高中数学 第一章 数列 归纳总结3学案 北师大版必修

1、第一章 数列 归纳总结专题探究专题2数列的前n项和的求法求数列的前n项和是数列运算的重要内容之一，也是历年高考考查的热点.对于等差、等比数列，可以直接利用求和公式计算，对于一些具有特殊结构的运算数列，常用倒序相加法、裂项相消法、错位相减法等求和.1.分组转化法如果一个数列的每一项是由几个独立的项组合而成，并且各独立项也可组成等差或等比数列，则该数列的前n项和可考虑拆项后利用公式求解.例5求下列数列的前n项和.（1）-1,4,-7,10,(-1) n(3n-2),;(2)1,2,3,（n+）.分析(1)a2n-1+a2n=3,故可将其视作一项，但要对n的奇偶性进行讨论.(2)an=n+,即an是

2、一个等差数列n与等比数列的和构成的，故可用拆项分组求和法.解析（1）当n为偶数时，令n=2k(kN),Sn=S2k=-1+4-7+10+(-1) n(3n-2)=3k=n;当n为奇数时，令n=2k+1(kN+),Sn=S2k+1=S2k+a2k+1=3k-(6k+1)= . (n为奇数)Sn= (n为偶数)（2）Sn=1+2+3+（n+）=(1+2+3+n)+（+）=+=+1-.说明形如an+bn的求和问题，其中an为等差数列，bn为等比数列，可用“拆项分组求和”法.变式应用5求和：（x+）+(x2+)+(xn+)(x0,xy1).解析当x1,y0,y1时，（x+）+(x2+)+(xn+)（x

3、+x2+xn）+(+)=+=.2.裂项相消法对于裂项后明显有能够相消的项的一类数列，在求和时常用“裂项法”，分式的求和多利用此法.可用待定系数法对通项公式进行拆项，相消时应注意消去项的规律，即消去哪些项，保留哪些项.例6求和:1+ (nN).分析先分析通项有何特点，本题通项an=2（-）,因此可采用裂项相消法求和.解析an=2（）,a1=2（1-）,a2=2（）,a3=2（-）,an=2（）,Sn=a1+a2+a3+an=2（1-）+(-)+()+()=2（1-）=.说明所谓裂项相消，就是将数列的每一项“一拆为二”，即每一项拆成两项之差，以达到隔项相消之目的.常见的裂项变形有：an=;an=;

4、an=;an=.变式应用6求和：=.答案解析an=,=（1-= (1+-)=-.3.错位相减法若数列an为等差数列，数列bn是等比数列，由这两个数列的对应项乘积组成的新数列为anbn，当求该数列的前n项的和时，常常采用将anbn的各项乘以公比q，并项后错位一项与anbn的同次项对应相减，即可转化为特殊数列的求和，所以这种数列求和的方法称为错位相减法.例7数列an的前n项和为Sn，a1=1,an+1=2Sn(nN+).（1）求数列an的通项an；（2）求数列nan的前n项和Tn.解析（1）an+1=2Sn,Sn+1-Sn=2Sn,=3.又S1=a1=1,数列Sn是首项为1,公比为3的等比数列.S

5、n=3n-1 (nN+).当n2时，an=2Sn-1=23n-2， 1（n=1）a1=1不满足上式，an= .23n-2（n2）（2）Tn=a1+2a2+3a3+nan.当n=1时，T1=1；当n2时，Tn=1+430+631+2n3n-2,3Tn=3+431+632+2n3n-1,-得：-2Tn=-2+4+2(31+32+3n-2)-2n3n-1=2+2-2n3n-1=-1+(1-2n)3n-1.Tn=+(n-)3n-1 (n2).又T1=a1=1也满足上式，Tn=+(n-)3n-1 (nN+).变式应用7试求，的前n项和.解析Sn=+,Sn=+,-得, Sn=+-=+-=+-=,Sn=3-

6、.4.倒序相加法如果求和的结构中“每两项”的和为同一常数，可以用倒序相加法求解.例8设f(x)= ,类比推导等差数列前n项和公式的方法，求f(-2008)+f(-2007)+f(0)+ f(1) +f(2008)+f(2009).解析f(x)+f(1-x)= =1.设S=f(-2008)+f(-2007)+f(0)+f(1)+f(2008)+f(2009),则S=f(2009)+f(2008)+f(1)+f(0)+f(-2007) +f(-2008).2S=f(-2008)+f(2009)+f(-2007)+ f(2008)+2f(0)+f(1)+f(2009)+ f(-2008)=20092

7、，S=2009.变式应用8设f(x)= ，求和.S=f（）+f（）+f（）.解析f(x)= ,f(1-x)= =,f(x)+f(1-x)=1.S=f（）+f（ S=f（ +得，2S=2001，S=.5.分段求和法如果一个数列是由各自具有不同特点的两段构成，则可考虑利用分段求和.例9已知数列an的前n项和为Sn，且an+Sn=1(nN+).（1）求数列an的通项公式；（2）若数列bn满足bn=3+log4an,设Tn|b1|+|b2|+|bn|,求Tn.解析（1）由an+Sn=1,得an-1+Sn-1=1,两式相减得，an-an-1+an=0,2an=an-1,即= (n2).又n=1时，a1+S1=1,a1=.数列an是首项为，公比为的等比数列.an=a1qn-1=（）n-1=()n.(2)解法一：bn=3+log4()n=3-=.当n6时，bn0,Tn=b1+b2+bn=;当n6时，bn6时，bna2a3a4a5=0