，运算时，将被乘数读在前，乘数读在后，默记乘数 2、被乘数、乘数中间夹零的题注意加积档位 3、要养成“指不离档”的习惯,第四节 空盘前乘法,一、空盘前乘法的含义 二、空盘前乘法的特点 三、空盘前乘法的运算程序 四、一位乘法 五、多位乘法 六、空盘前乘法注意事项,空盘前乘法的含义,在运算时，被乘数和乘数都不拨在算盘上，直接用前乘法的计算顺序把乘积打

17、在算盘上，这种乘法叫空盘前乘法。,破头乘法的特点,空盘前乘法，由于不置被乘数和乘数，可节省时间和节省档位，对多位数乘法，效果甚为显著 空盘前乘法给“滚乘”创造了条件 空盘前乘法不失为一种很好的方法，我们应当熟练掌握,空盘前乘法的计算程序：,1运算程序：先用被乘数的首位依次乘乘数的首位、次位直到末位，再以被乘数的次位乘乘数的首位、次位直到末位，依次下去，最后以被乘数的末位乘乘数的首位、次位直到末位。 2积的置入法：用被乘数首位乘时，乘积从算盘左边任一记位点档起，依次按照乘数的位数叠位相加；用被乘数的次位乘时，乘积从算盘任一记位点第二档起拨入，依次类推，直到乘完。,空盘前乘法的计算程序：,3定位方

18、法（盘上公式定位法）： 计算结束 如果任一记位点档是实档（有数），用公式一定位，即g=m+n 如果任一记位点档是空挡(无数），用公式二定位，即g=m+n-1 。,一位乘法,【例1】7360= 找任一记位点的档为第一十位档： 运算76 4 2 36 1 8 4 3 8 0 根据公式定位法定位， 任一记位点档为实档：g=m+n=2+2=4,4 380,一位乘法,【例2】2390.0004= 找任一记位点的档为第一十位档： 运算24 0 8 34 1 2 94 3 6 9 5 6 根据公式定位法定位， 任一记位点档为空档：g=m+n-1=3+（-3）-1=-1,0.0956,一位乘法,【例3】109

19、30.08= 找任一记位点的档为第一十位档： 运算18 0 8 98 7 2 38 2 4 8 7 4 4 根据公式定位法定位， 任一记位点档为空档：g=m+n-1=4+（-1）-1=2,87.44,被乘数夹0的乘法方法概括： 被乘数含零，跳过不乘，下一部分积直接对位相加。,要领概括：,（1）默记乘数，眼看被乘数 （2）用被乘数从高位向低位去乘乘数的每一位 （3）把各个单积依次对位叠加,乘数夹0的乘法方法概括： 乘到0时，乘数有一个零手指向右移一档，有二个零手指向右移二档，以此类推。,学生练习：,194 8536= 15.78300= 10 9050.7= 235 9860.008= 9005

20、634= 6004.0503= 0.07867 314=,1 169 118 4 734 7 633.5 1 887.888 5 070 600 24 30.18 60 711.98,一位数乘法练习题及答案：,多位乘法,【例1】92.50.35= 找任一记位点的档为第一十位档： 运算93 2 7 95 4 5 23 0 6 25 1 0 53 1 5 55 2 5 3 2 3 7 5 任一记位点档为实档：g=m+n=2+0=2,32.375,【例2】40.38572= 找任一记位点的档为第一十位档： 运算45 2 0 47 2 8 42 0 8 35 1 5 37 2 1 32 0 6 85

21、4 0 87 5 6 82 1 6 2 3 0 9 7 3 6 根据公式定位法定位： 任一记位点档为实档：g=m+n=2+3=5,23 097.36,【例3】2087.004= 找任一记位点的档为第一十位档： 运算27 1 4 24 0 8 87 5 6 84 3 2 1 4 5 6 8 3 2 根据公式定位法定位： 任一记位点档为实档：g=m+n=3+1=4,1 456.832,学生练习：,64056= 30745= 0.80569= 40.276.51= 280.53 096= 7 36082.09= 5 0642 075=,35 840 13 815 55.545 262.1577 86

