§8.1 Z变换、离散时间系统的Z域分析.ppt

1、8.1 引言,求解差分方程的工具，类似于拉普拉斯变换； z变换的历史可是追溯到18世纪； 20世纪5060年代抽样数据控制系统和数字计算机的研究和实践，推动了z变换的发展； 70年代引入大学课程； 今后主要应用于DSP分析与设计，如语音信号处理等问题。 本章主要讨论： Z变换的定义、收敛域、性质，与傅氏变换和拉氏变换的关系；利用z变换解差分方程； 利用z平面零极点的分布研究系统的特性。,一引言,二z变换的导出,抽样信号的拉氏变换离散信号的z变换,对 取拉氏变换,三对z变换式的理解,说明,若双边序列取单边z变换，或对因果信号（有起因序 列） 存在的序列取z变换,8.2 z变换的定义、典型序列的z

2、变换,z变换的定义,一单位样值函数,二单位阶跃序列,三斜变序列的z变换,已知,两边同时乘以z-1 ，可得,（用间接方法求）,同理可得,n是离散变量，所以对n没有微积分运算； z是连续变量，所以对z有微积分运算。,四指数序列,1右边序列,注意：z 变换相同时，左边序列的定义。,五正弦与余弦序列,单边余弦序列,同理,8.3 z变换的收敛域,收敛域的定义 两种判定法 讨论几种情况,一收敛域的定义,收敛的所有z 值之集合为收敛域。,对于任意给定的序列x(n) ，能使,ROC: Region of convergence,不同的x(n)的z变换，由于收敛域不同，可能对应于相同的z 变换，故在确定 z 变

3、换时，必须指明收敛域。,二两种判定法,1比值判定法,若有一个正项级数，,则： 1：发散,即令正项级数的一般项,的n次根的极限等于，,则 1：发散,2根值判定法,三讨论几种情况,1有限长序列的收敛域,2右边序列的收敛,3左边序列的收敛,4双边序列的收敛,2右边序列的收敛,ROC：,3左边序列的收敛,ROC:,4双边序列的收敛,四总结,x(n)的收敛域（ROC）为 z 平面以原点为中心 的圆环；, ROC内不包含任何极点（以极点为边界）；,有限长序列的ROC为整个 z 平面 （可能除去z = 0 和z = ）；,右边序列的ROC为 的圆外；,左边序列的ROC为 的圆内；,双边序列的ROC为 的圆环

4、。,8.4 逆z变换,部分分式展开法 幂级数展开法 围线积分法留数法,一部分分式展开法,1z变换式的一般形式,2求逆z变换的步骤,3极点决定部分分式形式,对一阶极点,高阶极点（重根）,二幂级数展开法,z变换式一般是z的有理函数，可表示为：,直接用长除法进行逆变换,（是一个z 的幂级数）,1幂级数展开法,2右边序列的逆z变换,3左边序列的逆z变换,8.5 z变换的基本性质,主要内容,线性,位移性,序列线性加权,序列指数加权,初值定理,终值定理,时域卷积定理,z域卷积定理（自阅）,一线性,a,b为任意常数。,ROC：一般情况下，取二者的重叠部分,某些线性组合中某些零点与极点相抵消，则收敛域可能扩大

5、。,(表现为叠加性和均匀性）,二位移性,1.双边z变换,2.单边z变换,(1) 左移位性质,(2) 右移位性质,原序列不变，只影响在时间轴上的位置。,1双边z变换的位移性质,2单边z变换的位移性质,若x(n)为双边序列，其单边z变换为,(1)左移位性质,(2)右移位性质,而左移位序列的单边z变换不变。,三序列线性加权,共求导m次,四序列指数加权,同理,证明：,（z域尺度变换）,五初值定理,推理 x(1)？,理解,六终值定理,无,无,有，1,有，0,例题,终值存在的条件,(1) X(z)的极点位于单位圆内，收敛半径小于1，有终值;,例： ，终值为0,(2)若极点位于单位圆上，只能位于 ，并且是一

