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文档简介

1、,二、 函数的间断点（间断、间断点的分类）,一、 函数连续性 （连续、左连续、右连续、连续区间）,第十节,函数的连续与间断,第一章,引例,（1）,（3）,（2）,（1）,（3）,连续,间断,一、 函数连续性的定义,可见 , 函数,在点,定义:,在,的某邻域内有定义 ,则称函数,(1),在点,即,(2) 极限,(3),设函数,连续必须具备下列条件:,存在 ;,且,有定义 ,存在 ;,例1. 证明函数,在,处连续 .,证: 因为,且,这说明：,该函数在,处连续 .,故有,对自变量的增量,有函数的增量,函数,在点,连续有下列等价命题:,函数,在点,连续等价于,当自变量的增量趋于零时，函数的增量也趋于

2、零 （见书上等价定义2）,左连续,右连续,函数在某点的连续性 等价于 在该点左连续且右连续 （见书上定理1）,解:,易知,由函数在零点的连续性，,所以，,在区间上每一点都连续的函数，叫做该区间上的连续,函数，或者说函数在该区间上连续。,例3. 证明函数,在,内连续 .,证:,即,这说明,在,内连续 .,同样可证: 函数,在,内连续 .,在,在,二、 函数的间断点,(1) 函数,(2) 函数,不存在;,(3) 函数,存在 ,但,不连续 :,设,在点,的某去心邻域内有定义 ,则下列情形,这样的点,之一函数 f (x) 在点,虽有定义 , 但,虽有定义 , 且,称为间断点 .,在,无定义 ;,为其无

3、穷间断点 .,为其振荡间断点 .,例如:,在 无定义，,因,在 无定义，,因当,函数值在-1与+1之间变动无限次，,显然,为其可去间断点 .,(3),(4),为其跳跃间断点 .,间断点分类:,第一类间断点:,及,均存在 ,若,称,若,称,第二类间断点:,及,中至少一个不存在 ,为可去间断点 .,为跳跃间断点 .,例5. 讨论函数,所以x = 2 是第二类无穷间断点 。,间断点的类型.,解: 可能间断点为x = 1， x = 2 。,所以x = 1 是第一类可去间断点 。,内容小结,左连续,右连续,第一类间断点,可去间断点,跳跃间断点,左右极限都存在,第二类间断点,左右极限至少有一个不存在,在点,间断的类型,思考与练习,1.

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