22、8 428 604 182.4 10 507 800,多位数乘法练习题及答案：,空盘前乘法注意事项：,1、要熟记并正确运用大九九口诀，眼看被乘数，默记乘数 2、被乘数、乘数中间夹零的题注意加积档位 3、要养成“指不离档”的习惯 4、乘数的选择法。因为乘法有交换律，两因数可任选一个做乘数，利于计算。选择时，可遵循下面原则：位数少的；数中间有零的；有相同数的。,第五节 简捷乘法,一、补数乘法 二、凑倍乘法 三、省乘法 四、滚乘法,第三、四节介绍的是基本乘法，无论其中哪一种，都可用于任何乘法算题，故学会上述方法后，即可进行乘法计算。但在某些具体情况或特殊要求下，根据计算数字规律与特点，可以用一些更为

23、变通的其它方法，以求计算速度快、准确性高。本节即介绍几种其它乘法。,一、补数乘法,为了使一数与其补数成一一对应关系，特规定，某数是几位数，它的补数也是几位。如补数的有效数字前有空位，就用零补齐。如98的补数是02，997的补数是003等。 求某数的补数方法是：某数末尾带有若干零，则补数也带有若干零。它的补数与某数前边各对应数字之和为9，最末位对应数字之和为10，即“前位凑九，末位凑十”。,补数乘法含义,利用补数关系作乘法计算的方法叫补数乘法。 当两因数中有接近于10的乘方数的因数时，可将其凑整成10的乘方数并减去其补数进行计算，亦即将乘法变为减法，从而简化计算过程，提高运算速度。,运算方法：,

24、例如： 5739 9965739(1000-004) 57391000-5739004 这表示，将5739扩大1000倍后，减去5739的004倍，用珠算计算，非常方便,用空盘前乘法运算,【例】 5739 9965739(1000-004) 57391000- 5739 4= 找任一记位点的档起拨上5739： 运算5739 5 7 3 9 -45 -2 0 -47 -2 8 -43 -1 2 -49 -3 6 5 7 1 6 0 4 4 任一记位点档为实档：g=m+n=4+3=7,5 716 044,学生练习：,82597= 9.8354= 9 9900.284= 2710.96= 3 167

25、9.78= 99.5640= 40 38099.67=,80 025 3 469.2 2 837.16 260.16 30 973.26 63 680 4 024 674.6,二、凑倍乘法,凑倍乘法，也叫剥皮法。是我国古代“金蝉脱壳法”的发展，最早记录此法的书是明代吴敬的九章详注比类算法大全。,凑倍乘法含义,凑倍乘法是将19倍数，均变为一、二、五倍，用加减代乘的计算方法。 所以重点是要熟练掌握一个数的2倍和5倍。,心算二、五倍法,心算二、五倍有多种方法，我们这里介绍其中主要的一种方法。 1心算二倍法。 算盘上的多位数，用“五升制”的算珠表示，大于4的数，增多用到上珠。如6539(5+1)(5)

26、(3)(5+4)，（括号内的数，表示在同一档上)。求其2倍，则“上珠进十，下珠加倍”即得。 所以，盘上的多位数，心算2倍时，一眼要看两档，把本档的上珠看成进1于前档，下珠看作加倍，一起读出，就是2倍。,2.心算五倍法。 求一个数的5倍，用折半扩大10倍即得。 因扩大10倍，有效数字不变，故只折半即可 多位数折半，从头折起。 双数折半，一看就出。 单数留1成双数折半，留下的1作10并入下位同折。 例如，求7495的5倍：7留1折半为3；留1作10并入下位为14，折半为7；9留1折半为4，留下的1作10并入下位为15，折半为7.5；合并在一起为3747.5，扩大10倍是37475，就是7495的5

27、倍。 练习折半，从两三位数练起，逐渐增位数，练到一看就能得出5倍数。,倍数求积分类表,用空盘前乘法运算,【例】 2 519 368 找任一记位点的档起拨上首位积： 运算2368 0 7 3 6 5368折半 1 8 4 0 1368 0 3 6 8 9368=10倍的368 3 6 8 0 - 1倍的368 -3 6 8 9 2 6 9 9 2 任一记位点档为空档：g=m+n-1=4+3-1=6,926 992,学生练习：,31212= 11155= 1.212 104= 555775= 1597.52= 15.29436= 0.124 322=,3 744 6 105 2 545.84 43

