《IIR滤波器》PPT课件.ppt

1、第6章 无限冲激响应(IIR)滤波器设计,3.0 数字滤波器概述 3.1 根据模拟滤波器设计IIR滤波器映射变换的两个基本原则 3.2 常用模拟低通滤波器特性 3.3从模拟滤波器低通原型到各种数字滤波器的频率变换（原型变换） 3.4从低通数字滤波器到各种数字滤波器的频率变换,学习要求：熟练掌握脉冲响应不变法和双线性变换法；掌握由模拟原型和数字低通滤波器设计各种数字滤波的方法。,6.1 滤波器的基本概念,1、数字滤波器概念 指输入，输出均为数字信号，通过一定运算关系改变输入信号所含频率成分的相对比例或者滤除某些成分的器件。,2、滤波原理,3、滤波器的分类,若 中的有用成分 和希望去除的成分 各自

2、占有不同的频带, 通过一个线性系统可将 有效去除.,1）经典滤波器（选频滤波器）,按功能划分可分类: 低通(LP), 高通(HP),带通(BP), 带阻(BS) 。 每一种又有模拟(AF)、数字(DF)两种滤波器. 对数字滤波器, 从实现方法上, 有IIR滤波器和FIR滤波器之分, 其转移函数分别为:,FIR DF:,IIR DF:,乘法性噪声,卷积性噪声,信号的频谱和噪声频谱混迭在一起，靠经典的滤波方法难以去除噪声。目标：从含有噪声的数据记录(又称时间序列)中估计出信号的某些特征或信号本身。,2）、现代滤波器（统计学）,现代滤波器种类：维纳滤波器、卡尔曼滤波器、自适应滤波器。,维纳滤波器是这

3、类滤波器的典型代表,1）. 按照任务要求，确定性能指标：,2）. 用一个因果稳定的离散LTI系统函数H(Z)去逼近这些性能指标。,4、数字滤波器的设计过程,5、IIR滤波器的设计方法,1）从模拟滤波器设计IIR数字滤波器 2）直接设计IIR数字滤波器,给定数字滤波器的技术指标 （更多）,数字IIR滤波器设计的具体步骤：,6. IIR滤波器设计的基本概念（技术要求）,低通：,常用幅频特性函数|H(ejw)|来描述设计指标。,单位 (dB),若幅度下降到 0.707, 则幅度平方下降 0.5 （半功率点）：,若幅度下降到 0.01：,即此时的Wp为3dB频率(截止频率) ，或称为0.707频率，

4、通常也记为c。,高通：,带通：,带阻：,7、典型模拟滤波器,1）巴特沃斯滤波器 2）切比雪夫滤波器 3）椭圆滤波器,6.2 模拟低通滤波器的设计,为了方便学习数字滤波器，先讨论几种常用的模拟低通滤波器设计方法，高通、带通、带阻等模拟滤波器可利用变量变换方法，由低通滤波器变换得到。 模拟滤波器的设计就是根据一组设计规范来设计模拟系统函数Ha(s)，使其逼近某个理想滤波器特性。,对于因果系统,式中ha(t)为系统的单位冲激响应，是实函数。,不难看出,式中Ha(s)、Ha(j)、|Ha(j)|分别为模拟滤波器的系统函数、频率响应和幅频特性。,定义幅度平方函数,问题：如何由已知的|Ha(j)|2 Ha

5、(s) ？,由幅度平方函数|Ha(j)|2确定Ha(S)的方法为： 1）根据式，将s=j ，即=-jS代入|Ha(j)|2得 H2(-js); 2）H2(-js)进行分解，得出零、极点； 3）根据具体情况求出Ha(S).,为了保证Ha(s)的稳定性，应选用H2(-js)在S左半平面的极点作为Ha(s)的极点，零点可选用任一半。,一、巴特沃兹滤波器 (Butterworth),特点：具有通带内最大平坦的振幅特性，且随f单调 ，其幅度平方函数具有如下形式：,式中，N为整数，称为滤波器的阶数，N越大，通带和阻带的近似性越好，过渡带也越陡。如图。,幅度特性跟阶数N有关： 1) 在通带，分母/c1，随着

6、N增加，/c1，A(2)快速下降。 3) =c时，幅度衰减 ，相当于3db衰减点。,由上述式对应关系得： Ha(-s)*Ha(s)=,上式可分解为2N个一次因式 ，令分母为零， ,可见，Butterworth 滤波器的振幅平方函数有2N个极点，它们均匀对称地分布在|s|=c的圆周上。,由|Ha(j)|2 Ha(s),例1：N=3阶Butterworth 滤波器振幅平方函数的极点分布如图，求其系统函数。 解： 由前面分析计算出6极点如图 考虑到系统的稳定性， Butterworth 滤波器的系统函数 是由s平面左半部分的极点 （SP3，SP4，SP5）组成的， 它们分别为：,如用 归一化s，即s

