5-两自由度系统的振动.ppt

1、,第5章 两个自由度系统的振动,单自由度系统振动问题，在我们所讨论的范围内是线性定常方程。而多自由度系统则是二阶多元联立微分方程组，各广义坐标间存在相互“耦合”现象。 所谓耦合，就是变量之间互相联系。由于这种耦合，使微分方程的求解变得非常困难。因此，分析多自由度系统振动问题的重要内容之一就是如何将方程“解耦”，然后按单自由度的分析方法求解。 两自由度是多自由度系统最简单的情况。,建立运动微分方程的方法和单自由度系统基本一样, 但难度更大。,5.2.1 运动微分方程（P104-106）,5.2 两自由度系统的振动方程刚度矩阵和质量矩阵,5.2 振动方程,标准的m-k-c系统，对每一质量利用牛顿定

2、律得：,坐标原点仍取在静平衡位置,写成矩阵形式,5.2 振动方程,式中：,5.2 振动方程,M称为系统的质量矩阵，K称为刚度矩阵，C称为阻尼矩阵，x为系统的位移列阵，F(t)为外激励列阵。 对于其它形式的两自由度振动系统同样可得到相应的质量矩阵、刚度矩阵和阻尼矩阵。 由于矩阵M、 K、 C的非对角线元素不为0，所以振动微分方程是互相耦合的非独立方程。,5.2 振动方程,5.2.2 刚度影响系数与刚度矩阵,刚度矩阵K中的元素称为刚度影响系数，其kij的力学意义是：仅在j坐标处产生单位广义位移，系统平衡时需在i坐标处施加的广义力。 具体求解时，只假设j坐标处的位移为1，其它各坐标的位移均为0。 刚

3、度影响系数反映了系统弹性元件的影响特性。,5.2 振动方程,5.2.3 惯性影响系数与质量矩阵,质量矩阵M中的元素称为惯性（质量）影响系数，其mij的力学意义是：仅在j坐标处产生单位广义加速度，需在i坐标处施加的广义力。 具体求解时，只假设j坐标处的加速度为1，其它各坐标的加速度均为0。 惯性影响系数反映了系统质量元件的影响特性。,5.2 振动方程,根据刚度影响系数和质量影响系数，可以写出下列关系：,写成矩阵形式,5.2 振动方程,柔度影响系数Rij的力学意义是:在j坐标处作用单位广义力,引起i坐标处的广义位移。由柔度影响系数就可以形成系统的柔度矩阵 R。 由材料力学的位移互等定理可知RijR

4、ji，即柔度矩阵是对称的。 柔度影响系数反映了系统弹性元件的影响特性。,5.3 位移方程,5.3 两自由度系统的位移方程柔度矩阵,5.3.2 柔度影响系数与柔度矩阵(P114-117),对标准m-k-c振动系统，质量m1和m2上的总位移为,这就是以柔度矩阵表示的位移形式的振动方程。,5.3 位移方程,5.3.1 位移方程(P113-114),因为R为正定矩阵，于是位移方程又可写为,与力形式的方程比较知 K=R1，R=K1 即对于正定系统R和K互为逆矩阵。,5.3 位移方程,例：用影响系数法求标准m-k-c系统的刚度矩阵，质量矩阵和柔度矩阵。,5.2 振动方程,【例5-3-1】求系统的振动微分方

5、程。已知梁的抗弯刚度为EI。,解：用影响系数法。由材料力学挠度公式,5.3 位移方程,则,而,则方程为,5.3 位移方程,若写为力方程形式,则方程为,下面用影响系数法直接求K:,5.3 位移方程,设x1=1,x2=0，则由材料力学公式有：,同理有,求出各个刚度系数即组成刚度矩阵K。 作业：5-2，6,5.3 位移方程,对于非标准的m-k-c多自由度振动系统，用传统的动力学方法建立运动微分方程比较困难，更适合使用拉格郎日方程。拉格郎日方程为：,用拉格朗日方程建立振动系统的运动微分方程,拉格朗日方程,其中：T为系统的动能，V为势能，Qi为与广义位移xi对应的非有势力的广义力，drk为与非有势广义力

6、Fk对应的广义虚位移。 实际计算广义力Qi时，通常假设与xi对应的广义虚位移dri不等于零，其它虚位移都等于零。,（i1，2）,拉格朗日方程,【例】用拉格郎日方程推导两自由度m-k-c系统微振动微分方程。,解：取静平衡位置为坐标原点和零势能位置。,拉格朗日方程,静平衡位置：,则：,拉格朗日方程,拉格朗日方程,计算广义力，设m1产生虚位移dx1，而dx20，则,同样设m2产生虚位移dx2，而dx10，则,拉格朗日方程,代入拉格朗日方程,得,整理写成矩阵形式即可。,拉格朗日方程,【T5-30】用拉格郎日方程建立系统微振动微分方程。,解：取静平衡位置为坐标原点和零势能位置,而,则,拉格朗日方程,所以