28、0 125 1 195.68 6 666.44 518.64,三、省乘法,在日常经济计算中，常遇到位数很多的乘法，但对计算结果却要求精确到某一位为止，不需要把全部数字计算出来。例如，商品交易中，只要算到0.01元；在财税部门统计报表时，却以千元为单位计算，计算毛利率、费用率时，只要求精确到0.01等等。如果按平常的计算方法，有些计算是多余的。,省乘法含义,为节省时间，把运算过程中某些不必要的数字计算予以省略，这种方法称为省乘法。 省乘法可用于空盘乘，也可用于破头乘，现在计算时往往结合固定个位档定位法进行运算。,空盘省乘法步骤：,1、定位。应用固定个位定位法。如果乘积要求精确到0.01，那么就在

29、-2档上做一标记作为截止档，截止档的下一档为压尾档；如果乘积要求精确到0.001，那么-3位档为截止档，-4位档为压尾档，以此类推。 2、置数运算。采用空盘前乘法，两因数首位之积的置档位次，用m+n计算。在拨加积时，算到截止档为止，落到压尾档上的数字按“四舍五入”进到截止档。压尾档以后积数一律不再运算。 3、乘积。把截止档上的数字用“四舍五入”处理后，便得到积数。,用空盘省乘法运算,【例】 3.7625426.97565(精确到0.01) 用固定个位档法，截止档为-2档，压尾档为-3位，(以 表示)。m+n1+23，故从第三档拨入两因数的首位积。 运算32 0 6 36 1 8 39 2 7

30、37 2 1 35 1 5 36 2 其他位计算同上,101.50,上题若不用固定个位档法，而用公式定位法用空盘前乘法运算，即从左起任一记位点档拨入积首位。则压尾档应在第几档呢?我们可用pm+n+a+2公式来计算(其中a表示精确度的位数，如本题精确到0.01，则a2)。 本题p1+2+2+27，压尾档在左任一记位点起第七档上。压尾档确定后，就可用空盘前乘法计算，其步骤与上面算法一样，故不再重述。,破头省乘法步骤：,1、定位与置数。应用固定个位定位法。如果乘积要求精确到0.01，那么就在-2档上做一标记作为截止档，截止档的下一档为压尾档；被乘数首位置档位次用m+n计算，置入被乘数，被乘数落到压尾

31、档上的数字按“四舍五入”进到截止档。 2、采用破头乘法运算。在拨加积时，算到截止档为止，落到压尾档上的数字按“四舍五入”进到截止档。压尾档以后积数一律不再运算。 3、乘积。把截止档上的数字用“四舍五入”处理后，便得到积数。,破头省乘法运算,【例】 5.1026784.376829(精确到0.01) 用固定个位档法，截止档为-2档，压尾档为-3位，(以 表示)。m+n1+12，故从第二档拨入被乘数的首位。 5 1 0 2 7 运算74 3 24 0 8 23 1 14376 0 4 3 8 54 2 0 53 1 5 57 3 5 56 3 0 58 4,22.33,学生练习(精确到0.01）：

32、,0.47083.21 12.370.0356 2.73450.304 7.30450.536 3.74590.025 0.49360.832 8.30780.359,1.51 0.44 0.83 3.92 0.09 0.41 2.98,四、滚乘法,在发票、报表、账册、发货单等的实务计算中，往往遇到求和问题。通常是把各个乘积求出，然后相加，求出总和。这样计算，比较麻烦。若利用空盘前乘法，就可大大简化。,滚乘法含义,求多个乘积相加总和时，先用空盘前乘求出a1b1，在此积上再计算a2b2，边乘边加，计算出a1b1+a2b2；这样继续算下去，直到算完anbn为止。 乘积形如滚雪球一样，越滚越大，这种方法叫滚乘法。 这实际上是空盘前乘法的应用。,空盘滚乘法步骤：,在进行滚乘法的计算时： 1、定位：用固定个位档定位法确定个位档，然后确定各个积的首位数字置于哪一档。 置数方法是：每个积计算