CH18_1,2隐函数(组).ppt

1、1,第18章,第1,2节,一、一个方程所确定的隐函数 及其导数,二、方程组所确定的隐函数组 及其导数,隐函数及隐函数组,2,本节研究,1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 .,例如, 方程,当 C 0 时, 能确定隐函数;,当 C 0 时, 不能确定隐函数;,2) 能确定隐函数时,研究其连续性、可微性,及求导方法.,例如, 已知二元方程,求,解法一: 显式求导法,解法二: 隐式求导法 方程两边同时对,求导.,3,一、一个方程所确定的隐函数及其导数 (教材P146-148TH18.1-18.2),定理1. 设函数,则在U(P0)内方程,确定一个单值连续函数 y = f (x) ,(隐函数求导公式

2、),定理证明从略，仅就求导公式推导如下：, 连续;,的某邻域内可唯一,在以点,为内点的某,存在连续偏导数,满足条件,并有连续导数,一区域D 内满足,4,视y为x的函数两边对 x 求导,在,的某邻域内,则,5,例1. 验证方程,在点(0,0)某邻域,可确定一个单值可导隐函数,解: 令,连续 ;,由 定理1 可知,导的隐函数,则,在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可,且,并求,6,公式法:,7,两边对 x 求导,两边再对 x 求导,令 x = 0 , 注意此时,另一求法,直接法( 利用隐函数求导公式推导法),代入导数方程得,8,解法一:,令,则,9,10,定理2 .,若函数,的某邻域内具有连续

3、偏导数 ;,则方程,在点,并有连续偏导数,定一个单值连续函数 z = f (x , y) ,定理证明从略, 仅就求导公式推导如下:,满足,在点,某一邻域内可唯一确,满足:(更一般地见教材P149TH18.3),11,两边对 x 求偏导,同样可得,则,12,例3 设,是由方程,所确定，,解法二,利用隐函数求导公式,设,解法一 直接法(略),13,解法三:利用微分形式的不变性,14,例4. 设,解法1 直接法,再对 x 求导,是由方程,所确定，,15,解法2 利用公式,设,则,两边对 x 求偏导,16,解法3 利用全微分形式不变性,则两边同时微分,17,例5.,设F( x , y)具有连续偏导数,

4、解法1 利用公式.,则,已知方程,故,18,解法2 全微分形式不变性法.,解法3 方程两边同时对,求导,同理求出,略！,19,二. 方程组所确定的隐函数组及其导数,隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.,由 F、G 的偏导数组成的行列式,称为F、G 的雅可比（Jacobi） 行列式。,以两个方程确定两个隐函数的情况为例，即,20,定理3,的某一邻域内具有连续的,设函数,则方程组,在点,并满足条件,且有偏导数公式 :, 在点,的某一邻域内可唯一确定一组单值连,满足,偏导数,续函数,21,（P153）,定理证明略。仅推导偏导数公式如下,22,有隐函数组,则,解,两边对 x 求导,设方程组,在点P

5、 的某邻域内系数行列式,23,例1. 设,解: 在满足定理的条件下考虑问题.,在,方程组两边对 x 求偏导，并移项得,求,练习：求,的条件下,24,例2.设函数,在点,1) 证明函数组,( x , y ) 的某一邻域内,2）求反函数,解: 1) 令,则有,由定理 3 可知所述结论正确。,对 x , y 的偏导数.,在与点 ( u , v ) 对应的点,的某一,邻域内有连续的偏导数,且,唯一确定一组单值、连续且具有,连续偏导数的反函数,25,例2.设函数,在点,两边对 x 求导,2）求反函数,的某一邻,域内有连续的偏导数 ,对 x , y 的偏导数 .,26,例3(例2的应用) 计算极坐标变换,

6、的反变换的导数。,同样有,所以,解1:由于,27,解2：,两边同时对,求偏导得,例3(例2的应用) 计算极坐标变换,的反变换的导数。,28,例4： 已知方程组,解：设,方程组两边同时对,求导,29,例5. 设,是由方程,和,所确定的函数 , 求,解法1 分别在各方程两端对 x 求导, 得,30,解法2 微分法.,对各方程两边分别求微分:,化简得,消去,可得,31,例6,分别由下列两式确定 :,又函数,有连续的一阶偏导数 ,设,解: 两个隐函数方程两边对 x 求导, 得,解得,因此,32,内容小结,一. 隐函数（组）存在定理,二. 隐函数 (组) 求导方法,方法一. 利用复合函数求导法则直接计算 ;,方法二. 利用微分形式不变性 ;,方法三. 代公式,思考与练习,设,求,33,提示:,34,解法二.利用全微分形式不变性同时求出,解出,35,作业,P151 3(2),(4),(6); 4; 5;8. P157 2(1),(3); 3(1); 5(2); 6.,36,雅可比(1804 1851),德国数学家.,他在数学方面最主要,的成就是和挪威数学家阿贝儿相互独,地奠定了椭圆函数论的基础.,他对行列,式理论也作了奠基性的工作.,在偏微分,方程的