7、,拉格朗日方程,计算广义力，设只有x1处产生虚位移dx1，则,同样设x2处产生虚位移dx2，则,代入拉格朗日方程即可。 用牛顿定律更简单一些。 作业：T5-29,拉格朗日方程,只给出公式，不作严格推导。 1. 质量矩阵的形成 系统的动能可以表示为,能量法,用能量法确定振动系统的M、K、C,记,则,M即为所求的质量矩阵，显然为对称阵。 2. 刚度矩阵的形成 势能可写为,K即为所求的刚度矩阵，也是对称阵。,能量法,3. 阻尼矩阵的形成 线性阻尼（黏滞阻尼）的耗能函数可写为,C即为所求的阻尼矩阵，也是对称阵。,能量法,【例5-2-3】求M和K。,解：取静平衡位置为坐标原点和零势能位置,则,能量法,将

8、余弦函数用级数展开，表示为,则,所以,作业：5-4,能量法,无阻尼自由振动系统的运动方程为,5.4.15.4.3 固有频率与固有振型(P117-120),5.4 两个自由度系统的自由振动,5.4 两个自由度系统的自由振动,假设方程解的形式为,这里：X1、X2为振动幅值，w为固有频率，a 为初相位。代入振动方程可得：,这是广义的特征值问题，K-w2M称为特征矩阵。要使上式有解，必须使其系数行列式为零。若M为对角阵，K为对称阵，则有,5.4 两个自由度系统的自由振动,上式称为频率方程或特征方程。由此可求出w2的两个正实根。且规定w1 = w2 。 将这两个根代入广义特征值问题(Kw2M) X=0可

9、得到相应的振幅比值,式中X(i)表示对应于第i个固有频率的振幅(i=1, 2)。由数学概念知道，只能求出振幅的比值，而不能确定各振幅大小。,5.4 两个自由度系统的自由振动,和单自由度一样，由于固有频率和振幅比ui只决定于系统本身的物理特性，而与外部激励和初始条件无关，这表明它们都是系统的固有属性。因此把wi称为系统的固有频率或主频率，ui称为系统的固有振型或主振型。 将振幅写成矩阵形式,5.4 两个自由度系统的自由振动,称为振型向量或模态向量，组成的矩阵称为振型矩阵。,由解的形式可看出，系统两质量按相同的固有频率和相位角作简谐运动，这种运动称为固有振动或主振动。 每一个主振动称为一个模态，w

10、i和对应的ui组成第i 阶模态参数。 系统在主振动中，各质点同时达到平衡位置或最大位移，而在整个振动过程中，各质点位移的比值将始终保持不变，也就是说，在主振动中，系统振动的形式保持不变。这就是振型的物理意义。,5.4 两个自由度系统的自由振动,【T5-21】求系统的频率方程。,解：用能量法。取静平衡位置为坐标原点和零势能位置,则,5.4 两个自由度系统的自由振动,将余弦函数表示为,则,所以,5.4 两个自由度系统的自由振动,频率方程为,即,展开得,5.4 两个自由度系统的自由振动,【T5-26】求系统的固有频率。,解：用牛顿定律,而,解得,则方程为,5.4 两个自由度系统的自由振动,频率方程为

11、,解得,5.4 两个自由度系统的自由振动,作业：T5-13，24,式中的X1可以取任意值。显然两个主振动的叠加也是方程的解，即,5.4.4 系统对初始激励的响应(P121-128),由前面的分析可得到系统的两组特解为,5.4 两个自由度系统的自由振动,式中的各个X、a和C均为任意常数，由初始条件确定。,或写为下面的形式,5.4 两个自由度系统的自由振动,将初始条件代入可得,设初始条件为t0时,5.4 两个自由度系统的自由振动,综上所述，系统对初始激励的响应求解步骤为： （1）建立运动微分方程，求出质量矩阵M和刚度矩阵K; （2）确定固有频率wi 和振幅比ui ; （3）利用初始条件求响应。,5

12、.4 两个自由度系统的自由振动,【T5-35】质量为m2的物块从高h处自由落下，然后与弹簧质量系统一起做自由振动，已知m1m2m，k1k2k，h100 mg/k，求系统的振动响应。,解:（1）用牛顿定律建立方程,5.4 两个自由度系统的自由振动,（2）频率方程为,解得,（3）求振型。利用,则,同理,5.4 两个自由度系统的自由振动,（4）求响应,初始条件,代入得,5.4 两个自由度系统的自由振动,解得,响应为,作业：T5-28,5.4 两个自由度系统的自由振动,在二阶振动微分方程中，如果质量矩阵M和刚度矩阵K的非对角线元素不为零，则在两个方程中都同时包含坐标x1和x2和它们的导数项，这种情形称

