高考理科数学均值不等式复习资料.ppt

1、1,第六章 不等式,均值不等式,第 讲,2,2,3,一、算术平均数与几何平均数定理 1.若a0，b0，则称_为两个正数的算术平均数，称_为两个正数的几何平均数. 2.如果a、b为实数，那么a2+b22abab_，当且仅当a=b时取“=”号. 3.如果a、b为正实数，那么 _，当且仅当a=b时取等号.,4,如果a+b为定值P,那么ab有最_值，为_;如果ab为定值S,那么a+b有最_值,为_.这一结论称为均值定理.其应用的三个条件依次为_、_、 _. 二、不等式恒成立问题 不等式af(x)恒成立，f(x)max存在 _，不等式af(x)恒成立，f(x)min存在 _.,大,小,一正,二定,三相等

2、,af(x)max,af(x)mix,5,1.若x,yR+,且x+y=s,xy=p,则下列命题中正确的是( ) A. 当且仅当x=y时，s有最小值 B. 当且仅当x=y时，p有最大值 C. 当且仅当p为定值时，s有最小值 D. 若s为定值，则当且仅当x=y时， p有最大值 解：由均值不等式易得答案为D.,D,6,2.若x,yR+,x+y4,则下列不等式中成立的是( ) 解： 故选B.,B,7,3.设a0，b0，则下列不等式中不成立的是( ) 解法1：由于是选择题，可用特值法， 如取a=4,b=1,代入各选项中的不等式, 易判断 不成立.,D,8,解法2：可逐项使用均值不等式判断 不等式成立;

3、B.因为 相乘得 成立;,9,C.因为 又由 得 所以 成立; D.因为 ，所以 所以 即 不成立,故选D.,10,1. 今有一台坏天平,两臂长不等,其余均精确.有人说要用它称物体的重量,只需将物体放在左右托盘各称一次,则两次称量结果的和的一半就是物体的真实重量,这种说法对吗?并说明你的理由. 解：不对. 设左、右臂长分别是l1,l2,物体放在左、右托盘称得重量分别为a,b，真实重量为G.,题型1 利用均值不等式比较代数式的大小,11,则由杠杆平衡原理有：l1G=l2b， l2G=l1a. 得G2=ab,所以 . 由于l1l2，故ab, 由均值不等式 知说法不对,真 实重量是两次称量结果的几何

4、平均值.,12,点评：本题考查均值不等式,杠杆平衡原理知识及分析问题、解决问题的能力，属跨学科(数学、物理)的创新问题.均值不等式应用的条件是“一正二定三相等”，即两个数都为正数，两个数的和或积是定值，有相等的可取值.,13,14,15,16,解：因为x-1，所以x+10. 设x+1=z0，则x=z-1. 把x=z-1代入函数式，得 当且仅当z=2，即x=1时上式取等号. 所以当x=1时，函数y有最小值9，无最大值.,题型2 求函数或代数式的最值,2. 设x-1，求函数 的最值.,17,点评：这是一类应用均值不等式求分式型函数的值域的题型，此类问题求解中注意变形配凑成两个正数的和式(或积式)，

5、且它们的积(或和)式为定值的形式，然后看能否有相等条件，若有再利用均值不等式得出函数的最值；若没有，则利用函数的单调性求解.,18,设x0,y0, ,则 的 最大值为_. 解法1：因为x0,y0, ， 所以 当且仅当 (即 )时, 取得最大值,19,解法2：令 则 当2cos2=1+2sin2,即 , 即 时， 取得最大值 .,20,3. 若对任意正实数x、y,不等式 恒成立，则a的最小值是 . 解：若不等式恒成立,则 恒成立. 所以 因为 所以 当且仅当x=y时取等号. 所以a ，故amin= .,题型3 用均值不等式求 解不等式中 的恒成立问题,21,点评：求恒成立中的问题的方法比较多，本