7、=s/c，得归一化的三阶BF：,所以系统函数为：,式中 是为使S=0时Ha(s)=1而引入的。,例2 已知滤波器通带截止频率为5kHz，通带最大衰减为2dB；阻带截止频率为12kHz，阻带最小衰减为30dB，设计巴特沃斯低通滤波器。 解：过程见板书,总结：低通巴特沃斯滤波器的设计步骤,1）根据技术指标，求出滤波器阶数N 2）根据阶数N查表，得到归一化传输函数Ha(p) 3）将Ha(p)去归一化。将p=s/ c代入Ha(p)，得到实际的滤波器传输函数H(S).,MATLAB为低通模拟巴特沃斯滤波器的产生提供了函数buttap，其调用格式为： z,p,k=buttap(N) z,p,k=butte

8、r(N,Rp,Wn,s) z,p,k=butter(N ,Rp,Wn,ftype,s) 其中N表示滤波器的阶次，Rp为通带最大衰减(dB)，Wn为截止频率，ftype为滤波器的类型，S表示模拟滤波器，Z表示零点，P表示极点，K表示增益。,巴特沃斯模拟滤波器matlab实现,巴特沃斯滤波器的阶次可以通过buttord函数确定，该函数的调用格式为： N,Wn=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs, s) N表示巴特沃斯滤波器的最小阶次，Wn为其截止频率。,例 绘制巴特沃斯低通模拟原型滤波器的平方幅频响应曲线，其中滤波器的阶次分布为2，5，10，20.（exam3_1.m）,总 结,巴特沃斯滤波器

9、的频率特性在通带和阻带内部都是随着频率单调变化的，如果在通带的边缘能够满足指标，那么在阻带的内部会超过设计的指标要求，造成滤波器的阶次N比较高。,二、切比雪夫滤波器（chebyshev）,特点：在通带内是 等波纹变化，在阻带内单调衰减，过渡迅速。 切比雪夫I型滤波器的振幅平方函数为：,式中c为有效通带截止频率，是与通带波纹有关的参量，大,波纹大 ，0 1 ；VN（x）为N阶切比雪夫多项式,切比雪夫I型滤波器的振幅平方特性如图所示，,注意： 对切比雪夫滤波器，过渡带衰减速度很快，所以通常也称c为通带截止频率或频带边界频率,例 通带截止频率为4KHz，通带最大衰减1dB。阻带频率为8KHz。阻带最

10、小衰减15dB，试设计切比雪夫滤波器。,切比雪夫模拟滤波器matlab实现,切比雪夫I型低通滤波器可通过MATLAB函数cheb1ap实现，其调用格式为： z,p,k= cheb1ap(N,Rp) b,a=cheb1 (N,Rp,Wn,s) b,a=cheb1 (N ,Rp,Wn,ftype,s),切比雪夫I型滤波器的阶次可以通过cheb1ord函数确定，该函数的调用格式为： N,Wn=cheb1ord(Wp,Ws,Rp,Rs, s) N表示巴特沃斯滤波器的最小阶次，Wn为其截止频率。,例： 绘制切比雪夫I型低通模拟滤波器的平方幅频响应曲线，其中滤波器的阶次分布为2，4，6，8.（exam3_

11、2.m）,总结,对于阶次相同（系统函数复杂程度一样）的巴特沃斯滤波器和切比雪夫滤波器相比，切比雪夫的过渡带下降更快，即有更窄的过渡带，性能更好些。,椭圆滤波器（考尔滤波器）,特点：幅值响应在通带和阻带内都是等波纹的，对于给定的阶数和给定的波纹要求，椭圆滤波器能获得较其它滤波器更窄的过渡带宽，就这点而言，椭圆滤波器是最优的。 其振幅平方函数为：,典型的椭园滤波器振幅平方函数如图 3.10,6.3 根据模拟滤波器设计IIR滤波器,利用模拟滤波器设计数字滤波器，就是从已知的模拟滤波器传递函数Ha(s)设计数字滤波器传递函数H(z)，这是一个由S平面到Z平面的映射变换，这种映射变换应遵循两个基本原则：