13、为坐标耦合。 把M为对角阵，K不是对角阵的情形称为静力耦合或弹性耦合(刚性耦合)，把K为对角阵，M不是对角阵的情形称为动力耦合或惯性耦合。,5.5 广义坐标与坐标耦合,5.5 广义坐标与坐标耦合,方程是否耦合与广义坐标的选取有关。前面分析的标准m-k-c系统就是静力耦合。 举例：分析下面的振动系统，设杆的质量为m，绕质心的转动惯量为JC。,5.5 广义坐标与坐标耦合,若取质心位移x和转角q为广义坐标，则自由振动方程是静力耦合的。,5.5 广义坐标与坐标耦合,若坐标x不取在质心,而是选在满足k1a1k2b2的O点位置，e为O点距质心的距离则,这时运动方程是动力耦合的。,5.5 广义坐标与坐标耦合

14、,C,同样，若将坐标x取在最左端A，则,方程既是静力耦合又是动力耦合。,5.5 广义坐标与坐标耦合,从前面的分析可知，只要广义坐标形式选择合适，就可以得到没有坐标耦合的运动微分方程，这时的广义坐标称为主坐标。,5.6 主坐标,5.6 主坐标,主坐标下的质量矩阵和刚度矩阵除主对角线元素外,其余元素均为零,各个运动方程的坐标之间不存在耦合。,其中u是前面得到的振型矩阵,令,将x代入原振动方程，化简后就可得到解耦的运动方程（下章证明）,5.6 主坐标,显然上述解耦的方程的解可以用单自由度振动的方法独立求得,将其代入x=uP即可得到用原始坐标x表示的一般解。 主坐标的概念在强迫振动中具有重要意义。,5

15、.6 主坐标,利用主坐标解耦的方法（坐标变换方法）求解系统响应的基本步骤为： （1）求出原振动方程的固有频率和振幅比，得到振型矩阵u; （2）求出主坐标下的响应:,（3）利用式x=uP得出原广义坐标下的响应; （4）利用初始条件确定常系数。,5.6 主坐标,【例】标准m-k-c系统中，设m1m, m22m, k1k2k, k32k, c=0, 求系统的固有频率和固有振型。利用坐标变换方法求系统对初始激励的响应。设初始条件为,5.6 主坐标,解: （1）求固有频率、振幅比和振型矩阵u,5.6 主坐标,（3）利用式x=uP得出,（2）主坐标下的响应,（4）确定常系数。将初始条件代入得,5.6 主坐

16、标,联立解得,所以,作业：T5-9，15,5.6 主坐标,两自由度振动微分方程为,复数解法,5.7 两自由度系统的强迫振动,5.7 两自由度系统的强迫振动,设干扰力为谐和函数，并表示为复数形式,令方程的解为,其中X1和X2为复振幅。将上式代入方程得,其中,(i, j=1, 2),5.7 两自由度系统的强迫振动,若为无阻尼系统，则,振幅为,若干扰力为正弦函数或余弦函数，则前面分析中相关的eiw t 变为sinw t 或cosw t 即可。,5.7 两自由度系统的强迫振动,即,和单自由度的概念类似，可以绘出频率比与振幅之间随阻尼比的变化曲线幅频响应曲线,频率响应曲线 共振现象,5.7 两自由度系统

17、的强迫振动,由此可看出: （1）当激励频率与系统的固有频率接近时，系统出现共振现象，即无阻尼振幅将达到无穷大，所不同的是，两自由度系统有两个共振峰； （2）阻尼的存在使共振振幅减小，在相同的阻尼下，频率高的共振峰降低的程度比频率低的大。因此实际结构的动力响应只需要考虑最低几阶模态的影响。,5.7 两自由度系统的强迫振动,【例】在两自由度标准m-k系统中，设m1m2m，k1k2k3k，在第一个质量上作用有干扰力F1(t)=F0coswt，求系统的响应。 解：,设解为,代入振动方程得,5.7 两自由度系统的强迫振动,即,解得,因此系统的响应为,5.7 两自由度系统的强迫振动,【T5-45】图示系统

18、，已知xsa sinwt, W144100 N，W2441000 N，k11.683107 N/m，k23.136108 N/m。当w为基频的0.707倍时，车体W2的振幅为a的多少倍？,解: 振动方程为,即,5.7 两自由度系统的强迫振动,代入数据，求得固有频率为 w118.04，w2282.97 机车振动频率为 w0.707 w1 0.707 18.04 12.76,利用前面的方法求得振幅为,作业：T5-39,5.7 两自由度系统的强迫振动,当机器转速在共振区域附近时会引起剧烈的振动，由单自由度系统振动理论知道，可以通过调整质量或弹簧刚度或增加阻尼来使振动情况得到缓解。 动力吸振器的原理是在原系统上附加一个新的m-k或m-c系统，使其变成两自由度的振动系统，利用前面研究的理论，使原振动系统的振幅趋于零。,动力吸振器,5.7 两自由度系统的强迫振动,m1-k1为原来的基本振动系统，m2-k2为附加的吸振系统，这两个系统组成了两自由度振动系统。运动微分方程为,无阻尼动力吸振器,5.7 两自由度系统的强迫振动,