6、题利用的是分离变量法：即一边为所求参数a；另一边是其他参数的式子，然后求其式子的最值.从填空题的角度来思考，本题也可以利用对称式的特点取x=y=1，由此猜想a的值.,22,(2010山东卷)若对任意x0， a恒成立，则a的取值范围是_,23,解：因为 对任意x0 恒成立，设u=x+ +3，所以只需a 恒成立即可 因为x0，所以u5(当且仅当x=1时取等号) 由u5知0 ， 故a .,24,已知a、b、cR,求证： 证明：因为 所以 同理, 三式相加得,25,1. 均值不等式具有将“和式”转化为“积式”及将“积式”转化为“和式”的放缩功能. 2. a2+b22ab成立的条件是a，bR，而 成立，

7、则要求a0且b0.使用时，要明确定理成立的前提条件. 3. 均值不等式有a2+b22ab， a+b 等形式，解题时要根据问题特点适当选用.,26,第六章 不等式,不等式的证明,第 讲,3,（第三课时）,27,题型6 用反证法证不等式,1. 已知a、b、c(0，1)， 求证：(1-a)b，(1-b)c，(1-c)a不能同时大于 . 证法1：假设三式同时大于 ， 即有(1-a)b ，(1-b)c ，(1-c)a , 三式同向相乘，得(1-a)a(1-b)b(1-c)c .,28,又(1-a)a( )2= ， 同理，(1-b)b ，(1-c)c ， 所以(1-a)a(1-b)b(1-c)c ， 因此

8、与假设矛盾，故结论正确. 证法2：假设三式同时大于 . 因为0a1，所以1-a0，,29,点评：证明有关“至少”“最多”“唯一”或含有其他否定词的命题，可采用反证法.反证法的证题步骤是：反设推理导出矛盾(得出结论).,所以 同理， 都大于 . 三式相加得 ，矛盾. 故假设不成立，从而原命题成立.,30,31,32,题型7 用换元证不等式,2. 已知a、bR，a2+b24， 求证：|3a2-8ab-3b2|20. 证明：因为a、bR，a2+b24， 所以可设a=rcos,b=rsin,其中0r 2， 所以|3a2-8ab-3b2|=r2|3cos2-4sin2| =r2|5cos(2+arcta

9、n )|5r220. 所以原不等式成立.,33,点评：换元法一般有代数式的整体换元、三角换元等换元方式.换元时要注意新变元的取值范围，以及换元后的式子的意义.常用的换元有： 若x2+y2=a2，可设x=acos，y=asin； 若 可设x=acos，y=bsin； 若x2+y21， 可设x=rcos，y=rsin(0r1).,34,已知1x2+y22，求证： x2-xy+y23. 证明:设x=rcos,y=rsin,且1r2,R, 则 由-1sin21，得 1- sin2 . 又1r22，所以 r2(1- sin2)3， 即 x2-xy+y23.,35,3. 求证： 证明：令 xR， 则yx2

10、+yx+y=x2-x+1. 于是(y-1)x2+(y+1)x+y-1=0. (1)若y=1，则x=0，符合题意； (2)若y1,则式是关于x的一元二次方程.,题型8 判别式法证不等式,36,由xR，知=(y+1)2-4(y-1)20， 解得 y3且y1. 综合(1)(2)，得 y3，即 点评：与二次式有关的不等式证明，可通过构造二次方程，然后利用方程有实数解的充要条件得出式子的取值范围，就是所要证明的不等式.,37,求证： 证明：令 则yx2-(y+1)x+y+1=0， (1)当y=0时，得x=1，符合题意； (2)当y0时，则式是关于x的一元二次方程. 由xR，得=(y+1)2-4y(y+1

11、)0， 解得-1y ,且y0. 综合(1)(2),得-1y ,所以,38,已知函数f(x)=ln(x+1)-x，若x-1，证明: ln(x+1)x. 证明： 令f (x)=0，得x=0. 当x(-1，0)时，f (x)0; 当x(0，+)时，f (x)0.,题型 不等式与函数的综合应用,39,所以f(x)在区间(-1，0)上是增函数， 在区间(0，+)上是减函数. 所以当x-1时，f(x)f(0)=0， 即ln(x+1)-x0，故ln(x+1)x. 令 则 令g(x)=0，得x=0. 当x(-1，0)时，g(x)0; 当x(0，+)时，g(x)0.,40,所以g(x)在(-1，0)上是减函数， 在(0，+)上是增函数， 故当x-1时，g(x)