高三数学复习导数在研究函数中的应用第三课时利用导数证明不等式专题课件理.pptx_第1页
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文档简介

1、第三课时利用导数证明不等式专题,利用导数证明不等式是高考的热点问题,常作为解答题的一问出现,难度较大,解决此类问题一般是通过构造函数把不等式问题转化为求函数单调性或最值问题解决.,专题概述,方法一,构造法证明一元不等式问题,(2)证明:f(x)1.,反思归纳,利用导数法证明不等式f(x)g(x)在区间D上恒成立的基本方法是构造函数h(x)=f(x)-g(x),然后根据函数h(x)的单调性或最值,证明h(x)0,若f(x)与g(x)的最值易求出,可直接转化为证明f(x)ming(x)max;若f(x)与g(x)的最值不易求出,可对h(x)=f(x)-g(x)适当变形后进行转化.,方法二,等价转化

2、法证明二元不等式问题,反思归纳,二元不等式问题有两种形式,一种形式是对于同一个函数的两个不同自变量而言,一种形式则是对不同函数的不同自变量而言.利用导数解决第一种形式的二元不等式的基本思想是把这个二元不等式转化为一元不等式,通过构造函数,然后按照导数研究一元不等式的方法解决.转化的基本思路有两个,一是根据函数的单调性把不等式转化为一个函数在指定的区间上是单调的,二是通过“齐次变换”把不等式转化为一元不等式,然后构造函数.对于第二种形式则是转化为不同函数的最值进行解答. 提醒:在把不等式转换为一元不等式时要注意变换的等价性,以及变换后函数的定义域.,若a-11,故10,故f(x)在a-1,1上单

3、调递减,在(0,a-1,1,+)上单调递增. 若a-11,即a2,同理可得f(x)在1,a-1上单调递减,在(0,1,a-1,+)上单调递增.,赋值法证明正整数不等式问题,方法三,(2)若f(x)ln x在1,+)上恒成立,求a的取值范围;,反思归纳,【即时训练】 (2015山东济宁市模拟)已知函数f(x)=ex-ax-a(其中aR,e是自然对数的底数,e=2.718 28). (1)当a=e时,求函数f(x)的极值;,(1)解:当a=e时,f(x)=ex-ex-e,f(x)=ex-e, 当x1时,f(x)0; 所以函数f(x)在(-,1)上单调递减, 在(1,+)上单调递增, 所以函数f(x)在x=1处取得极小值f(1)=-e, 函数f(x)无极大值;,(2)当0a1时,求证f(x)0;,(2)解:由f(x)=ex-ax-a,f(x)=ex-a 当a=0时,f(x)=ex0恒成立,满足条件, 当00, 所以函数f(x)在(-,ln a)上单调递减, 在(ln a,+)上单调递增, 所以函数f(x)在x=ln a处取得极小值即为最小值, f(x)min=f(ln a)=eln a-aln a-a=-aln

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