12、 1) H(z)的频响要能模仿Ha(s)的频响，即S平面的虚轴应映射到Z平面的单位圆ej上。 2) Ha(s)的因果稳定性映射到H(z)后保持不变，即S平面从左半平面ReS0映射到Z平面的单位圆内|z|1。,一. 脉冲响应不变法,脉冲响应不变法是从滤波器的脉冲响应出发，使数字滤波器的单位脉冲响应序列h(n) 模仿模拟滤波器的冲击响应ha(t), 使h(n)正好等于ha(t)的采样值，即 h(n)=ha(nT), T为采样周期。,1、脉冲响应不变法原理：,2、Ha(S)与H(Z)的关系 如以Ha(s)及H（z）分别表示ha(t)的拉氏变换及h(n)的z变换，即 Ha(s)=Lha(t)， H(z

13、)=Zh(n) 则根据采样序列z变换与模拟信号拉氏变换的关系，得：,可见，Z=esT的映射关系反映的是Ha(s)的周期延拓与H(z)的关系，而不是Ha(s)本身与H(z)的关系，因此，使用脉冲响应不变法时，从Ha(s)到H(z)并没有一个由S平面到Z平面的简单代数映射关系。,3、S与Z平面的映射关系：,z=est的映射关系表明，S平面上每一条宽为2/T的横带部分，都将重叠地映射到Z平面的整个全部平面上。每一横带的左半部分映射到Z平面单位圆以内，每一横带的右半部分映射到Z平面单位圆以外，j轴映射在单位圆上，但j轴上的每一段2/T都对应于绕单位圆一周。如图3.1所示。,4、数字频响与模拟频响的关系

14、 数字滤波器的频响也不是简单的重现模拟滤波器的频响，而是模拟滤波器频响的周期延拓，周期为S=2/T=2fs，即,由此可得，模拟滤波器幅频响应与数字滤波器幅频响应如图所示：,由上图可得下面结论： 1）实际的模拟滤波器，其频响都不可能是真正带限的，因此存在频谱混淆(图3.2)，这时，数字滤波器的频响带有一定的失真。 2） H(ej) 是Ha(j)的周期延拓（周期为fs），因Ha(j)并不是真正带限的，所以产生了混迭。当为带阻或高通滤波器时，Ha(j)在超过fs/2频率部分全为通带，发生了完全的混迭，所以脉冲响应不变法不能设计带阻或高通滤波器。,5、模拟频率与数字频率关系：,由z变换定义有：,Z表示

15、为：,得：,模拟频率与数字频率的关系为：,H(z)的计算：,脉冲响应不变法特别适用于用部分分式表达的传递函数，模拟滤波器的传递函数若只有单阶极点，且分母的阶数高于分子阶数NM，则可表达为部分分式形式：,其拉氏反变换为：,（式）,对ha(t)采样就得到数字滤波器的单位脉冲响应序列,再对h(n)取Z变换，得到数字滤波器的传递函数：,进一步得：,（式）,脉冲响应不变法通过模拟滤波器Ha(S)求数字滤波器H(Z)的步骤： 1）利用 =T，将Wp、 Ws转换为p ， s，而Rp ，Rs不变； 2）求解低通模拟滤波器的传输函数Ha(S) 3）根据式和式 将模拟滤波器的传输函数Ha(S)转换为数字滤波器的传

16、输函数H(Z),值得注意的是，这种Ha(s)到H(z)的对应变换关系，只有将Ha(s)表达为部分分式形式才成立。,例 ：将一个具有如下传递函数 的模拟滤波器数字化。 解 ：直接利用H(z)的部分分式形式,得,习题：模拟滤波器的系统函数为 用脉冲响应不变法求数字滤波器的系统函数。,结果为：,脉冲响应不变法总结,1、脉冲响应不变法的优点是： 频率坐标变化是线性的，即。使得线性相位的模拟滤波器在变换为数字滤波器后仍保持线性相位特性。 数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟滤波器的单位冲激响应，时域特性逼近好。,2、脉冲响应不变法缺点 产生频谱混叠 适合低通、带通滤波器的设计，不适合高通、带阻滤波器的设

17、计。,注意：如果用脉冲响应不变法实现高通和带阻滤波器时，应增加一保护滤波器，滤掉高于折叠频率以上的频带，然后再用脉冲响应不变法转换为数字滤波器，这会增加设计的复杂性和滤波器的阶数，只有在一定需要频率线性关系或保持网络瞬态响应时才采用。,二、双线性变换法,脉冲响应不变法的主要缺点是频谱交叠产生的混淆， 为了克服频率混叠(频率线性变化)，可以采用频率非线性变化。,由此可得S与Z的变换关系：,Ha(S)与H(Z)的关系：,双线性法模拟频率与数字频率的变化关系如下图,图3.5中看到，在零频率附近， 接近于线性关系，如图3.5，进一步增加时，增长变得缓慢， (终止于折叠频率处)，所以双线性变换不会出现由