6、阶极点。,注意：和系统稳定性条件区别，系统稳定性条件只有第一条。,例：u(n)，终值为1,七时域卷积定理,描述：两序列在时域中的卷积的z变换等效于在z域中两序列z变换的乘积。,注意：如果在某些线性组合中某些零点与极点相抵消，则收敛域可能扩大。,八z域卷积定理（自阅）,8.6 z变换与拉普拉斯变换的关系,一z平面与s平面的映射关系,几种情况,（1）s平面的原点 ，z平面 ，即 。,左半平面,虚轴,右半平面,左向右移,单位圆内,单位圆上,单位圆外,半径扩大,（2）,（3）,（4）zs映射不是单值的。,二z变换与拉式变换表达式之对应,注意： 连续时间信号的突变点函数值与对应的序列样值有区别。,容易求

7、得，它的拉式变换为,注意跳变值,借助模拟滤波器设计数字滤波器,注意跳变值,8.7 用z变换解差分方程,序言,描述离散时间系统的数学模型为差分方程。求解差分方程是我们分析离散时间系统的一个重要途径。,求解线性时不变离散系统的差分方程有两种方法： 时域方法第七章中介绍，烦琐 z变换方法,差分方程经z变换代数方程； 可以将时域卷积频域（z域）乘积； 部分分式分解后将求解过程变为查表； 求解过程自动包含了初始状态（相当于0-的条件）。,一应用z变换求解差分方程步骤,(1)对差分方程进行单边z变换（移位性质）；,(2)由z变换方程求出响应Y(z) ；,(3) 求Y(z) 的反变换，得到y(n) 。,一步

8、骤,二差分方程响应y(n)的起始点确定,全响应y(n)根据输入信号加上的时刻定,对因果系统y(n)不可能出现在x(n)之前,观察Y(z)分子分母的幂次,分母高于分子的次数是响应的起点,三差分方程解的验证,8.8 离散系统的系统函数,单位样值响应与系统函数 系统函数的零极点分布对系统特性的影响 确定单位样值响应 稳定性 因果性,一单位样值响应与系统函数,1.定义,2.h(n)和H(z)为一对z变换对,1定义,线性时不变离散系统由线性常系数差分方程描述，一般形式为,上式两边取z变换得,2 h(n)和H(z)为一对z变换,二系统函数的零极点分布对系统特性的影响,1.由零极点分布确定单位样值响应 2.

9、离散系统的稳定性 3.系统的因果性,1由零极点分布确定单位样值响应,展成部分分式：（假设无重根）,的极点，可以是不同的实数或共轭复数， 决定了 的特性。其规律可能是指数衰减、上升， 或为减幅、增幅、等幅振荡。,:与H(z)的零点、极点分布都有关。,由零极点分布确定单位样值响应(续),极点位置与h(n)形状的关系,利用zs平面的映射关系,2离散系统的稳定性,对于稳定系统，只要输入是有界的，输出必 定是有界的（BIBO)。,(2)稳定性判据,(1)定义：,判据1：离散系统稳定的充要条件：单位样值响应绝对可和。,判据2：对于因果系统，其稳定的充要条件为：,H(z)的全部极点应落在单位圆之内。即收敛域

10、应包括单位圆在内: 。,(3)连续系统和离散系统稳定性的比较,3系统的因果性,系统因果性的判断方法：,z域： 收敛域在圆外,输出不超前于输入,三补充,1两个加法器情况下，列差分方程,2如何由H(z)列系统的差分方程,8.9 序列的傅里叶变换（DTFT),一定义,DTFT:Discrete-time Fourier transform,为研究离散时间系统的频率响应作准备，从抽样信号的傅里叶变换引出：,与z变换之关系,逆变换,表示,二傅氏变换、拉氏变换、z变换的关系,1.三种变换的比较,2.频率的比较,3.s平面虚轴上的拉氏变换即为傅氏变换,4.z平面单位圆上的z变换即为序列的傅氏变换（DTFT）,1三种变换的比较,2频率的比较,模拟角频率 ，量纲：弧度/秒； 数字角频率 ，量纲：弧度； 是周期为 的周期函数 关系：,3s平面虚轴上的拉氏变换即为傅氏变换,4.z平面单位圆上的z变换即为序列的傅氏变换（DTFT）,8.10 离散时间系统的频率响应特性,离散系统频响特性的定义 频响特性的几何确定法,一离散系统频响特性的定义,正弦稳态（正弦序列作用下系统的稳态响应）,系统对不同频率的输入，产生不同的加权，这就是系统的频率响应特性。,推导,由系统函数得到频响特性,输出对输入序列的相移,离散时间系统在单位圆上的z变换即为傅氏变换，即系统的频率响应特