18、于高频部分超过折叠频率而混淆到低频部分去的现象。,但是 的非线性关系导致数字滤波器的幅频响应相对于模拟滤波器的幅频响应有畸变。,这种频率点的畸变可以通过预畸来加以校正，即将模拟滤波器的临界频率事先加以畸变，通过双线性变换后正好映射到所需要的数字频率上。,预畸变的方法：,1）根据所要设计的数字滤波器的临界频率1、2、3、4，计算模拟滤波器的临界频率。低通变换时计算公式为：,2）根据这些模拟滤波器的临界频率点设计模拟滤波器。 3）作双线性变换，得到所需的数字滤波器。,传递函数H(z)的计算,双线性变换比脉冲响应法的设计计算更直接和简单。由于s与z之间的简单代数关系，所以从模拟传递函数可直接通过代数

19、置换得到数字滤波器的传递函数。,置换过程,频响,例 ：模拟滤波器传递函数为 用双线性变换法将其数字化（T=2）。,双线性变换法： 优点：解决了频率混叠的问题； 缺点：模拟频率与数字频率呈非线性关系；这使得 （1）线性相位的模拟滤波器在变换后不能保持； （2）设计模拟滤波器之前要对频率指标进行预畸变。,总结： 一般，当着眼于滤波器的时域瞬态响应时，采用脉冲响应不变法较好，而其它情况下，对于IIR的设计，大多采用双线性变换法。,脉冲响应不变法与双线性变换法的设计步骤,说明： 对脉冲响应不变法，如果根据模拟滤波器设计指标进行设计，采样周期T必须满足采样定理以避免频率混叠；如果直接由数字滤波器设计指标

20、出发设计，那么T可以任选； 而对双线性变换法，由于不存在频率混叠现象，所以采样周期T可以任选。,脉冲响应法和双线性法的matlab实现,1、脉冲响应不变法函数调用格式： BZ,AZ = impinvar(B,A,Fs) 其中B，A为实际模拟滤波器传输函数的分子、分母多项式系数行向量；BZ ， AZ 为以Fs 为采样周期对H(s)=B(s)/A(s)系统用脉冲响应不变法得到的相应的数字滤波器,2、双线性变换法函数格式为： NUMd,DENd = bilinear(NUM,DEN,Fs) 其中NUM，DEN为实际模拟滤波器传函的分子、 分母多项式系数行向量NUMd，DENd为以Fs为采样周期对H(

21、s)=NUM(s)/DEN(s)系统用双线性变换法得到的相应的数字滤波器,3.4 从模拟滤波器低通原型到各种数字滤波器的频率变换,对于模拟滤波器，已经形成了许多成熟的设计方案，如巴特沃兹滤波器，切比雪夫滤波器等，每种滤波器都有自己的一套准确的计算公式，同时，也已制备了大量归一化的设计表格和曲线，为滤波器的设计和计算提供了许多方便，因此在模拟滤波器的设计中，只要掌握原型变换，就可以通过归一化低通原型的参数，去设计各种实际的低通、高通、带通或带阻滤波器。,设计各种类型的数字滤波器有三种方法：,下面举例讨论应用模拟滤波器低通原型，设计各种数字滤波器的基本方法，着重讨论双线性变换法。 双线性变换法由模

22、拟原型设计数字滤波器的四个步骤: 1）确定数字滤波器的性能要求，确定各临界频率k。 2）由变换关系将k映射到模拟域，得出模拟滤波器的临界频率值k(预歧变)。 3）根据k设计模拟滤波器的Ha(s) 。 4) 把 Ha(s)变换成数字滤波器传递函数H(z) 。,一、低通变换,例1 设采样周期 T=250s(fs=4khz) ,设计一个三阶巴特沃兹LP滤波器,其3dB截止频率fc=1khz。分别用脉冲响应不变法和双线性变换法求解。,二、高通变换,设计高通、带通、带阻等数字滤波器时，有两种方法： 先设计一个相应的高通、带通或带阻模拟滤波器，然后通过脉冲响应不变法或双线性变换法转换为数字滤波器。即： 模拟原型 模拟高通、带通、带阻数字高通、带通、带阻 直接利用模拟滤波器的低通原型，通过一定的频率变换关系，一步完成各种数字滤波器的设计。 这里只讨论第二种方法。因其简捷便利，所以得到普遍采